Основы алгебры/Формулы сокращённого умножения

Ниже приведённые формулы применяются в обе стороны. По понятным причинам ценность формул выше при их применении из раскрытого состояния, из закрытого ускоряют решение. Существуют для любой натуральной степени (выводятся общей порождающей формулой). Под a и b подразумеваются выражения любой степени сложности, а n - натуральное число. Являются тождествами, поэтому принадлежат к алгебре.

Для квадратов:

1. $(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$
2. $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
3. $\left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$
4. $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$

Для кубов:

1. $(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$
2. $a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})$
3. $\left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc$

Для четвёртой степени:

1. $(a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}$
2. $~a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})$ (выводится из $a^{2}-b^{2}$)
3. $~a^{4}+a^{2}+1=(a^{2}+a+1)(a^{2}-a+1)$
4. $~a^{4}+b^{4}=(a^{2}+b^{2}-{\sqrt {2}}ab)(a^{2}+b^{2}+{\sqrt {2}}ab)$

Для n-ой степени:

1. $~a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$
2. $~a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})$, где $n\in N$
3. $~a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})$
4. $~a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-...+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})$, где $n\in N$

Некоторые свойства формул

1. $~(a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}$, где $n\in N$
2. $~(a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}$, где $n\in N$

Доказательство

$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$

$(a\pm b)^{2}=(a\pm b)(a\pm b)=a^{2}\pm ab\pm ba+b^{2}=a^{2}\pm ab\pm ab+b^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

$(a+b)(a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}$

$\left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

$\left(a+b+c\right)^{2}=(a+b+c)(a+b+c)=a^{2}+ab+ac+ba+b^{2}+bc+ca+cb+c^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

Расширение

n - действительное число.