Компонентный Паскаль/Свойства чисел Фибоначчи

Фибоначчи: гений средневековья

Леонардо Бездельник, видимо, обладал отменным чувством самоиронии. И это отличает людей с высоким интеллектом от задавак. О его познаниях в области счётной арифметики и геометрии, говорит тот факт, что примеры из его учебника (а это 13 век) дошли до нашего времени, и вполне себе употребимы. Более того, от него дошли идеи, которые развиты сейчас не очень полно, и будущее у них впереди. Наш соотечественник [Стахов А.П.] разработал умопомрачительную позиционную систему счисления на иррациональном основании (на идеях Фибоначчи). Он же предложил создавать компьютеры на избыточной позиционной системе счисления, которые обладают мощнейшей устойчивостью к сбоям. И это всё дело будущего. Вот такой он, этот Леонардо Боначчи из 12-го века.

Золотая пропорция

В эпоху Возрождения Леонардо да Винчи создал очень известный рисунок -- "Витрувианский человек". Рисунок на столько совершенен, что потрясает воображение. Как оказалось, чтобы создать такой совершенный рисунок, Леонардо да Винчи воспользовался подсказкой, данной ему Фибоначчи. Например, отношение длины всего тела, к той части, что от пупка до пяток -- 1,6180339887. А если взять длину части тела от пупка до пяток и сравнить с длиной от пупка до макушки -- 1,6180339887...??? А если взять длину всей кисти к длине ладони -- 1,6180339887!!! А если соотнести длину ладони к длине пальцев получится... 1,6180339887!!!! И это число преследует человека повсюду. Вот так Леонардо, с помощью математики создал свой шедевр. Мы тоже попробуем сейчас найти это число так точно, на сколько оно того заслуживает.

Задача о золотом сечении

Чтобы точно вычислить значение золотого сечения, нам необходимо знать, как создать непредельный ряд с основанием "1". В целом, этот метод известен. Достаточно взять сумму двух предыдущих членов ряда, чтобы получить третий. А вот чтобы найти саму золотую пропорцию -- необходимо разделить последующий член пропорции, на предыдущий. И здесь есть интересная особенность: чем выше номера членов -- тем точнее пропорция.

Итак, нам потребуется три переменных. Две хранят предыдущее значение двух членов ряда Фибоначчи, одна -- последующее. Также нам потребуется переменная, которая будет отвечать за счётчик цикла. И, собственно, сам цикл.

Hello10.odc:

MODULE TestHello10;
	(* это программа на языке
	Компонентный Паскаль. Она показывает
	как можно найти точную золотую пропорцию. *)

	IMPORT Log, Math;

	PROCEDURE Start*;
		VAR
			a0, a1, an: LONGINT;
			pr: REAL;
			i: INTEGER;

	BEGIN
		a0 := 0;
		a1 := 1;
		i := 1;
		WHILE i < 40 DO
			an := a0 + a1;
			Log.Int(i); Log.String(' * '); Log.Real(an / a1); Log.Ln;
			a0 := a1;
			a1 := an;
			INC(i)
		END;
	END Start;

BEGIN
END TestHello10.

В программе применён простейший метод обмена данными: вычисляется новый член ряда, находится новое значение золотой пропорции, а затем старым членам присваивается новое значение из найденного нового члена.

А теперь посмотрим на вывод программы:

компилируется "TestHello10"   168   0
старый модуль TestHello10 выгружен
 1 *  1.0
 2 *  2.0
 3 *  1.5
 4 *  1.666666666666667
 5 *  1.6
 6 *  1.625
 7 *  1.615384615384615
 8 *  1.619047619047619
 9 *  1.617647058823529
 10 *  1.618181818181818
.......<scip>..........
 35 *  1.61803398874989
 36 *  1.618033988749897
 37 *  1.618033988749894
 38 *  1.618033988749895
 39 *  1.618033988749895

Обратите внимание на интересную закономерность: нечётный результат -- меньше золотой пропорции, чётный -- больше. Следующая пара повторяет эту закономерность, но уже гораздо ближе к истинной золотой пропорции. И каждый шаг приближает вычисления к ней.

На шаге 38 и 39 эти числа уже равны. И здесь нет ошибки: сказывается недостаточная точность вычислений с плавающей запятой. В примере использован цикл WHILE и это не оптимальное решение. Требуется вручную контролировать переменную "i". В качестве самостоятельного задания, предлагается переписать этот цикл использую FOR.