Логико-математический анализ теоремы

Логико-математический анализ (ЛМА) теоремы — это

Образцы ЛМА теоремы

Теорема сформулирована в категоричной форме.
В импликативной форме теорема будет иметь вид: «Суммы членов арифметической прогрессии равны, если суммы их номеров равны». Символьная формулировка: «Если $n+m=k+l$ , то $a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}$ , где $\left(n,\,m,\,k,\,l\right)\in \mathbb {N}$ и $\left\{{a_{n}}\right\}$ — $\div$ ».
Структура теоремы.
1. Разъяснительная часть: "".
2. Условие: "".
3. Требование: "".

Доказательство.

Доказательство по схеме УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ

*Дано*: $n+m=k+l$ , где $\left(n,\,m,\,k,\,l\right)\in \mathbb {N}$ и $\left\{{a_{n}}\right\}$ — $\div$ .
Доказать, что $a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}$ .
Шаг	Утверждение	Обоснование
1	Найдём $n$ -й член арифметической прогрессии по известной формуле: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ .	Формула $n$ -го члена арифметической прогрессии.
2	Аналогично можно найти $a_{m}$ : $a_{m}=a_{1}+(m-1)d$ .	Формула $n$ -го члена арифметической прогрессии, подстановка в формулу.
3	Тогда их сумма равна: $a_{n}+a_{m}=2a_{1}+(n+m-2)d$ .	Сложение соответствующих частей верных буквенных равенств, приведение подобных слагаемых.
4	Заменив сумму $n+m$ в правой части на сумму $k+l$ , получим следующее: $a_{n}+a_{m}=2a_{1}+(k+l-2)d$ .	Подстановка в формулу, условие: $n+m=k+l$ .
5	Далее имеем: $a_{n}+a_{m}=a_{1}+(k-1)d+a_{1}+(l-1)d$ .	Раскрытие скобок, группировка слагаемых.
6	Наконец, приходим к равенству: $a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}$ , что и требовалось доказать.	Подстановка в формулу, формула $n$ -го члена арифметической прогрессии.

Формулировки утверждений:

обратного данному: «Если суммы членов арифметической прогрессии равны, то суммы номеров этих членов равны».

Доказательство по схеме УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ

*Дано*: $a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}$ , где $\left(n,\,m,\,k,\,l\right)\in \mathbb {N}$ и $\left\{{a_{n}}\right\}$ — $\div$ .
Доказать, что $n+m=k+l$ .
Шаг	Утверждение	Обоснование
1	Преобразуем равенство $a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}$ . Имеем: $a_{1}+(n-1)d+a_{1}+(m-1)d=a_{1}+(k-1)d+a_{1}+(l-1)d$ .	Условие, формула $n$ -го члена арифметической прогрессии.
2	Или, что то же самое: $(n-1)d+(m-1)d=(k-1)d+(l-1)d$ .	Определение и свойство алгебраического равенства (равносильное преобразование): свойство стабильности (монотонности) сложения.
3	Далее получаем: $n-1+m-1=k-1+l-1$ .	Равносильное преобразование: определение и вынесение общего множителя, свойство стабильности (монотонности) умножения.
4	Наконец, приходим к равенству: $n+m=k+l$ , что и требовалось доказать.	Равносильное преобразование: свойство стабильности (монотонности) сложения.

противоположное данному: «Суммы членов арифметической прогрессии не равны, если не равны суммы их номеров».

Доказательство методом от противного: Дано: $n+m\neq k+l$ , где $\left(n,\,m,\,k,\,l\right)\in \mathbb {N}$ и $\left\{{a_{n}}\right\}$ — $\div$ . Доказать, что $a_{n}+a_{m}\neq a_{k}+a_{l}$ .
Допустим, что суммы членов данной арифметической прогрессии равны, то есть $a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}$ . Тогда в силу уже доказанной обратной теоремы суммы номеров этих членов равны: $n+m=k+l$ . Но это противоречит условию. Значит, допущение неверно. Поэтому суммы членов не равны, что и требовалось доказать.

обратное противоположному (контрапозитивное): «Если суммы членов арифметической прогрессии не равны, то не равны суммы номеров этих членов».

Доказательство методом от противного: Дано: $a_{n}+a_{m}\neq a_{k}+a_{l}$ , где $\left(n,\,m,\,k,\,l\right)\in \mathbb {N}$ и $\left\{{a_{n}}\right\}$ — $\div$ . Доказать, что $n+m\neq k+l$ .
Допустим, что суммы номеров членов данной арифметической прогрессии равны, то есть $n+m=k+l$ . Тогда по прямой теореме суммы соответствующих членов равны: $a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}$ . Но это противоречит условию. Значит, допущение неверно. Поэтому суммы номеров этих членов не равны, что и требовалось доказать.

Математические и общенаучные методы.
- Математические: метод тождественных преобразований.
- Общенаучные: анализ и синтез.
Область применения: задачи, где дана арифметическая прогрессия.

Теорема сформулирована в категоричной форме, поскольку в тексте нет "если ..., то";
Вид суждения: сложное (есть 2 заключения)