Решение систем гиперболических уравнений/Разностные схемы

Хорошим модельным объектом для построения разностных схем является линейное уравнение переноса:

Для него известно аналитическое решение (, - произвольная функция), что позволяет сравнивать качество тех или иных методов, разработанных для (вообще говоря) нелинейных систем уравнений.

Для построения простейшей разностной схемы (т.н. схемы "уголок") воспользуемся простейшим шаблоном:

В соответствии с этим шаблоном аппроксимируем наше уравнение. Получим:

или

Если реализовать эту схему для простейшего уравнения и поэкспериментировать, окажется, что при эта схема относительно неплохо работает и, судя по всему, обладает сходимостью к аналитическому решению при

Остаются неясными некоторые вопросы, а именно:

  • Почему мы выбрали именно такой шаблон?
  • С чем связано требование ? И что делать, если, к примеру ?
  • Как оценить точность полученного таким способом решения?
  • Можно ли построить более точный метод?


Попробуем кратко ответить на некоторые из этих вопросов.

Вопрос выбора схемы может быть решен из более-менее бытовых соображений. Смотрите - мы знаем, что аналитическое решение линейного уравнения переноса имеет вид:

Раз так, наша задача - по ограниченной информации о решении на -м временном слое построить решение на -м слое. Нас интересует, например, значение . Исходя из вида аналитического решения, мы понимаем, что . Для получения значения можно, например, применить линейную интерполяцию. Ровно отсюда и следуют ответы на первый и часть второго вопроса - просто, если характеристика, опущенная из точки на -й слой, попадает на другой отрезок, интерполировать надо по нему.

Таким образом, для получим шаблон:

И схему:

О сходимости разностных схемПравить

Введем некоторые более аккуратные определения.

Предположим, что мы хотим найти решение   дифференциальной краевой задачи

 

поставленной в некоторой области   с границей  . Здесь   - некоторый дифференциальный оператор,  - функция от   и, возможно,  . Для этого на компакте   выберем дискретное множество точек   - сетку, введем нормированное пространство   функций, определенных на сетке   и установим соответствие между решением   и функцией   из   - таблицей значений функции   на сетке. Теперь для приближенного нахождения искомой функции   на основе дифференциальной задачи построим разностную:

 

так, чтобы имела место сходимость:

 


TODO

Об устойчивости разностных схемПравить

TODO

РеализацииПравить

Решение систем гиперболических уравнений/Разностные схемы/Реализация на Fortran-e

СсылкиПравить

  1. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику: Учеб.пособие. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2000 ISBN 5-9221-0047-5
  2. Демьянов А.Ю., Чижиков Д.В. Неявная гибридная монотонная разностная схема второго порядка точности, Электронный журнал «Исследовано в России»