Решение систем гиперболических уравнений/Разностные схемы

Хорошим модельным объектом для построения разностных схем является линейное уравнение переноса:

$U_{t}+\lambda U_{x}=0$

Для него известно аналитическое решение ( $U(x,t)=U_{0}(x-\lambda t)$ , $U_{0}(x)$ - произвольная функция), что позволяет сравнивать качество тех или иных методов, разработанных для (вообще говоря) нелинейных систем уравнений.

Для построения простейшей разностной схемы (т.н. схемы "уголок") воспользуемся простейшим шаблоном:

${\begin{matrix}&&U_{m}^{n+1}\\&&\bullet \\&&|\\\bullet &-&\bullet \\U_{m-1}^{n}&&U_{m}^{n}\end{matrix}}$

В соответствии с этим шаблоном аппроксимируем наше уравнение. Получим:

${\frac {U_{m}^{n+1}-U_{m}^{n}}{\tau }}+\lambda {\frac {U_{m}^{n}-U_{m-1}^{n}}{h}}=0$

или

$U_{m}^{n+1}=U_{m}^{n}\left(1-\lambda {\frac {\tau }{h}}\right)+U_{m-1}^{n}\lambda {\frac {\tau }{h}}$

Если реализовать эту схему для простейшего уравнения и поэкспериментировать, окажется, что при $1>\lambda {\frac {\tau }{h}}>0$ эта схема относительно неплохо работает и, судя по всему, обладает сходимостью к аналитическому решению при $h\rightarrow 0$

Остаются неясными некоторые вопросы, а именно:

Почему мы выбрали именно такой шаблон?
С чем связано требование $1>\lambda {\frac {\tau }{h}}>0$ ? И что делать, если, к примеру $\lambda <0$ ?
Как оценить точность полученного таким способом решения?
Можно ли построить более точный метод?

Попробуем кратко ответить на некоторые из этих вопросов.

Вопрос выбора схемы может быть решен из более-менее бытовых соображений. Смотрите - мы знаем, что аналитическое решение линейного уравнения переноса имеет вид:

$U(x,t)=U_{0}(x-\lambda t)\,\!$

Раз так, наша задача - по ограниченной информации о решении на $n$ -м временном слое построить решение на $n+1$ -м слое. Нас интересует, например, значение $U(x_{m},t_{n+1})$ . Исходя из вида аналитического решения, мы понимаем, что $U(x_{m},t_{n+1})=U(x_{m}-\lambda \tau ,t_{n})$ . Для получения значения $U(x_{m}-\lambda \tau ,t_{n})$ можно, например, применить линейную интерполяцию. Ровно отсюда и следуют ответы на первый и часть второго вопроса - просто, если характеристика, опущенная из точки $(x_{m},t_{n+1})$ на $n$ -й слой, попадает на другой отрезок, интерполировать надо по нему.

Таким образом, для $\lambda <0$ получим шаблон:

${\begin{matrix}U_{m}^{n+1}&&\\\bullet &&\\|&&\\\bullet &-&\bullet \\U_{m}^{n}&&U_{m+1}^{n}\end{matrix}}$

И схему:

$U_{m}^{n+1}=U_{m}^{n}\left(1+\lambda {\frac {\tau }{h}}\right)-U_{m+1}^{n}\lambda {\frac {\tau }{h}}$

О сходимости разностных схем

Введем некоторые более аккуратные определения.

Предположим, что мы хотим найти решение $u$ дифференциальной краевой задачи

${\hat {L}}u=f$

поставленной в некоторой области $G$ с границей $\delta G$ . Здесь ${\hat {L}}$ - некоторый дифференциальный оператор, $f$ - функция от $U$ и, возможно, ${\vec {r}}$ . Для этого на компакте $G\cup \delta G$ выберем дискретное множество точек $G_{h}$ - сетку, введем нормированное пространство $U_{h}$ функций, определенных на сетке $G_{h}$ и установим соответствие между решением $u$ и функцией $[u]_{h}$ из $U_{h}$ - таблицей значений функции $u$ на сетке. Теперь для приближенного нахождения искомой функции $[u]_{h}$ на основе дифференциальной задачи построим разностную: