Решения задач из книги "Искусство схемотехники" Хоровиц, Хилл, 3-е издание.

Решения задач из книги "Искусство схемотехники" Хоровиц, Хилл. 3-е издание (англ. The Art of Electronics, by Paul Horowitz and Winfield Hill. 3-ed, 2015) - собрание решений и ответов к задачам учебника по электронике "Искусство схемотехники" Хоровиц, Хилл.

Задачи приводятся по 3-му английскому изданию (на момент создания статьи русского перевода не существует). При нумерации упражнений в скобках указан номер соответствующего упражнения в русском переводе второго издания: Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники в 3-х томах. Монография. Издание 4-е, переработанное и дополненное. Авторы: Пауль Хоровиц, Уинфилд Хилл. Перевод с английского И.И. Короткевич, М.Н. Микшиса, О.А. Соболевой, К.Г. Финогенова, М.П. Шарапова. (Москва: Издательство «Мир». Редакция литературы по информатике, 1993).

Ссылки на формулы и страницы по английскому изданию.

Основная идея данного проекта в том, чтобы дать решения задач, опираясь только на материал, изложенный в книге, не предполагая знакомство читателя с электроникой по другим источникам.

Если заметили ошибку, или хотите сделать дополнение к решению, пожалуйста, не стесняйтесь править и обсуждать.

Глава 1. Foundations (Основы электроники)

Упражнение 1.1 (1.1)

Условие

У вас есть два резистора: 5кОм и 10кОм. Чему будет равно их общее сопротивление при (а) последовательном и (б) параллельном их соединении?

Решение

а) Пусть резисторы соединены последовательно (см. рисунок ниже)

Тогда, в соответствии с формулой (1.3), их общее сопротивление будет равно:

$R=R_{1}+R_{2}$

Подставляя численные значения, получаем:

$R=5k+10k=15k$

б) Пусть резисторы соединены параллельно (см. рисунок ниже)

Тогда, в соответствии с формулой (1.4), их общее сопротивление будет равно:

$R={\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

Подставляя численные значения, получаем:

$R={\frac {5k\cdot 10k}{5k+10k}}={\frac {50k}{15k}}\approx 3.33k$

Результат в этом конкретном случае и в других подобных случаях может быть вычислен "в уме", если мысленно представить резистор 5 кОм как состоящий из двух параллельно соединённых резисторов по 10 кОм, при этом полученная эквивалентная схема состоит из трёх параллельно соединённых резисторов по 10 кОм и результат будет: 10/3 = 3,333... кОм.

Ответ

а) R = 15кОм, б) R = 3.33кОм.

Анализ результатов

Как и следует из теории, общее сопротивление последовательно соединенных резисторов больше сопротивлений каждого из них. Напротив, общее сопротивление параллельно соединенных резисторов меньше, чем сопротивление каждого из них.

---

Упражнение 1.2 (1.2)

Условие

Если вы подключите резистор сопротивлением 1 Ом к батарее автомобиля с напряжением 12В, какая мощность будет рассеяна на резисторе?

Решение

Согласно формуле (1.1), мощность (энергия за единицу времени), поглощаемая схемой, будет равна произведению напряжения, приложенного к схеме, на ток, который в ней протекает:

$P=UI$

Напряжение известно, осталось найти ток. По закону Ома (формула (1.2)), ток, который протекает через сопротивление $R$, при приложении к нему напряжения $U$, равен:

$I=U/R$

Подставляя в формулу для мощности (1.1) получаем:

$P=U\cdot {\frac {U}{R}}={\frac {U^{2}}{R}}$

Подставляем численные значения:

$P={\frac {(12V)^{2}}{1\Omega }}=144W$

Ответ

P = 144 Вт.

Анализ результатов

Как можно видеть из полученной формулы, мощность в цепи постоянного тока пропорциональна квадрату приложенного напряжения. Таким образом, скорость выделения энергии растет довольно быстро с увеличением напряжения.

---

Упражнение 1.3 (1.3)

Условие

Prove the formulas for series and parallel resistors.

Докажите формулы ((1.3) и (1.4)) для сопротивления последовательного и параллельного соединения резисторов.

Решение

а) Последовательное соединение (см. рисунок ниже).

Пусть к данному участку цепи приложено общее напряжение $U$. Обозначим общее сопротивление этого участка $R$. Тогда, по закону Ома (1.2), ток, протекающий через этот участок будет равен:

$I={\frac {U}{R}}$

В соответствии с первым законом Кирхгофа (стр. 2(10)), ток $I_{1}$, втекающий в узел между резисторами, равен току $I_{2}$, вытекающему из этого узла. Поэтому, токи протекающие в каждом из резисторов $R_{1}$ и $R_{2}$ равны между собой и равны общему току в цепи:

$I_{1}=I_{2}=I$

По закону Ома (1.2), напряжения на резисторах $R_{1}$ и $R_{2}$ равны, соответственно:

$U_{1}=I_{1}R_{1}=IR_{1}$, $U_{2}=I_{2}R_{2}=IR_{2}$

По второму закону Кирхгофа (стр. 2(10)), сумма напряжений на каждом из резисторов равна общему приложенному к участку цепи напряжению. Таким образом, имеем:

$U=U_{1}+U_{2}$

$IR=IR_{1}+IR_{2}$

Сокращая в последнем выражении на $I$, получаем:

$R=R_{1}+R_{2}$,

что и требовалось доказать.

б) Параллельное соединение (см. рисунок ниже).

Пусть к данному участку цепи приложено общее напряжение $U$. Обозначим общее сопротивление этого участка $R$. Тогда, по закону Ома (1.2), ток, протекающий через этот участок будет равен:

$I={\frac {U}{R}}$

В соответствии со вторым законом Кирхгофа (стр. 2(10)), напряжение на каждом из резисторов одинаково:

$U_{1}=U_{2}=U$

Тогда, по закону Ома (1.2), токи, протекающие через резисторы $R_{1}$ и $R_{2}$ равны, соответственно:

$I_{1}={\frac {U_{1}}{R_{1}}}={\frac {U}{R_{1}}}$, $I_{2}={\frac {U_{2}}{R_{2}}}={\frac {U}{R_{2}}}$

Используя первый закон Кирхгофа (стр. 2(10)), можно сделать вывод о том, что общий ток в такой цепи будет равен сумме токов в каждом из резисторов:

$I=I_{1}+I_{2}$

поскольку ток $I$ втекает в узел перед разветвлением, а токи $I_{1}$ и $I_{1}$ вытекают из него. Таким образом, из последнего уравнения имеем:

${\frac {U}{R}}={\frac {U}{R_{1}}}+{\frac {U}{R_{2}}}$

Сокращая в последнем выражении на $U$, получаем:

${\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}$

Получили стандартную формулу для сопротивления двух параллельно соединенных резисторов. Теперь, если привести дроби к общему знаменателю в правой части и выразить $R$, можно получить второй вариант формулы:

$R={\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

что и требовалось доказать.

Ответ

Доказаны формулы для сопротивлений двух последовательно (1.3) и параллельно (1.4) соединенных резисторов.

---

---

Упражнение 1.5 (1.5)

Условие

Show that it is not possible to exceed the power rating of a 1/4 watt resistor of resistance greater than 1k, no matter how you connect it, in a circuit operating from a 15 volt battery.

Возьмем схему, работающую от батареи с напряжением 15В. Докажите, что независимо от того, как будет включен в схему резистор с сопротивлением более 1 кОм, мощность на нем не превысит 1/4 Вт.

Решение

а) Рассмотрим ситуацию, когда резистор $R$ с сопротивлением более 1 кОм включен в схему (с общим сопротивлением $R_{0}$) параллельно (см. рисунок ниже).

В таком случае, в соответствии со вторым законом Кирхгофа (стр. 2(10)), напряжение на резисторе $R$ и оставшейся части схемы одинаково. Таким образом, согласно полученной в упражнении 1.2 формуле, мощность, которая рассеивается на резисторе $R$ будет равна:

$P={\dfrac {U^{2}}{R}}\leq {\dfrac {(15\;{\text{В}})^{2}}{1\cdot 10^{3}\;{\text{Ом}}}}=0,225\;{\text{Вт}}$

Таким образом, в данном случае мощность действительно не превосходит 1/4 Вт.

б) Рассмотрим ситуацию, когда резистор $R$ с сопротивлением более 1 кОм включен в схему (с общим сопротивлением $R_{0}$) последовательно (см. рисунок ниже).

Тогда, согласно формуле (1.3), общее сопротивление такой цепи будет:

$R_{total}=R+R_{0}$

По закону Ома, ток, который протекает в этой полной цепи дается выражением:

$I={\dfrac {U}{R_{total}}}={\dfrac {U}{R+R_{0}}}$

По тому же закону Ома, падение напряжения на резисторе $R$ составит:

$U_{R}=IR=U{\dfrac {R}{R+R_{0}}}$

Таким образом, согласно полученной в упражнении 1.2 формуле, мощность, которая рассеивается на резисторе $R$ будет равна:

$P={\dfrac {U_{R}^{2}}{R}}=U^{2}{\dfrac {R}{(R+R_{0})^{2}}}$

Каким бы ни было сопротивление (положительное) оставшейся части цепи $R_{0}$, поскольку оно входит в выражение в знаменателе, то будет уменьшать дробь. Тогда можем записать (подставляя числовые значения в конце аналогично части а) этого упражнения):

$P=U^{2}{\dfrac {R}{(R+R_{0})^{2}}}<U^{2}{\dfrac {R}{R^{2}}}={\dfrac {U^{2}}{R}}\leq 0,225\;{\text{Вт}}$

Таким образом, в данном случае мощность также не превосходит 1/4 Вт.

Ответ

При любом способе подключения резистора с сопротивлением более 1 кОм к цепи, питаемой напряжением 15В, мощность на нем не превысит 1/4 Вт.

Анализ результатов

Данный результат (в общем виде) можно использовать для расчета верхнего предела мощности, которая будет рассеиваться на резисторе в схеме с постоянным током. В соответствии с этим значением, нужно будет выбрать резистор с подходящей допустимой мощностью. При этом, как видно из результата, нет необходимости анализировать детально устройство остальной части схемы и даже знать точно ее полное сопротивление. Необходима лишь информация о величине питающего напряжения.