Почему летает самолёт, или о потоках массы и импульса

Автор исходного текста («Почему летает самолёт, или о потоках массы и импульса»), журнал Потенциал, № 8, 2005) Стасенко Альберт Леонидович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой общей физики ФАЛТ МФТИ, член редколлегии журнала «Квант»

...известный американский астроном С.Ньюком (1835-1909) математически доказал невозможность создания летательных аппаратов тяжелее воздуха.

А.И. Осипов. Путь разума в поисках истины. М.:изд-во Братства им.Александра Невского.1999. С.139

1

Если спросить прохожего, почему летает самолёт, он остроумно ответит: по небу (по чему). И будет неправ — как мы увидим, самолёт летает… по земле!

Для начала вспомним известную задачу. На чашках весов стоят две непрозрачные коробки. В одной из них сидит муха, в другой — такая же муха летает. Что покажут весы? Ответ: нуль. Потому что летающая муха, для того чтобы держаться в воздухе, создает поток импульса, в точности равный её весу. Этот поток импульса (вес мухи), направленный вниз, передаётся на дно коробки, уравновешивая муху, сидящую в другой коробке.

Может быть, не всем понятно, что такое поток импульса? Тогда рассмотрим другой пример.

На муху очень похож вертолёт, неподвижно висящий в воздухе. Что позволяет ему не падать? Винт «засасывает» воздух, который вдали («на бесконечности») покоится $\left(v_{\infty }=0\right)$, и отбрасывает его вниз со скоростью $v$. Конечно, этот воздух рано или поздно возвращается на свое место, так что вертолёт создает тороидальный вихрь, перемешивая всю атмосферу, как показано (качественно) на рис.1.

Если обозначить плотность воздуха через $\rho$ кг/м³ (а при дозвуковых скоростях плотность потока можно считать постоянной), то масса воздуха, перетекающего в единицу времени через сечение $S$ со скоростью $v$, равна $\mu =\rho vS$ [кг/м³$\cdot$м/с$\cdot$м² = кг/с].

2

Напомним вывод этой формулы. Расход $Q$ [м³/c] — это объём жидкости или газа, протекающий через поперечное сечение потока или трубы в единицу времени: $Q={\frac {\Delta V}{\Delta t}}$.

Пусть S — площадь поперечного сечения потока, v — его скорость. Тогда за промежуток времени $\Delta t$ через поперечное сечение s пройдет объём $\Delta V=s\cdot v\cdot \Delta t$ (Рис.2). Тогда $Q={\frac {\Delta V}{\Delta t}}=s\cdot v$ и $\mu =\rho \cdot Q=\rho \cdot s\cdot v.$ Эту величину естественно назвать потоком массы. А если разделить ее на площадь сечения потока, получим плотность потока массы ${\frac {\mu }{S}}=\rho v$ [кг/(м²$\cdot$с)]

Но чему равен импульс этого потока массы? Каждый школьник знает, что импульс тела массой $m$, движущегося со скоростью $v$, равен $p=mv$. Разделив обе части этого равенства на массу, получим удельный импульс (то есть импульс единицы массы) ${\frac {p}{m}}=v$. Значит, каждый килограмм массы несёт импульс, равный скорости движения этого килограмма. А если поток массы равен $\mu$ [кг/с], то, умножив его на $v$, мы и получим поток импульса $\mu v$,[кг/с$\cdot$м/с = H], то есть силу. И эта сила должна равняться весу вертолёта, если мы хотим, чтобы он висел в воздухе:

$\mu v=\rho v^{2}S=G$ (1)

Вы спросите при чем здесь земля и будете правы - НИ ПРИ ЧЕМ.

3

Теперь наклоним плоскость винта вертолёта «вперёд» (рис.3)

Разложим силу его тяги на вертикальную компоненту Y и горизонтальную X. Вертолёт полетит в направлении силы X, компонента Y, конечно, должна остаться равной весу, а X уравновесится силой сопротивления воздуха. У самолёта роли в создании этих двух сил разделены: крыло создает вертикальную (подъёмную) силу, а мотор — силу тяги. (Подробнее бы: "крыло создает вертикальную (подъёмную) силу," - а как?) Причем крыло обладает замечательным свойством: оно способно создавать подъёмную силу намного большую, чем сила сопротивления воздуха его движению. Физик сказал бы — на порядок большую. Это, конечно, не означает «ровно в 10 раз большую», — это может быть и 8, и 20. Отношение этих двух сил называется качеством крыла ${\frac {Y}{X}}=K$. Следовательно, в отличие от вертолёта, крылатый летательный аппарат нуждается в силе тяги, на порядок меньшей веса аппарата (а ведь вертолёт даже для неподвижного висения должен обладать подъёмной силой, не меньшей веса, — а тем более для горизонтального перемещения).

Не случайно крылатый летательный аппарат поднялся в воздух раньше вертолёта. В частности, недавно (2003 г.) праздновали столетие со дня первого полёта братьев Райт.

Примерно полсотни лет самолёты использовали тягу винта-пропеллера. Современные самолёты используют реактивные двигатели. Но физический принцип одинаков: любой двигатель должен создавать поток импульса.

4

Оценим, с какой скоростью двигатель самолёта должен отбрасывать массу газа назад. Если вес самолёта равен G, качества крыла К, а мы собираемся использовать N двигателей, то каждый из них должен создать силу тяги G/KN. Далее, если на выходе из двигателя площадью сечения S плотность газов равна $\rho _{s}$ скорость истечения v, то поток массы в системе координат, связанной с самолётом, $\,\!\mu {\rm {=}}\rho _{\rm {s}}{\rm {vS}}{\rm {,}}$ [кг/с]. Будем считать приближенно, что он равен потоку массы на входе в двигатель. Это значит, что мы пренебрегаем добавочной массой сгоревшего топлива — роль последнего, таким образом, сводится к нагреванию воздуха, а не к увеличению расхода массы — и чем меньше расход топлива, тем экономичнее авиадвигатель. Тогда, в результате нагревания воздуха, проходящего через двигатель, его скорость (а это ведь, как мы помним, удельный импульс) увеличивается на v-u, где u — скорость полёта (рис.4).

Таким образом, изменение импульса (а это и есть тяга одного двигателя) равно $F_{1}=\mu (v-u)=\rho _{s}uS(v-u)=G/KN.$ Предположим, что давление газов на выходе из двигателя в точности равно давлению окружающем воздухе (индекс $\infty$), а их температура равна T_s. Тогда плотность найдем из закона Менделеева — Клапейрона: $\rho _{s}=p_{\infty }/RT_{s},$ где $R=R_{0}/M$ — газовая постоянная, $R_{0}=8,31$ Дж/К$\cdot$моль, $M=29\cdot 10^{-3}$ кг/моль — молярная масса воздуха. Кстати, обращаем внимание, что плотность выхлопных газов $\rho _{s}$ вообще не должна равняться плотности атмосферы, что и подчеркивает индекс s.

5

Сделаем численные оценки. Рассмотрим современный авиалайнер весом $G=400T=4\cdot 10^{6}H$ имеющий N=4 двигателя радиусом r выходного сечения один метр, летящий с дозвуковой скоростью u = 250 м/с на высоте более 10 км, давление атмосферы в пять раз меньше давления на уровне моря, $p_{\infty }=10^{5}/5=2\cdot 10^{4}$ Па. Чему равна T_s ? Подставим эти числа в уравнение

$F_{1}=p_{\infty }/RT_{s}v\pi r^{2}(v-u)=G/KN=4\cdot 10^{6}/(10\cdot 4)=10^{5}H$

Решая это квадратное уравнение (относительно v), найдем $v\approx 500$ м/с.

Конечно, такой двигатель (у которого радиус выходного сечения порядка метра) может принадлежать только очень большому трансатлантическому лайнеру. Но почему выгодно строить большие самолёты? На это отвечает теория подобия, которую знали еще во времена Джонатана Свифта. Вот что пишет по этому поводу очевидец Гулливер: «Математики его величества, определив высоту моего роста при помощи квадранта и найдя, что высота эта находится в таком отношении к высоте лилипута, как двенадцать к единице, заключили на основании сходства наших тел, что объём моего тела равен, по крайней мере, объёму 1728 тел лилипутов, а следовательно, оно требует во столько же раз больше пищи». Другими словами, если лилипуту полагается один бутерброд, то Гулливеру — 12³ бутербродов. Ясно, что тут заложено предположение об одинаковости массовой плотности тел лилипута и Гулливера.

Другое дело — летательный аппарат. Как видно из выражения (1), подъёмная сила пропорциональна не объёму, а площади поверхности. Значит если увеличить характерный размер самолёта в N раз, его объём увеличится в N³ раз, а площадь крыла и, следовательно, вес — в N² раз. Это потому что самолёт — оболочка, а не сплошное тело. (Понятно, что в этих рассуждениях $\rho v^{2}$ — так называемый скоростной напор — считаем фиксированным).

6

Да, но! — воскликнет внимательный читатель — ведь формула (1) получена для вертолёта, а мы говорим уже о самолётах? Тут надо успокоить внимательного читателя такими словами: Вы правы, но если признать, что аэродинамическая сила, действующая на летательный аппарат, зависит от плотности среды $\rho$ [кг/м³], скорости движения v [м/c], и его размера L [м], то единственной комбинацией этих величин, имеющей размерность силы, будет $\rho v^{2}L^{2}$[кг/м³$\cdot$ м²/ с² $\cdot$ м² = кг$\cdot$ м/с²]. Конечно, для определения численного значения этой силы надо бы учесть еще неизвестный безразмерный множитель, — но ведь нас интересовали только отношения сил, а не их величина.

Итак, на какой высоте ни летел бы самолёт, он просто обязан создавать равный по весу поток импульса, направленный вниз и, в конце концов, опираться на землю.

(Опора на землю существует, пока поток газа ударяется в землю и, сжимаясь ею, как подушка, поддерживает крыло. Однако, чем выше самолёт, летит, тем меньше он опирается на землю, вихри газа ускоряются, поглощают энергию импульса, уходят наверх крыла и не доходят до земли. Самолёт вертикального взлёта на пороховых двигателях мог бы лететь в космосе, вообще не взаимодействуя с Землёй, а поток импульса создаётся так же. Опора на массивный и упругий воздух не обязательна, но принцип потока импульса соблюдается всегда, это принцип реакции на границе тела, принцип реактивного движения. Газовая динамика и динамика твердого тела всё же кое-чем отличаются. Автор неосторожно попытался смешать замкнутые и распределённые системы, коробку и атмосферу, а ведь поток должен рассматриваться как поток через заданную площадь поверхности, через границу. Решите сами, содрогнётся ли коробка с мухой, если та попытается "лететь" вниз или стукнется о крышку коробки. Услышите стук - значит замкнутая коробка движется, ибо звук вышел за её пределы.)

7

Но, конечно, дело не только в мухах, вертолётах и самолётах. Рассмотренные нами понятия потоков и плотностей потоков довольно часто встречаются во многих разделах физики. Это очень полезные понятия. Вы, наверное, уже догадались, что можно ввести не только понятие потока массы и импульса, но и других физических величин: потока момента импульса (если что-то вращается), потока энергии, потока электрического заряда (также называемого силой тока), потока индукции магнитного поля… да мало ли чего еще. Но на первый раз достаточно сказанного.

Так что если вы сообщите близким, друзьям и знакомым, что скорость — это удельный импульс, а сила есть поток импульса, вы будете совершенно правы. А если еще добавите, что давление есть плотность потока импульса, вы прослывете в своей школе очень умным и наверняка поступите в МФТИ.

А что же братья Райт? Они все-таки были страшно наказаны за ослушание родителя: судьба не послала им детей и, следовательно, внуков, которые могли бы сейчас читать журнал «Потенциал».

Упражнения

1. Оценить минимальный расход (поток массы) топлива $N\mu _{T},$ необходимый для обеспечения силы тяги самолёта, рассмотренного в тексте. При сгорании одного килограмма топлива выделяется энергия r, Дж/кг (теплотворная способность). Считать, что эта энергия идет на преодоление силы сопротивления (мощность $NF_{1}$) и изменение кинетической энергии газов (до и после прохождения двигателей). Потерями тепловой энергии пренебречь. Для керосина принять r = 40 МДж/кг.

2. Сравнить найденный расход топлива с расходом воздуха.

3. Оценить площадь крыльев рассматриваемого самолёта.