Олимпиадные задачи по физике

Олимпиадные задачи по физике — задачи повышенной трудности, предлагающиеся школьникам на физических олимпиадах различного уровня. По определению, знаний, содержащихся в стандартном школьном курсе физики и математики, должно быть достаточно для решения таких задач. Трудность же задач состоит в необходимости «чувствовать» предлагаемое явление, понимать, какие из изученных законов надо применить в этом случае.

Можно выделить несколько часто встречающихся групп олимпиадных задач по физике.

Задачи на применение формул

Часто оказывается, что какая-либо тема очень проста с точки зрения физики, а это значит, что её изучают в школе очень подробно, на множестве примеров и со множеством (достаточно простых) формул. Типичный пример такой темы: кинематика тела, брошенного под углом к горизонту. К сожалению, зачастую у учащегося создается впечатление «мешанины формул», и он не понимает, какие именно из кучи известных формул надо записывать в том или ином случае.

Задачи из этой серии как раз проверяют способность школьника чувствовать, что стоит за каждой формулой, какие формулы относятся к предложенной задаче, а какие нет. Обычно такие задачи не представляют математической сложности: после записи нужной системы уравнений задача решается быстро. Трудность заключается в аккуратном выписывании формул.

Пример 1

Тело брошено вертикально вверх с некоторой скоростью. В тот момент, когда оно достигло наивысшей точки, которая располагается на высоте h над землей, вслед за ним с той же самой начальной скоростью было брошено второе тело. На какой высоте тела столкнутся? Размерами тел и сопротивлением воздуха пренебречь.

Движение тела, брошенного вертикально вверх, — равноускоренное движение по вертикальной прямой с ускорением g, направленным вниз (т.е. в обычной системе координат, где ось y направлена вверх, ускорение отрицательно). Уравнение движения такого тела, брошенного с высоты x₀ и со скоростью v₀,

x=y_{0}+v_{0}t-{gt^{2} \over 2}.

Пишем уравнения движения для обоих тел, причем оба этих уравнения должны выражаться через одно и то же время. Проще всего взять на начало отсчета времени тот момент, когда было пущено второе тело. Тогда

x_{1}=h-{gt^{2} \over 2},\quad x_{2}={\sqrt {2gh}}\cdot t-{gt^{2} \over 2}.

Столкновение тел происходит в тот момент, когда координаты тел совпадут. Так что нам осталось приравнять x₁=x₂, найти t, затем подставить его в любое из двух уравнений и найти искомую высоту.

Можно поступить чуть хитрее и воспользоваться тем, что движение обоих тел абсолютно одинаковое, но только сдвинутое по времени на величину $\tau ={\sqrt {2h/g}}$ . Тогда

x_{1}=h-{gt^{2} \over 2},\quad x_{2}=h-{g(t-\tau )^{2} \over 2}.

Приравнивание x₁=x₂ сразу дает t = τ/2, а подстановка в любое из уравнений дает ответ h₁ = 3/4 h.

Эта задача была довольно простой, поскольку она касается равноускоренного одномерного движения, и как олимпиадную её можно предлагать разве только на уровне школьных или городских олимпиад. Но вот пример посложнее.

Пример 2

Какую горизонтальную скорость необходимо сообщить математическому маятнику (материальной точке, подвешенной на нерастяжимой нити длины L), чтобы он, описав дугу, попал ровно в точку подвеса?

Задачи на физический смысл и применимость законов

Как правило, те или иные законы выполняются не всегда, а при соблюдении некоторых условий. Эти условия школьнику сообщаются мимоходом, и зачастую он их забывает, запоминая лишь формулу. Задачи на применимость законов — это как раз задачи на проверку того, понимает ли школьник физический смысл и границы применимости тех или иных законов. Часто такие задачи формулируются в виде «парадокса», и от школьника требуется его распутать.

<Закон сохранения энергии универсален. Закон сохранения механической энергии нет, так как в системах где происходит неупругое взаимодействие или присутствует трение, полная механическая энергия изменяется>.

Пример 3

По дороге с постоянной скоростью v едут две машины. Они едут по инерции: никакого сопротивления своему движению они не испытывают. Одна из машин тратит определенное количество бензина и разгоняется до скорости 2v, и снова едет по инерции с этой новой скоростью. В процессе разгона химическая энергия, запасенная в бензине тратится на изменение кинетической энергии автомобиля. Однако в одной системе отсчета (связанной с неподвижным пешеходом) это изменение равно 3/2 mv², тогда как в другой системе отсчета (связанной со вторым автомобилем) она равна mv²/2. Но ведь химическая энергия, запасенная в бензине, не зависит от системы отсчета! Как разрешить парадокс?

Опыт показывает, что многие не понимают, в чём тут проблема. Говорят, ну так это понятно: в одной системе отсчета кинетическая энергия одна, в другой — другая, в чём проблема? Проблема в том, что в задаче речь идет не про саму кинетическую энергию, а про её изменение. А оно, в силу закона сохранения полной энергии, не должно меняться при переходе от одной инерциальной системы отсчета в другую.

Для того, чтоб ещё сильнее почувствовать парадокс, можно рассмотреть процесс разгона машины в третьей системе отсчета, которая всегда двигалась со скоростью 2v. Тогда в этой системе отсчета машина тратит какое-то количество химической энергии для того, чтобы уменьшить свою кинетическую энергию! Законом сохранения энергии и не пахнет. В чём же дело?

Дело в том, что закон сохранения энергии справедлив лишь для замкнутой системы, т.е. системы, не взаимодействующей с внешним миром. Никто не требует сохранения энергии для части системы. Наша машина — незамкнутая система, потому что она разгоняется. Замкнутая система разгоняться не может по первому закону Ньютона.

С чем же взаимодействует машина? С тем, от чего она отталкивается при разгоне (ведь разгон, т. е. ускорение, возникает, согласно второму закону Ньютона, из-за внешних сил). Поскольку машина разгоняется из-за того, что её колёса имеют сцепление с Землёй, то отталкивается она от Земли. Итак, становится ясно, что машина — это лишь часть взаимодействующей системы «Земля+машина», и потому кинетическая энергия одной только машины не обязана сохраняться, что мы и видим в нашем «парадоксе».

А сохраняется ли энергия всей системы «Земля+машина»? Разумеется, да, поскольку это замкнутая система. Однако оставим это читателю в качестве упражнения.

Задачи, в которых почти ничего не дано

Часто встречаются задачи, в которых, казалось бы, ничего не дано, а что-то требуется найти. Эти задачи могут легко поставить школьника в тупик: с чего начинать решение, если ничего не дано?!

Метод решения стандартен: необходимо научиться преодолевать «страх перед неизвестным». Это значит, что в начале решения надо ввести все необходимые параметры. Да, они не даны, и ответ выражать через них нельзя, но никто нам не запрещает их использовать в процессе решения! Оказывается, что в ответе все неизвестные введенные величины сокращаются.

Такие задачи «красивы» с точки зрения физики, поскольку они используют неочевидную симметрию системы: ответ не зависит от конкретного выбора параметров, а значит годится для целого класса систем. Составление таких задач — чрезвычайно хорошая проверка для преподавателя-физика, поскольку он обязан почувствовать, увидеть систему со скрытой симметрией.

Пример 4

Математический маятник колеблется с некоторой амплитудой. Известно, что его ускорение в точке максимального отклонения по модулю равно ускорению в нижней точке траектории. С какой амплитудой колеблется маятник?

Задачи, требующие почувствовать явление целиком

Есть задачи, в которых речь идет о некотором нестандартном явлении. Часто для решения таких задач требуется в деталях представить себе, что и как при этом происходит, что для задачи существенно, а что — нет. После того, как явление представлено, решение находится довольно быстро. Без этого, при попытке справиться с задачей «пошагово», решение становится очень громоздким, непрозрачным, и в нём легко допустить ошибку. Универсального рецепта, как не ошибиться при визуализации таких задач, нет: скорее это приходит само как результат широкого кругозора и прорешивания множества задач.

Пример 5: качественная задача

Что произойдёт с уровнем воды в бассейне, если из плавающей в нём лодки бросить в воду камень? (Эту задачу когда-то предложили знаменитым физикам Г. А. Гамову, Д. Р. Оппенгеймеру и Ф. Блоху, и они ответили неправильно.) Изменится ли уровень воды (и, если да, то в какой момент) в том случае, если лодка с камнем утонет из-за дыр в её днище?

Пример 6: количественная задача

Вдоль наклонной плоскости на одинаковом расстоянии друг от друга расставлены одинаковые кирпичи. Коэффициент трения о поверхность таков, что если кирпич покоился, то он продолжает покоиться, однако если его чуть-чуть сдвинуть или толкнуть, то он начинает съезжать с ускорением a. (Такое вполне возможно, так как трение покоя обычно больше трения скольжения.) В начальный момент времени все кирпичи покоятся. Затем верхний кирпич слегка подталкивают, и он начинает соскальзывать вниз. Спустя некоторое время он сталкивается со вторым кирпичом, они соскальзывают вместе, сталкиваются с третьим, и т. д. Все столкновения абсолютно неупруги. Требуется узнать, каково будет усредненное установившееся ускорение всего «паровоза» движущихся кирпичей спустя большой промежуток времени.

Задачи, звучащие как передний край науки

Некоторые задачи современной физики удается очистить от ненужной шелухи и сформулировать на школьном уровне. Формулировка таких задач может содержать слова, выходящие за рамки школьного курса, однако метод решения опирается только на школьные навыки. Единственная трудность здесь — не бояться новых терминов, легко включаться в предложенную «нешкольную» физическую систему. Способность составления таких задач также является хорошим критерием уровня физика-преподавателя.

Пример 7

Согласно некоторым современным теориям, гравитационная постоянная Ньютона может медленно меняться со временем. Известно, что за последние сто лет длительность календарного года изменилась не более, чем на 1 секунду (числа условные). Получить ограничение сверху на скорость изменения гравитационной постоянной G.

Примеры задач из современной физики, доступные школьнику, можно найти на странице Современная физика в задачах.

Литература

Габышев Д.Н. Искусство составлять задачи и немного об их решении: учебное пособие. — Тюмень: Издательство ТюмГУ, 2012. — 68 с. — ISBN 978-5-400-00606-7