Принцип пьяницы

На данной странице мы докажем строго математически так называемый парадокс пьяницы. Доказательство опирается на понятие общезначимой формулу.

Общезначимые формулы

Среди всех формул языка логики высказываний (ЯЛВ) особый интерес представляют те формулы, которые принимают значение истина всюду, независимо от интерпретации [от лат. interpretatio 'истолкование'] и значений, придаваемых их свободным переменным.

Введём ряд важных понятий.

Формулировка парадокса

Рассмотрим формулу $\exists {x}\left(P{\left(x\right)}\supset {\forall y\;{P{\left(y\right)}}}\right)$. Обозначим её через $F$, т. е. запишем как $F\eqcirc \exists {x}\left(P{\left(x\right)}\supset {\forall y\;{P{\left(y\right)}}}\right)$. Эта замкнутая формула [т. к. не содержит свободных переменных — каждая переменная ограничена своим квантором] имеет весьма забавные интерпретации. Например, в качестве поля $M$ можно взять множество всех людей, а в качестве ${\widetilde {P}}$ — свойство «быть пьяницей». Тогда формуле $F$ соответствует высказывание «существует такой человек, что если он пьёт, то пьют все».

Давайте возьмём в качестве $M$ группу студентов. И намеренно прочитаем данную формулу сначала неправильно: «Если в группе есть студент-пьяница, то все в группе пьяницы». Этому высказыванию соответствует совершенно другая формула: $\exists {x}\;P{\left(x\right)}\supset {\forall y\;{P{\left(y\right)}}}$. Конкретно эта формула НЕ является общезначимой, т. е. обязательно найдётся такая интерпретация, в которой высказывание, соответствующее формуле $\exists {x}\;P{\left(x\right)}\supset {\forall y\;{P{\left(y\right)}}}$, станет ложным. Это очень важно понимать. Правильное же прочтение формулы $F\eqcirc \exists {x}\left(P{\left(x\right)}\supset {\forall y\;{P{\left(y\right)}}}\right)$ в интерпретации «студенты-пьяницы» будет следующим: «В группе есть такой студент, что если он пьяница, то все в группе пьяницы».

Можно придумать другое свойство ${\widetilde {P}}$ — свойство «быть умницей». Истинность утверждения не изменится.

На первый взгляд может показаться, что такого человека не существует, а значит, это высказывание ложно. Однако на самом деле, это высказывание истинно. Более того, рассматриваемая формула истинна в любой интерпретации, т. е. она общезначима [с позиции объективной математической логики это истина, т. е. ЗАКОН!]. Докажем это.

Доказательство общезначимости

Доказательство: $F\eqcirc \exists {x}\left(P{\left(x\right)}\supset {\forall y\;{P{\left(y\right)}}}\right)$ — общезначимая формула.

Пусть ${\mathfrak {M}}=\left\langle M,\,{\widetilde {P}}\right\rangle$ — произвольная интерпретация. Можно взять и произвольную оценку $v$, однако формула $F$ замкнута, поэтому оценка неважна. Докажем напрямую, что формула ${\widetilde {F}}$ истинна. Метод доказательства разбором случаев. ${\color {red}{\text{Способ 1}}}$. Для доказательства достаточно в каждом случае указать такой элемент $a$ из $M$, что высказывание ${\widetilde {P}}{\left(a\right)}\supset {\left(y\right){{\widetilde {P}}{\left(y\right)}}}$ истинно. а) Допустим, что посылка в формуле ${\widetilde {F}}$ истинна, т. е. $\left|\,{\widetilde {P}}{\left(x\right)}\,\right|\equiv {\text{И}}$. В этом случае имеется такой элемент из $M$, который находится в отношении ${\widetilde {P}}$ с каждым элементом $M$. Тогда в качестве такого $x$ можно взять любой элемент $M$. Действительно, пусть $a$ — какой-нибудь элемент $M$. Высказывание ${\widetilde {P}}{\left(a\right)}\supset {\left(y\right){{\widetilde {P}}{\left(y\right)}}}$ истинно, поскольку истинна как его посылка, так и заключение. Таким образом, высказывание ${\widetilde {F}}$ истинно. б) Допустим, что ${\widetilde {P}}{\left(x\right)}\not \equiv {\text{И}}$. А этот случай говорит о том, что студенты в группе не все пьяницы. Пусть $b$ — такой элемент из $M$, что ${\widetilde {P}}{\left(x\right)}={\text{Л}}$. Тогда в качестве искомого $x$ можно взять как раз элемент $b$. Действительно, высказывание ${\widetilde {P}}{\left(b\right)}\supset {\left(y\right){{\widetilde {P}}{\left(y\right)}}}$ истинно, поскольку его посылка ложна. Таким образом, и в этом случае высказывание ${\widetilde {F}}$ истинно. ${\color {blue}{\text{Способ 2}}}$. Запишем прочтение данной формулы в интерпретации ${\mathfrak {M}}$: $\left|\,{\widetilde {F}}\,\right|=\left|\,{\left({\mathsf {E}}\,x\right)\left({\widetilde {P}}{\left(x\right)}\;{\overset {\circ }{\supset }}\;{\left(y\right){{\widetilde {P}}{\left(y\right)}}}\right)}\,\right|.$ У нас всё также два варианта. а) Напишем символьно: $\left|\,{\widetilde {P}}{\left(x\right)}\,\right|\equiv {\text{И}}\,{\overset {\text{равносильное}}{\underset {\text{преобразование}}{\longleftrightarrow }}}\,\left|\,{\widetilde {P}}{\left(y\right)}\,\right|\equiv {\text{И}}\,{\overset {\text{основные}}{\underset {\text{расшифровки}}{\longleftrightarrow }}}\,\left|\,\left(y\right)\,{\widetilde {P}}{\left(y\right)}\,\right|={\text{И}}\,\longleftrightarrow \,\left|\,\left({\mathsf {E}}\,x\right)\left({\widetilde {P}}{\left(x\right)}\;{\overset {\circ }{\supset }}\;{\text{И}}\right)\,\right|={\text{И}}\rightarrow \left|\,{\widetilde {F}}\,\right|={\text{И}}.$ Это тривиальный случай ведь в интерпретации «студенты-пьяницы» вполне может оказаться, что все студенты как раз пьяницы — тогда вопросов бы не было и утверждение автоматически становится истиной. б) Аналогично предыдущему пункту проведём рассуждения словесно-символьно: $\left|\,{\widetilde {P}}{\left(x\right)}\,\right|\not \equiv {\text{И}}\,{\overset {\text{основные}}{\underset {\text{расшифровки}}{\longleftrightarrow }}}\,\left({\mathsf {E}}\,{x}\right)\left(\left|\,{{\widetilde {P}}{\left(x\right)}}\,\right|={\text{Л}}\right)\longleftrightarrow \,\left({\mathsf {E}}\,{x}\right)\left(\left|\,{{\widetilde {P}}{\left(x\right)}}\,\right|={\text{Л}}\right){\text{ и }}\underbrace {\left|\left(y\right)\,{\widetilde {P}}{\left(y\right)}\,\right|={\text{Л}}} _{{\text{не содержит свободный }}x}\,{\overset {\text{основные}}{\underset {\text{расшифровки}}{\longleftrightarrow }}}$ ${\overset {\text{основные}}{\underset {\text{расшифровки}}{\longleftrightarrow }}}\,\left({\mathsf {E}}\,{x}\right)\left(\left|\,{{\widetilde {P}}{\left(x\right)}}\,\right|={\text{Л}}\,{\text{ и }}\left|\left(y\right)\,{\widetilde {P}}{\left(y\right)}\,\right|={\text{Л}}\right)\longleftrightarrow \,\left({\mathsf {E}}\,{x}\right)\left(\left|\,{\underbrace {{\widetilde {P}}{\left(x\right)}} _{=\;{\text{И}}}\;{\overset {\circ }{\supset }}\;{\left(y\right)\,{{\widetilde {P}}{\left(y\right)}}}}\,\right|={\text{И}}\right)\longleftrightarrow \,\left|\left({\mathsf {E}}\,x\right)\left({\widetilde {P}}{\left(x\right)}\;{\overset {\circ }{\supset }}\;{\left(y\right)\,{{\widetilde {P}}{\left(y\right)}}}\right)\,\right|={\text{И}}\rightarrow \left|\,{\widetilde {F}}\,\right|={\text{И}}.$ Итак, разбором случаев мы доказали, что высказывание ${\widetilde {F}}$ истинно в произвольной интерпретации ${\mathfrak {M}}=\left\langle M,\,{\widetilde {P}}\right\rangle$. Следовательно, формула $F$ общезначима. Докажем другим методом. Метод доказательства от противного. Допустим, что $F$ не общезначимая формула. Следовательно, найдётся такая интерпретация ${\mathfrak {M}}=\left\langle M,\,{\widetilde {P}}\right\rangle$, что формула $F$ в ней обращается в ложь, то есть $\left({\mathsf {E}}\,{\mathfrak {M}}\right)\left(\left|\,{F}\,\right|={\text{Л}}\right)$. Имеем $\left|\,{\widetilde {F}}\,\right|=\left|\,{\left({\mathsf {E}}\,x\right)\left({\widetilde {P}}{\left(x\right)}\;{\overset {\circ }{\supset }}\;{\left(y\right){{\widetilde {P}}{\left(y\right)}}}\right)}\,\right|={\text{Л}}\,\longleftrightarrow \,\left|{{\widetilde {P}}{\left(x\right)}\;{\overset {\circ }{\supset }}\;{\left(y\right){{\widetilde {P}}{\left(y\right)}}}}\,\right|\equiv {\text{Л}}\,\longleftrightarrow \,\left\{{\begin{matrix}\left|{{\widetilde {P}}{\left(x\right)}}\,\right|\equiv {\text{И}},\\\left|{\left(y\right){{\widetilde {P}}{\left(y\right)}}}\,\right|={\text{Л}}.\end{matrix}}\right.\,\longleftrightarrow \,\left\{{\begin{matrix}\left|{{\widetilde {P}}{\left(x\right)}}\,\right|\equiv {\text{И}},\\\left|{\left(y\right){{\widetilde {P}}{\left(y\right)}}}\,\right|\not \equiv {\text{И}}.\end{matrix}}\right.$ В предложении: $\left|{\left(y\right){{\widetilde {P}}{\left(y\right)}}}\,\right|\not \equiv {\text{И}}$, раз для любого $y$, то и для $y=x$. Ещё раз перепишем: $\left\{{\begin{matrix}\left|{{\widetilde {P}}{\left(x\right)}}\,\right|\equiv {\text{И}},\\\left|{{\widetilde {P}}{\left(x\right)}}\,\right|\not \equiv {\text{И}}.\end{matrix}}\right.$ Следовательно, мы получили противоречие; другими словами, не существует такой интерпретации ${\mathfrak {M}}=\left\langle M,\,{\widetilde {P}}\right\rangle$, в которой данная формула была ложна, то есть можно логически заключить, что она всегда истинна в любой интерпретации. Значит, наше предположение: "$F$ не общезначимая формула", является неверным, поэтому $F$ — общезначима, что собственно и требовалось доказать.

Иная интерпретация

Придумаем другую интерпретацию, которая, возможно, не будет вводить в заблуждение. В формуле $F\eqcirc \exists {x}\left(P{\left(x\right)}\supset {\forall y\;{P{\left(y\right)}}}\right)$ положим ${\widetilde {P}}$ — свойство «быть наполненным», $y$ — объём некоторого сосуда, а $x$ — незаполненный объём этого же сосуда.

Тогда мы получим, что «В сосуде любого объёма найдётся такое объём, что если его заполнить, то весь сосуд будет заполненным».

Литература

• Тимофеева И. Л. Математическая логика. Курс лекций. — 2-е изд., перераб.. — М.: КДУ, 2007. — С. 168-169. — 304 с. — ISBN 978-5-98227-307-9

См. также

• Ссылки на другие учебники, страницы Википедии, прочие материалы по теме.