Обсуждение:Интегральное исчисление/Основные свойства неопределённого интеграла

В формуле (4.16) промежуточное равенство $\int f(ax+b)\,dx=\int f(ax+b)(ax+b)'\,d(ax+b)$ некорректно, так как $dx\neq (ax+b)'\,d(ax+b)$.

Равенство $\int f(ax+b)(ax+b)'\,d(ax+b)={\frac {1}{a}}\int f(\varphi )\,d(\varphi )$ также некорректно, так как $(ax+b)'\,d(ax+b)\neq {\frac {1}{a}}d(\varphi )$.

В последнем равенстве ${\frac {1}{a}}\int f(\varphi )\,d(\varphi )=F(\varphi )+C$ опечатка — в правой части отсутствует множитель $1/a$ перед первообразной.

Корректный вариант:

$\int f(ax+b)\,dx=\int f(ax+b)\,{\frac {d(ax+b)}{(ax+b)'}}={\frac {1}{a}}\int f(\varphi )\,d(\varphi )={\frac {1}{a}}F(\varphi )+C.$(4.16)

Первое равенство следует из $d(ax+b)=(ax+b)'\,dx\Rightarrow dx={\frac {d(ax+b)}{(ax+b)'}}$.

Аналогично в формуле (4.23) должно быть ${\frac {1}{2}}\int e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}\int e^{t}\,{\frac {dt}{(-t)'}},$

в (4.24) ${\frac {1}{2}}\int e^{t}\,{\frac {dt}{(-t)'}}=-{\frac {1}{2}}\int e^{t}\,dt$.

SVDer 06:57, 14 декабря 2010 (UTC)