Синтаксис Wolfram Alpha

Wolfram|Alpha — база знаний и набор вычислительных алгоритмов (англ. computational knowledge engine), вопросно-ответная система. Запущена 15 мая 2009 года. Не является поисковой системой.

Основные операции

• Сложение $a+b$: a+b
• Вычитание $a-b$: a-b
• Умножение $a\cdot b$: a*b
• Деление   ${\frac {a}{b}}$: a/b
• Возведение в степень ${{a}^{b}}$: a^b

Примеры

• 314+278; 314—278; 314*278; 314^278;
• (a^2+b^2)+(a^2-b^2); (a^2+b^2)/(a^2-b^2); (a+b)^(2+2/3).

Знаки сравнения

• Меньше $<$: <
• Больше $>$: >
• Равно $=$: = или ==

Логические символы

• Конъюнкция "И" $\wedge$: &&
• Дизъюнкция "ИЛИ" $\vee$: ||
• Отрицание "НЕ" $\neg$: !
• Импликация =>

Основные константы

• Число $\pi$: Pi
• Число $e$: E
• Бесконечность $\infty$: Infinity, inf или oo

Основные функции

$\left(a=\operatorname {const} \right)$

• $x^{a}$: x^a
• $|x|$: abs(x)
• ${\sqrt {x}}$: Sqrt[x]
• ${\sqrt[{n}]{x}}$: x^(1/n) или Sqrt(x,n) или Power(x, 1/n)
• $a^{x}$: a^x
• $\log _{a}x$: Log[a, x]
• $\ln x$: Log[x]
• $\cos x$: cos[x] или Cos[x]
• $\sin x$: sin[x] или Sin[x]
• $\operatorname {tg} x$: tan[x] или Tan[x]
• $\operatorname {ctg} x$: cot[x] или Cot[x]
• $\sec x$: sec[x] или Sec[x]
• $\operatorname {cosec} x$: csc[x] или Csc[x]
• $\arccos x$: ArcCos[x]
• $\arcsin x$: ArcSin[x]
• $\operatorname {arctg} x$: ArcTan[x]
• $\operatorname {arcctg} x$: ArcCot[x]
• $\operatorname {arcsec} x$: ArcSec[x]
• $\operatorname {arccosec} x$: ArcCsc[x]
• $\operatorname {ch} x$: cosh[x] или Cosh[x]
• $\operatorname {sh} x$: sinh[x] или Sinh[x]
• $\operatorname {th} x$: tanh[x] или Tanh[x]
• $\operatorname {cth} x$: coth[x] или Coth[x]
• $\operatorname {sech} x$: sech[x] или Sech[x]
• $\operatorname {cosech} x$: csch[x] или Csch[е]
• $\operatorname {areach} x$: ArcCosh[x]
• $\operatorname {areash} x$: ArcSinh[x]
• $\operatorname {areath} x$: ArcTanh[x]
• $\operatorname {areacth} x$: ArcCoth[x]
• $\operatorname {areasech} x$: ArcSech[x]
• $\operatorname {areacosech} x$: ArcCsch[x]

Решение уравнений

Чтобы получить решение уравнения вида $f(x)=0$ достаточно записать в строке Wolfram|Alpha: f[x]=0, при этом Вы получите некоторую дополнительную информацию, которая генерируется автоматически. Если же Вам необходимо только решение, то необходимо ввести: Solve[f[x]=0, x].

Примеры

• Solve [Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0,x]или Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0;
• Solve[x^5+x^4+x+1=0,x] или x^5+x^4+x+1=0;
• Solve[Log[3,x²+x+1]-Log[9,x²]=0,x] или \Log[3,x²+x+1]-Log[9,x²]=0.

Если Ваше уравнение содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]=0 даст весьма разнообразный набор сведений, таких как решение в целых числах, частные производные функции $f$ и т. д. Чтобы получить решение уравнения вида $f(x,y,...,z)=0$ по какой-либо одной из переменных, нужно написать в строке: Solve[f[x, y, …, z]=0, j], где $j$ — интересующая Вас переменная.

Примеры

• Cos[x+y]=0 или Solve[Cos[x+y]=0,x] или Solve[Cos[x+y]=0,y];
• x²+y²-5=0 или Solve[x²+y²-5=0,x] или Solve[x²+y²-5=0,y];
• x+y+z+t+p+q=9.

Решение неравенств

Решение в Wolfram Alpha неравенств типа $f(x)>0$, $f\left(x\right)\geqslant 0$ полностью аналогично решению уравнения $f(x)=0$. Нужно написать в строке WolframAlpha: f[x]>0 или f[x]>=0 или Solve[f[x]>0, x] или Solve[f[x]>=0,x].

Примеры

• Cos[10x]-1/2>0 или Solve[Cos[10x]-1/2>0,x];
• x^2+5x+10>=0 или Solve[x^2+5x+10>=0,x].

Если Ваше неравенство содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]>0 или f[x, y,…,z]>=0 даст весьма разнообразный набор сведений, как и в случае соответствующих уравнений. Чтобы получить решение такого неравенства по какой-либо одной из переменных нужно написать в строке: Solve[f[x, y,…,z]>0,j] или Solve[f[x, y,…,z]>=0,j], где $j$ — интересующая Вас переменная.

Примеры

• Cos[x+y]>0 или Solve[Cos[x+y]>0,x] или Solve[Cos[x+y]>0,y];
• x^2+y^3-5<0 или Solve[x^2+y^3-5<0,x] или Solve[x^2+y^3-5<0,y];
• x+y+z+t+p+q>=9.

Решение различных систем неравенств и уравнений

Решение систем различного вида в Wolfram Alpha крайне просто. Достаточно набрать уравнения и неравенства Вашей системы, точно так, как это описано выше в пунктах 7. и 8., соединяя их союзом «И», который в Wolfram Alpha имеет вид &&.

Примеры

• x^3+y^3==9&&x+y=1;
• x+y+z+p==1&&x+y-2z+3p=2&&x+y-p=-3;
• Sin[x+y]+Cos[x+y]==Sqrt[3]/4&&x+y²=1;
• Log[x+5]=0&&x+y+z<1.

Построение графиков функций

Сервис Wolfram Alpha поддерживает возможность построения графиков функций как вида $f(x)$, так и вида $f(x,y)$. Для того, чтобы построить график функции $f(x)$ на отрезке $x\in \left[{a,b}\right]$ нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot[f[x],{x, a, b}]. Если Вы хотите, чтобы диапазон изменения ординаты $y$ был конкретным, например $y\in \left[{c,d}\right]$, нужно ввести: Plot[f[x],{x, a, b},{y, c, d}].

Примеры

• Plot[x^2+x+2, {x,-1,1}];
• Plot[x^2+x+2, {x,-1,1},{y,-1,5}];
• Plot[Sin[x]^x, {x,-Pi,E}];
• Plot[Sin[x]^x, {x,-Pi,E},{y,0,1}].

Если Вам требуется построить сразу несколько графиков на одном рисунке, то перечислите их, используя союз «И»:Plot[f[x]&&g[x]&&h[x]&&…&&t[x],{x, a, b}].

Примеры

• Plot[x&&x^2&&x^3, {x,-1,1},{y,-1,1}];
• Plot[Sin[x]&&Sin[5x]&&Sin[10x]&&Sin[15x], {x,-5,5}].

Для того, чтобы построить график функции $f(x,y)$ на прямоугольнике $x\in \left[{a,b}\right],y\in \left[{c,d}\right]$, нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot[f[x, y],{x, a, b},{y, c, d}]. К сожалению, диапазон изменения аппликаты $z$ пока что нельзя сделать конкретным. Тем не менее, интересно отметить, что при построении графика функции $f(x,y)$ Вы получите не только поверхность, которую она определяет, но и «контурную карту» поверхности (линии уровня).

Примеры

• Plot[Sin[x^2+y^2],{x,-1,-0.5},{y,-2,2}];
• Plot[xy,{x,-4,4},{y,-4,4}].

Математический анализ

Wolfram Alpha способен находить пределы функций, последовательностей, различные производные, определенные и неопределенные интегралы, решать дифференциальные уравнения и их системы и многое многое другое.

Пределы

Для того, чтобы найти предел последовательности $\left\{{x_{n}}\right\}$ нужно написать в строке Wolfram Alpha: Limit[x_n, n -> Infinity].

Примеры

• Limit[n^3/(n^4 + 2*n), n -> Infinity];
• Limit[(1+1/n)^n, n -> Infinity].

Найти предел функции $f(x)$ при $x\to a$ можно совершенно аналогично: Limit[f[x], x -> a].

Примеры

• Limit[Sin[x]/x, x -> 0];
• Limit[(1-x)/(1+x), x -> −1].

Производные

Для того, чтобы найти производную функции $f(x)$ нужно написать в строке WolframAlpha: D[f[x], x]. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: D[f[x], {x, n}]. В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции $f(x,y,z,...,t)$ напишите в окне гаджета: D[f[x, y, z,…,t], j], где $j$ — интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по некоторой переменной порядка n, то следует ввести: D[f[x, y, z,…,t], {j, n}], где $j$ означает то же, что и Выше.

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

Примеры

• D[x*E^x, x];
• D[x^3*E^x, {x,17}];
• D[x^3*y^2*Sin[x+y], x];
• D[x^3*y^2*Sin[x+y], y],
• D[x/(x+y^4), {x,6}].

Интегралы

Для того, чтобы найти неопределенный интеграл от функции $f(x)$ нужно написать в строке WolframAlpha: Integrate f[x], x. Найти определенный интеграл $\int \limits _{a}^{b}{f\left(x\right)dx}$ так же просто: Integrate[f[x], {x, a, b}] либо Integrate f(x), x=a..b.

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение интеграла при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

Примеры

• Integrate[Sin[x]/x², x].
• Integrate[x^10*ArcSin[x], x].
• Integrate[(x+Sin[x])/x, {x,1,100}].
• Integrate[Log[x^3+1]/x^5, {x,1,Infinity}].

Дифференциальные уравнения и их системы

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения $F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$ нужно написать в строке WolframAlpha: F[x, y, y',y'',…] (при k-й производной y ставится k штрихов).

Если Вам требуется решить задачу Коши, то впишите: F[x, y, y',y'',…], y[s]==A,y'[s]==B, …. Если нужно получить решение краевой задачи, что краевые условия, так же перечисляются через запятую, причем они должны иметь вид y[s]==S.

Решение систем дифференциальных уравнений также просто, достаточно вписать: {f_1,f_2,…,f_n}, где f_1, f_2, …, f_n — дифференциальные уравнения, входящие в систему. К сожалению, решение задач Коши и краевых задач для систем дифференциальных уравнений пока что не поддерживается.

Примеры

• y'''+y''+y=Sin[x];
• y''+y'+y=ArcSin[x];
• y''+y+y^2=0;
• y''=y, y[0]=0, y'[0]=4;
• y+x*y'=x, y[6]=2;
• y'''[x]+2y''[x]-3y'[x]+y=x, y[0]=1, y[1]=2, y'[1]=2;
• {x'+y'=2, x'-2y'=4}.

Ошибки при работе с системой

Система может допускать некоторые ошибки при решении сложных задач. К примеру, если попытаться решить неравенство ${\frac {3x^{2}-18x+24}{2x-2}}-{\frac {3x-12}{2x^{2}-6x+4}}<0$, для чего ввести запрос solve (3x^2-18x+24)/(2x-2)-(3x-12)/(2x^2-6x+4)<0, то Wolfram|Alpha выдаст в качестве ответа промежуток $x\in (-{\mathcal {\infty }};2)\cup (3;4)$, в котором будет присутствовать точка 1, но при этом происходит деление на ноль. Сейчас эта ошибка исправлена.

Ссылки

• Wolfram Alpha(англ.)
• Examples