Решение систем дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения, являясь подмножеством функциональных уравнений, довольно редко допускают аналитическое решение. В подобных ситуациях для их приближённого решения применяют численные методы.

Численные методы не могут дать решения дифференциальной задачи, но могут обеспечить некоторое приближение к такому решению.

Часто для получения такого приближения используют т. н. сеточную аппроксимацию функций. То есть вместо функций непрерывного аргумента вводят функции дискретного аргумента. А вместо дифференциальных операторов — разностные. Будем называть параметром сетки такую величину $h$, что расстояние между любыми двумя соседними узлами сетки не превосходит h.

Гиперболические уравнения

Введение

Системы гиперболических уравнений возникают во многих задачах вычислительной физики. Хороший проработанный пример — газовая динамика. В приложениях часто используются гиперболические системы уравнений, представляемые в виде:

${\frac {\partial {\vec {U}}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{m}A_{j}{\frac {\partial {\vec {U}}}{\partial x_{j}}}={\vec {b}}$

Где матрица $A$ имеет полный набор собственных векторов и, соответственно, представима в виде

$A=\Omega _{R}\Lambda \Omega _{L}$

Где $\Omega _{R}=\Omega _{L}^{-1}$ — матрица, составленная из правых собственных векторов матрицы $A$ как из столбцов. $\Lambda =diag[\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}]$ — матрица собственных значений матрицы $A$.

Эта форма записи называется неконсервативной, в противовес не менее часто используемой консервативной форме, связанной с физическими законами сохранения в явном виде:

${\frac {\partial {\vec {U}}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial F_{j}({\vec {U}})}{\partial x_{j}}}={\vec {B}}$

Дело в том, разностная схема для консервативной формы уравнений, записанная в виде

${\frac {{\vec {U}}_{\vec {r}}^{n+1}-{\vec {U}}_{\vec {r}}^{n}}{\delta t}}+\sum _{j=1}^{m}{\frac {F_{j,{\vec {r}}+1/2{\vec {h}}_{j}}-F_{j,{\vec {r}}-1/2{\vec {h}}_{j}}}{h_{j}}}={\vec {B}}_{\vec {r}}$

автоматически гарантирует точное выполнение на приближенном решении законов сохранения, в то время как разностные соотношения, получаемые из неконсервативной формы, соблюдают законы сохранения лишь приближенно - в рамках аппроксимации.

Разностные схемы

Простейшим и исходным объектом исследования в теории систем гиперболических уравнений является одиночное уравнение переноса:

${\frac {\partial U}{\partial t}}+\lambda {\frac {\partial U}{\partial x}}=0$

Где $U$ — искомая функция переменных $(x,t)$. $\lambda$ — некоторая постоянная.

Это уравнение очень удобно уже тем, что нам хорошо известно его аналитическое решение:

$U(x,t)=U_{0}(x-\lambda t)$

где $U_{0}(x)$ — произвольная функция.

Первый вопрос, который возникает — а зачем численно решать уравнение, для которого известно аналитическое решение? Ответ прост — дело в том, что это уравнение будет «вылезать» из решения сложных многомерных систем, и параметры, которые в него входят будут меняться в зависимости от решения да и заданы будут не всюду, а лишь в некоторых точках, что делает прямое применение аналитического решения невозможным.

Итак, приступим к построению простейшей схемы для данного уравнения.

Пусть функция $U$ задана на узлах пространственной сетки $x_{m}$ в момент времени $t_{n}$ и мы хотим получить ее значения в тех же узлах в момент $t_{n+1}$.

Воспользуемся простейшими формулами для аппроксимации производных и получим: ${\frac {U_{m}^{n+1}-U_{m}^{n}}{\tau }}+\lambda {\frac {U_{m}^{n}-U_{m-1}^{n}}{h}}=0$

Тогда для значения $U_{m}^{n+1}$ может быть выписано выражение в явном виде:

$U_{m}^{n+1}=U_{m}^{n}-\tau \lambda {\frac {U_{m}^{n}-U_{m-1}^{n}}{h}}$

Эта простейшая схема может быть легко реализована и запущена. См пункт реализация.

Приведенная схема не работает при $\lambda <0$.

Ответ достаточно очевиден — «перенос» справа налево не работает в схеме, в которой нет точек справа. Хотелось бы добавить в схему что-то вроде $U_{m+1}$. Как это сделать? Простейший способ — построить «комбинированную» схему:

$U_{m}^{n+1}=U_{m}^{n}-\tau \lambda {\frac {U_{m}^{n}-U_{m-1}^{n}}{h}},\lambda \geq 0$ $U_{m}^{n+1}=U_{m}^{n}-\tau \lambda {\frac {U_{m+1}^{n}-U_{m}^{n}}{h}},\lambda <0$

Литература

• Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М.:ФИЗМАТЛИТ,2001. — 608с. — ISBN 5-9221-0194-3