Построение эллипса

ПРИБЛИЖЕННОЕ ПОСТРОЕНИЕ ЭЛЛИПСА (точное невозможно при помощи циркуля и линейки)

Пусть даны две взаимноперпендикулярные прямые (оси будущего эллипса) и два отрезка длиной a (большая полуось) и b (малая полуось). Точку пересечения прямых обозначим как O, это центр эллипса.

С помощью циркуля

1. Раствором циркуля, равным a, с центром в точке O отметим на одной из прямых точки P₁ и Р₂, а на второй прямой раствором, равным b — точки Q₁ и Q₂. Полученные точки являются вершинами эллипса, а отрезки P₁Р₂ и Q₁Q₂ — его большая и малая оси, соответственно.
2. Раствором циркуля, равным a, с центром в точке Q₁ (или Q₂) отметим на отрезке P₁Р₂ точки F₁ и F₂. Полученные точки являются фокусами эллипса.
3. На отрезке P₁Р₂ выберем произвольную точку T. Затем с помощью циркуля начертим две окружности: первую — радиуса, равным длине отрезка TP₁, с центром в точке F₁ и вторую радуса, равным длине отрезка TP₂, с центром в точке F₂. Точки пересечения этих окружностей принадлежат искомому эллипсу, так как сумма расстояний из обоих фокусов равна длине большой оси 2a.
4. Повторяя необходимое число раз шаги предыдущего пункта, получим искомый эллипс.

С помощью циркуля и линейки

1. Раствором циркуля, равным a, с центром в точке O отметим на одной из прямой точки P₁ и Р₂, а на второй прямой раствором, равным b — точки Q₁ и Q₂. Полученные точки являются вершинами эллипса, а отрезки P₁Р₂ и Q₁Q₂ — его большая и малая оси, соответственно.
2. С помощью линейки проводим через точку O произвольную наклонную линию. Затем раствором циркуля, равным а, с центром в точке O отмечаем на ней точку S, а раствором, равным b — точку R.
3. Затем из точки S опускаем перпендикуляр на прямую P₁Р₂. Для этого произвольным раствором циркуля (но бо́льшим, чем расстояние от точки до прямой), с центром в точке S отмечаем на отрезке P₁Р₂ две точки, переносим в них циркуль и отмечаем тем же радиусом точку персечения окружностей S'. Затем с помощью линейки соединяем точки S и S', это и есть искомый перпендикуляр.
4. Аналогичным способом опускаем перпендикуляр из точки R на прямую Q₁Q₂.
5. Точка пересечения построенных перпендикуляров принадлежит эллипсу.
6. Повторяя необходимое число раз шаги четырёх предыдущих пунктов, получим искомый эллипс.

С помощью двух иголок и нитки

В 2-х чёрных фокусах — 2 иголки, соединённые нитью. В красной точке — карандаш, который натягивает нить

Ссылка на видео для этого способа

Примем, что

• AA₁ = 2a — это большая ось эллипса,
• BB₁ = 2b — это малая ось эллипса,
• Точки F и F₁ — фокусы эллипса. Фокусы лежат на прямой AA₁ на расстоянии a от точки B. Расстояние между фокусами FF₁ равно $2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$

Этот способ основан на определении (фокальном свойстве) эллипса: эллипс — геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до фокусов постоянна и равна 2a.

Для этого способа лист бумаги нужно приколоть к чертёжной доске.

1. В точки фокусов эллипса F и F₁ втыкаются две иголки (иглы́, булавки, кнопки, тонких гво́здика…)

2. К этим двум иголкам привязываются (у са́мой поверхности бумаги) концы нити длиной 2a — нужно, чтобы между иголками F и F₁ было 2a длины нити. Это удобно осуществить так:

1. Берётся нитка длиной в несколько раз больше 2a.
2. Один из концов нити привязывается к иголке F.
3. В точку B втыкается третья иголка.
4. Нить кладётся на лист дальше иголки B от прямой FF₁, один раз (один виток) оборачивается вокруг иголки F₁ (так что может скользить по ней), затем, держа нить левой рукой за свободный конец, её натягивают вдоль ломанной FBF₁.
5. Свободный конец нити зажимается в кулаке левой руки, и кулак прижимают к листу бумаги в стороне от будущего эллипса — так, чтобы кулак (и нить) не перемещались ни в направлении к точке F₁ ни в направлении прочь от неё. Кулак держать так (зафиксированным) до тех пор, пока эллипс не будет построен. Вместо удерживания конца нити рукой, можно привязать конец нити к четвёртой иголке или кнопке, и, натянув нить, воткнуть эту иголку/кнопку в стороне от будущего эллипса.
6. Выдёргиваем (удаляем) иголку B (нить при этом утрачивает натяжение).

• Примечание: Вместо точки B третью иголку можно было воткнуть в точку A.

3. Грифелем карандаша оттягиваем участок нити между иголками F и F₁ в сторону от прямой AA₁, натягивая нить.

4. Оттягивающий нить грифель карандаша прижимаем к бумаге и, скользя грифелем по натянутой нити от точки A до точки A₁, рисуем половину эллипса, лежащую по одну сторону от прямой AA₁.

5. Располагаем грифель карандаша по другую сторону от нити, оттягиваем нить в другую сторону от прямой AA₁ и, так же как первую, рисуем вторую половину эллипса.

Чтобы нить не спадала вниз с грифеля карандаша, на лист бумаги под нить можно подложить шайбу от резьбового соединения (шайбу подходящей толщины) и оттягивающим нить грифелем касаться бумаги внутри отверстия шайбы — чтобы во время рисования эллипса натянутая нить лежала на шайбе (грифель будет перемещать шайбу по бумаге и вдоль нити).

Усовершенствование способа

Можно не привязывать нить ни к одной из иголок и нарисовать эллипс одним движением карандаша, а не двумя:

1. Так же втыкаем три иголки — в точки F, F₁ и B.
2. Треугольник FF₁B окружаем и обтягиваем нитью, и связываем концы натянутой нити — получается кольцо из нити. Длина кольца равна периметру треугольника FF₁B.
3. Выдёргиваем (удаляем) иголку B (кольцо из нити при этом утрачивает натяжение).
4. Поместив грифель карандаша внутри кольца из нити, оттягиваем грифелем нить в сторону от прямой FF₁, натягивая нить. Затем, удерживая нить натянутой, прижимаем грифель к бумаге и, скользя грифелем по натянутой нити вокруг отрезка FF₁, рисуем эллипс не двумя движениями руки с карандашом, а одним (круговым).

• Примечание: Опять-таки, вместо точки B третью иголку можно было воткнуть в точку A.

С помощью эллипсографа

Эллипсограф в действии.

В Википедии есть статья «Эллипсограф».

Эллипсограф состоит из двух ползунов, которые могут двигаться по двум перпендикулярным канавкам или направляющим. Ползуны прикреплены к стержню посредством шарниров, и находятся на фиксированном расстоянии друг от друга вдоль стержня. Ползуны движутся вперёд и назад — каждый по своей канавке, — и конец стержня описывает эллипс на плоскости.

Полуоси эллипса a и b представляют собой расстояния от конца стержня до шарниров на ползунах. Обычно расстояния a и b можно варьировать, и тем самым менять форму и размеры вычерчиваемого эллипса.