Методы решения систем уравнений в частных производных

Уравнения в частных производных часто встречаются в задачах механики сплошных сред, биомеханике и в различных областях применения численных методов, где происходит моделирование некоторой сплошной среды.

Для решения уравнений и систем уравнений в частных производных обычно сначала сводят уравнение к уранению или системе уравнений первого-второго порядка, затем ее классифицируют и применяют какие-то из методов, разработанных для уравнений различных типов.

При этом на практике часто задачи делятся на стационарные и нестационарные. Стационарные задачи, чаще всего это задачи теории упругости, сводятся к эллиптическим уравнениям, для которых хорошо себя зарекомендовал Метод конечных элементов ( Finite element method, FEM). Хотя для этих задач могут так же применяться и конечно-разностные методы, подобные методам решения нестационарных задач. Нестационарные задачи - задачи газовой динамики, МГД, теории мелкой воды, и т.д. сводятся к параболическим и гиперболическим уравнениям. Их зачастую решают конечно-разностными или конечно-объемными методами. Существенной трудностью в решении нелинейных систем гиперболических уравнений является существование разрывных решений, которые затрудняют или делают невозможной линеаризацию системы уравнений.