Последовательности/Геометрическая прогрессия

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$, $\ldots$ (члены прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на определённое число $q$ (знаменатель прогрессии). При этом $b_{1}\neq 0,q\neq 0;b_{n}=b_{n-1}q,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2$.

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

$b_{n}=b_{1}q^{n-1}.$

Если $b_{1}>0$ и $q>1$, прогрессия является возрастающей последовательностью, если $0<q<1$, — убывающей последовательностью, а при $q<0$ — знакочередующейся, при $q=1$ — стационарной.

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

$|b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},$

то есть модуль каждого члена равен среднему геометрическому его соседей.

Примеры

Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов

• Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата.
• Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
• Шаблон:Nums — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
• 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
• 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
• $\pi$, $\pi$, $\pi$, $\pi$ — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
• 3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
• 1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.

Свойства

• Формула знаменателя геометрической прогрессии:

$q={\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}$

Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

• Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.

Доказательство

$\log(b_{n})=\log(b_{1}q^{n-1})=\log(b_{1})+(n-1)\cdot \log(q)$ Формула общего члена арифметической прогрессии: $a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d$.
В нашем случае
$a_{1}=\log(b_{1})$,
$d=\log(q)$.

• $b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}$, если $1<i<n$.

Доказательство

$b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.$

• Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле

  $P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2}}.$

Доказательство

$P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}.$ Раскроем произведение $\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}$: $\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=q^{0}\cdot q^{1}\cdot q^{2}\cdot \ldots \cdot q^{i-1}=q^{0+1+2+\ldots +(i-1)}.$ Выражение $0+1+2+\ldots +(n-1)$ представляет собой арифметическую прогрессию с $a_{1}=0$ и шагом 1. Сумма первых n членов прогрессии равна $S_{n}=n\cdot {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}=n\cdot {\frac {0+(n-1)}{2}}.$ Откуда $P_{n}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n-1))}{2}}=\left(b_{1}b_{1}q^{n-1}\right)^{\frac {n}{2}}=\left(b_{1}b_{n}\right)^{\frac {n}{2}}.$

• Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле

  $P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

Доказательство

$P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i}}{\prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

• Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии

  $S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}={\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}$

Доказательство

• Доказательство через сумму:

  $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}.$

  То есть $\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}$ или

  $\left(1-q\right)\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}-b_{1}q^{n}.$

  Откуда $\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$

• Доказательство индукцией по $n$.

  Пусть $S_{n}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$

  При $n=1$ имеем: $S_{1}=\sum _{i=1}^{1}b_{i}=b_{1}=b_{1}{\frac {1-q^{1}}{1-q}}.$

  При $n\rightarrow n+1$ имеем: $S_{n+1}=\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}+b_{n+1}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+b_{1}q^{n}=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}}{1-q}}+q^{n}\right)=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n+1}}{1-q}}\right)=b_{1}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.$

• Сумма всех членов убывающей прогрессии:

$\left|q\right|<1$, то $b_{n}\to 0$ при $n\to +\infty$, и

$S_{n}\to {\frac {b_{1}}{1-q}}$ при $n\to +\infty$.

Доказательство

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}{\frac {q^{n}}{1-q}}\right)={\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{1-q}}.$ Если $\left|q\right|<1,$ то $q^{n}\to 0$ при $n\to \infty .$ Поэтому $\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{1-q}}=0.$ Следовательно $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {b_{1}}{1-q}}.$

Решим следующую задачу.

Найти произведение $n$ первых членов ГП, если известна их сумма $S_{n}$ и сумма $\sigma _{n}$ их обратных величин.

Запишем условие: $S_{n},\sigma _{n}.$ Найти: $P_{n}.$ Решение. Пусть $b_{1}$ — первый член данной ГП. Как можно представить первые $n$ членов? Это просто: вот такой последовательностью $b_{1},q{b_{1}},q^{2}{b_{1}},...,q^{n-1}{b_{1}}.$ Тогда мы можем написать: ${\begin{cases}S_{n}=b_{1}+q{b_{1}}+q^{2}{b_{1}}+...+q^{n-1}{b_{1}},\\\\\sigma _{n}={\frac {1}{b_{1}}}+{\frac {1}{q{b_{1}}}}+{\frac {1}{q^{2}{b_{1}}}}+...+{\frac {1}{q^{n-1}{b_{1}}}}.\end{cases}}\Longleftrightarrow {\begin{cases}S_{n}={\frac {b_{1}\left(q^{n}-1\right)}{q-1}},\\\\\sigma _{n}={\frac {1}{b_{1}}}\cdot {\frac {1-{\frac {1}{q^{n}}}}{1-{\frac {1}{q}}}}.\end{cases}}$ Разделим первое равенство на второе и получим: ${\frac {S_{n}}{\sigma _{n}}}={b_{1}}^{2}\cdot q^{n-1},$ откуда ${\left({\frac {S_{n}}{\sigma _{n}}}\right)}^{\frac {n}{2}}={b_{1}}^{n}\cdot q^{\frac {n(n-1)}{2}}.$ С другой стороны, мы можем перемножить выписанные члены ГП: $b_{1},q{b_{1}},q^{2}{b_{1}},...,q^{n-1}{b_{1}}.$ Имеем следующее произведение: ${P_{n}}=b_{1}\cdot \left(q{b_{1}}\right)\cdot \left(q^{2}{b_{1}}\right)\cdot ...\cdot \left(q^{n-1}{b_{1}}\right)={b_{1}}^{n}\cdot q^{0+1+2+...+n-1}={b_{1}}^{n}\cdot q^{\frac {n(n-1)}{2}}.$ Тогда если ${P_{n}}={b_{1}}^{n}\cdot q^{\frac {n(n-1)}{2}},$ то ${P_{n}}={\left({\frac {S_{n}}{\sigma _{n}}}\right)}^{\frac {n}{2}}.$ Ответ: ${\left({\frac {S_{n}}{\sigma _{n}}}\right)}^{\frac {n}{2}}.$

Следствие 1. ${P_{n}}={\left({\frac {S_{n}}{\sigma _{n}}}\right)}^{\frac {n}{2}}.$

Следствие 2. ${P_{n}}={b_{1}}^{n}\cdot q^{\frac {n(n-1)}{2}}.$

Следствие 3. ${S_{n}}=\sigma _{n}\cdot {b_{1}}{b_{n}}.$

См. также

• Арифметическая прогрессия
• Арифметико-геометрическая прогрессия
• Числа Фибоначчи
• Показательная функция
• Сумма ряда