Самолёт на транспортёре

«Задача о самолёте» впервые в Интернете была сформулирована 24.07.2003 на форуме avia.ru (см.ссылки):

Самолёт (реактивный или винтовой) стоит на взлётной полосе с подвижным покрытием (типа транспортёра). Покрытие может двигаться против направления взлёта самолёта, то есть ему навстречу. Оно имеет систему управления, которая отслеживает и подстраивает скорость движения полотна таким образом, чтобы скорость вращения колёс самолёта была равна скорости движения полотна. Вопрос: А сможет ли самолёт разбежаться по этому полотну и взлететь?

Причины широких споров (в Интернете)

Она знаменита тем, что часто публикуется провокаторами в каком-либо из интернет-форумов с целью поднять флейм. Почти все, кто продолжительное время активно пользуются интернет-форумами, хотя бы раз сталкивались с этой задачей и порождённым ею спором. Чтобы убедиться в широком распространении этой задачи, достаточно воспользоваться каким-либо поисковым сервисом, задав поиск по сочетанию слов «самолёт» и «транспортёр».

Задача по уровню сложности соответствует программе средней школы. Условия задачи в описанной выше постановке неполны и некорректны, что создаёт неоднозначность интерпретации, причём в разных интерпретациях (одинаково физичных) ответы получаются разными. Эта неоднозначность и является одной из основных причин возникающих споров. Участники спора, как правило, подходят к задаче с некоторым набором допущений и начальных условий, отстаивают тот вариант ответа, который считают правильным в рамках собственной модели, и не задумываются о множественности интерпретаций (либо только делают вид, если хотят поддержать провокацию).

При этом имеет место так называемая цепная реакция, когда обилие комментариев к этой задаче создаёт у участников форума интерес к этой ветке, а затем и желание высказать свою точку зрения.

Физика задачи

Самолёт двигается под действием силы тяжести, подъёмной силы (вертикальные силы), силы тяги и силы трения между колёсами и лентой (горизонтальные силы). Всеми остальными силами можно пренебречь.

Самолёт взлетает (отрывается от земли), если подъёмная сила превысит силу тяжести. Подъёмная сила создаётся разностью давлений воздуха под и над крылом самолёта, и зависит от скорости воздушного потока, обтекающего крыло. Самолёт взлетит, если на его крыло будет направлен воздушный поток необходимой скорости. Если самолёт неподвижен относительно окружающего воздуха — взлёта не будет, даже если он движется относительно транспортера со скоростью, многократно превышающей скорость «нужную для отрыва». По этой же причине не имеют значения скорости движения транспортера и вращения колес - важно лишь движение самолета относительно воздуха.

Именно на выяснение скорости самолёта относительно воздуха и направлено корректное решение задачи.

В реальных условиях, движущееся полотно транспортёра увлекает за собой пограничный слой воздуха, прилегающий к полотну. Толщина пограничного слоя (d) зависит, главным образом, от числа Рейнольдса (Re) и характеристических размеров (L) транспортёра (d ~ L*sqrt(Re) для ламинарного течения). Широкий и длинный транспортёр, значительно превышающий характеристические размеры самолёта, способен вызвать поток встречного «ветра», достаточный для создания нужной подъёмной силы. В этом случае самолёт оторвётся от полотна и полетит, будучи неподвижным относительно Земли (но двигаясь относительно воздуха). Эффективность увеличится, если крылья самолёта будут располагаться как можно ближе к полосе, в области наибольшей скорости увлекаемого потока и в зоне максимального экранного эффекта. В качестве примера физической реализации такого «микро-самолёта» можно привести магнитную головку, парящую над вращающейся поверхностью жёсткого магнитного диска или диска Бернулли за счёт воздуха, увлекаемого диском.

Эксперимент

Была попытка смоделировать задачу в телепередаче Разрушители легенд (Mythbusters, выпуск 97 «Самолёт на транспортёре») с использованием реального пилотируемого самолёта и ленты соответствующего размера. В их эксперименте самолёт движется относительно земли, затем взлетает.. При этом непонятно, насколько и каким образом выполняется условие относительно скоростей.

Некорректности и неполнота постановки задачи

Для того, чтобы решить задачу, требуется уяснить её точную постановку. В механической задаче нужно знать все силы, действующие в системе, а также кинематические связи.

В данной задаче характер связи («скорость вращения колёс самолёта равна скорости движения полотна») описано недостаточно корректно, чтобы сделать вывод о виде связи и характере силы трения. Это даёт пищу для споров, но уводит в сторону от решения задачи. Ниже перечислены основные вопросы, ответить на которые (то есть выбрать интерпретацию) нужно прежде, чем подходить к решению основной задачи.

Что такое скорость вращения колёс?

Физически под скоростью вращения понимается угловая скорость, измеряющаяся в радианах в секунду, в то время как скорость поступательного движения — в метрах в секунду. Другими словами, они несравнимы как физические величины. Поэтому необходимо каким-то образом преобразовать радианы в секунду в метры в секунду.

Относительность скорости

Скорость измеряется относительно чего-то. В задаче не сказано, как определяется скорость. Например, скорость самолёта можно измерять как относительно земли, так и относительно транспортёра.

Что значит «равны»?

Скорость в физике — векторная величина, однако часто скоростью называют также и её модуль. Равенство двух скоростей поэтому можно понимать двояко — равенство векторов или же равенство их величин (модулей).

Тип самолёта

На самом деле существуют летательные аппараты, которые взлетают не из-за гидродинамической подъёмной силы — аппараты с вертикальным взлётом, в том числе и самолёты. Они могут отрываться от земли при наличии сравнительно небольшой и даже нулевой горизонтальной скорости. Сила тяжести уравновешивается вертикальной составляющей тяги двигателей, а необходимая для образования подъёмной силы горизонтальная скорость набирается уже в воздухе. Поэтому в этой задаче нужно оговаривать тип самолёта.

Винтовой или турбинный?

Суть разгона (какие силы действуют и на какие объекты) зависит от того, как разгоняется самолёт - как машина только колёсиками шасси, или пропеллером, или реактивно?

Примеры различных интерпретаций

Сравниваются угловые скорости колёс и роликов транспортёра

Если допустить равенство угловых скоростей как по модулю, так и по направлению, а также допустить движение транспортёра в направлении разгона самолёта, условие равенства угловых скоростей, при наличии у самолёта скорости, выполняется при любом соотношении диаметров колёс и роликов.

Если считать, что угловые скорости равны по модулю и противоположны по знаку, и транспортёр может двигаться только в направлении, обратном разгону, то условие равенства скоростей, при наличии у самолёта скорости, выполняются, если диаметр колёс самолёта больше диаметра роликов.

Под скоростью колёс может подразумевается лишь мгновенная линейная скорость нижней точки колеса относительно земли

При отсутствии проскальзывания только в нижней точке колеса его линейная мгновенная скорость относительно земли равна мгновенной скорости транспортера как по величине, так и по направлению.

Если бы самолет начал разбег относительно земли со скоростью $V_{s}$, то мгновенная скорость нижней точки колеса относительно земли уменьшилась бы и составила

$V_{1}=V_{t}-V_{s}$,

где

$V_{t}$ — мгновенная скорость транспортера относительно земли,

$V_{1}$ — мгновенная скорость нижней точки колеса относительно земли,

$V_{s}$ — скорость самолета относительно земли.

Из этого следует, что сохранение условий задачи $V_{1}=V_{t}$ возможно только при $V_{s}=0$. Если крылья самолета неподвижны относительно земли и окружающего воздуха, то такой самолет взлететь не сможет. Если самолет не обычный, а достаточно легкий, то подъемной силы, возникающей при обдуве крыла потоком воздуха от винта, может хватить на его взлет.

Под скоростью вращения колёс подразумевается скорость средней точки (центра) колеса относительно земли

Если считать, что равенство скоростей по модулю, но различие по знаку удовлетворяет условию, то решением будет ситуация, когда самолёт (а вместе с ним и ось) движется со скоростью V, а транспортёр — в противоположную сторону, то есть со скоростью -V. Самолет при этом взлетает, а колеса прокручиваются с удвоенной скоростью.

Если же считать, что скорости транспортёра и самолёта должны быть равны не только по модулю, но и быть направленными в одну сторону — наблюдается рассмотренное противоречие двух условий.

Под скоростью вращения колёс подразумевается скорость средней точки (центра) колеса относительно транспортёра

Равенству скоростей удовлетворяет движение транспортёра со скоростью, равной половине скорости движения самолёта, вдоль направления разгона, что нарушает условие о противоположности направления. Соблюдение сразу двух условий невозможно.

Под скоростью вращения колёс подразумевается линейная скорость движения транспортёра относительно земли в точке касания с колесом (проскальзывания нет)

Строго говоря, из такой формулировки следует, что самолёт, стоя на полотне, разгоняется с 0 до взлётной скорости, а транспортёр остаётся неподвижен. Однако, момент старта может (неявно) опускаться, и считаться, что самолёт въехал на транспортёр с некой скоростью (с неподвижного покрытия). В таком случае движущееся полотно должно разогнаться автоматикой до максимально возможной скорости.

Транспортёр не способен изменить скорость разгоняющегося по его полотну самолёта?

Допустим мощность двигателей самолёта, масса самолёта и воздействующие силы будут соизмеримы и учитываться в эксперименте.

Тогда имеются две силы, действующие со стороны транспортёра на самолёт — это сила трения колёс о покрытие (которая в обычных условиях ничтожна по сравнению с тягой двигателей, но далеко не нулевая — попробуйте сдвинуть толкать выруливающий на взлётную полосу самолёт самолёт, намного ли его скорость увеличится от ваших действий), и сила сопротивления качению вследствие момента инерции колеса, которая зависит от радиуса и массы колеса, а также ускорения, с которым его раскручивает транспортёр — $F={\frac {a\mu }{R^{2}}}$ (a — ускорение транспортёра, R — радиус колеса, μ — момент инерции колеса), и теоретически может быть сколь угодно велика. В этом случае для удержания даже самого лёгкого самолёта потребуется поддерживать конечное ускорение ленты транспортёра неограниченное время, что приводит к требованию развивать сколь угодно большую скорость, что в реальных условиях физически недостижимо.

Для реального колеса так же должна учитываться сила сопротивления качению вследствие деформации колеса (под весом самолёта и от центробежной силы) (в реальных условиях эта сила ничтожна по сравнению с тягой двигателя настоящего самолёта).

Вывод "транспортёр не способен удержать разгоняющийся по нему самолёт" верен лишь в том случае, если пренебрегать силами трения и качения колёс шасси о движущуюся поверхность. В этом случае не будет другой силы противодействия, которая бы компенсировала силу, направленной на поступательное движение колёс относительно неподвижного наблюдателя.

Уход от идеальной ситуации

Колёса самолёта будут проскальзывать по полотну транспортёра

В реальности колёса не могут обеспечить идеального сцепления, поэтому скорость вращения колёс будет несколько ниже расчётной. Более того, с увеличением скорости относительно полотна, скольжение будет усиливаться. Как следствие, самолёт не будет покоиться относительно земли. А значит, самолёт вполне может взлететь.

В качестве почти доказательства — видео, отснятое на палубе авианесущего крейсера, где самолёт взлетает с неотпущенными тормозами (или не до конца отпущенными тормозами) — виден след от резины на палубе.

Связь этого примера с данной задачей очень условна, так как все авианосцы в режиме взлёта/посадки самолётов всегда движутся на максимальной скорости против ветра. Таким образом, даже у покоящегося относительно палубы самолёта скорость относительно масс воздуха, обтекающего крыло может составлять до 100 км/ч. Это обеспечивает некоторую подъёмную силу, уменьшающую реакцию опоры, а следовательно — и эффективность тормозов. Но и при 100 % сцеплении колёс шасси с палубой тяга реактивных двигателей у некоторых самолётов больше, чем возможная реакция тормозов (см. Самолёт вертикального взлёта и посадки).

Ссылки

• The Goddamn Airplane on the Goddamn Treadmill(англ.)
• поиск по ключевым словам в Yandex
• поиск по ключевым словам в Google
• поиск по цитате
• первоначальный источник в Интернете, от 24.07.2003 (сохраненная копия), автор: StealthMan
• оригинал задачи на сайте StealthMan
• Пример обсуждения в англоязычном Интернете
• Компьютерный вирус поражает… человека, или Задача про самолет. AFPortal.ru АстроФизический прортал- физика в школе. (2009). Проверено 17 августа 2009 г.