Основы алгебры/Правило переноса слагаемого
При решении и преобразовании уравнений часто возникает потребность перенести слагаемое из одной стороны уравнения в другую. Необходимо отметить, что слагаемое может быть как со знаком «плюс», так и со знаком «минус». Правило говорит, что при переносе слагаемого из одной части уравнения в другую необходимо поменять знак. Также правило работает и для неравенств.
Примеры
править- .
Перенесём сначала из левой части уравнения в правую:
- .
Теперь перенесём число (−6) из правой части в левую:
Заметьте, знак плюс поменялся на минус, а знак минус — на плюс. Причём неважно, является ли переносимое слагаемое числом, переменной или же целым выражением.
- :
Отметим, что в этом примере слагаемым являлось целое выражение . При этом нельзя отдельно переносить или , поскольку это лишь составные части слагаемого. По той же причине нельзя переносить или . Но можно раскрыть скобку и получить два слагаемых: и . Такие два слагаемых уже можно переносить по отдельности.
- Точно так же можно преобразовывать неравенства. Например:
Перенесём все числа в одну сторону. В итоге имеем:
- , откуда
Доказательство
правитьДве части уравнения по определению равны, поэтому можно вычесть из обеих частей уравнения одинаковое выражение, и равенство останется верным. По одну сторону знака «равно» оно сократится с тем, что было. По другую сторону равенства, выражение, которое мы вычли, появится со знаком «минус».
Примеры, иллюстрирующие доказательство
правитьДля уравнений
правитьВозьмём уравнение:
Допустим, мы хотим перенести все иксы из левой части уравнения в правую. Вычтем из обеих частей
Слева сократится с , и иксов не останется. Справа сократится с , и останется :
Теперь можно привести подобные слагаемые:
Теперь нужно проверить, совпадают ли левая и правая части уравнения. Заменим неизвестную переменную получившимся результатом:
Тождество верно.
Правило для уравнений доказано,,,,
Для неравенств
правитьВозьмём неравенство:
Допустим, мы хотим перенести все иксы из левой части неравенства в правую. Вычтем из обеих частей. Слева сократится с , и иксов не останется. Справа сократится с и останется :
Теперь можно привести подобные слагаемые:
Следовательно, 4 — корень уравнения 5x+2=7x-6. Так как для него тождество доказано, то и для неравенств тоже, по определению.