Компонентный Паскаль/Свойства чисел Фибоначчи

Фибоначчи: гений средневековья править

Леонардо Бездельник, видимо, обладал отменным чувством самоиронии. И это отличает людей с высоким интеллектом от задавак. О его познаниях в области счётной арифметики и геометрии, говорит тот факт, что примеры из его учебника (а это 13 век) дошли до нашего времени, и вполне себе употребимы. Более того, от него дошли идеи, которые развиты сейчас не очень полно, и будущее у них впереди. Наш соотечественник [Стахов А.П.][1] разработал умопомрачительную позиционную систему счисления на иррациональном основании (на идеях Фибоначчи). Он же предложил создавать компьютеры на избыточной позиционной системе счисления, которые обладают мощнейшей устойчивостью к сбоям. И это всё дело будущего. Вот такой он, этот Леонардо Боначчи из 12-го века.

Золотая пропорция править

В эпоху Возрождения Леонардо да Винчи создал очень известный рисунок -- "Витрувианский человек". Рисунок на столько совершенен, что потрясает воображение. Как оказалось, чтобы создать такой совершенный рисунок, Леонардо да Винчи воспользовался подсказкой, данной ему Фибоначчи. Например, отношение длины всего тела, к той части, что от пупка до пяток -- 1,6180339887. А если взять длину части тела от пупка до пяток и сравнить с длиной от пупка до макушки -- 1,6180339887...??? А если взять длину всей кисти к длине ладони -- 1,6180339887!!! А если соотнести длину ладони к длине пальцев получится... 1,6180339887!!!! И это число преследует человека повсюду. Вот так Леонардо, с помощью математики создал свой шедевр. Мы тоже попробуем сейчас найти это число так точно, на сколько оно того заслуживает.

Задача о золотом сечении править

Чтобы точно вычислить значение золотого сечения, нам необходимо знать, как создать непредельный ряд с основанием "1"[2]. В целом, этот метод известен. Достаточно взять сумму двух предыдущих членов ряда, чтобы получить третий. А вот чтобы найти саму золотую пропорцию -- необходимо разделить последующий член пропорции, на предыдущий. И здесь есть интересная особенность: чем выше номера членов -- тем точнее пропорция.

Итак, нам потребуется три переменных. Две хранят предыдущее значение двух членов ряда Фибоначчи, одна -- последующее. Также нам потребуется переменная, которая будет отвечать за счётчик цикла. И, собственно, сам цикл.

Hello10.odc:

MODULE TestHello10;
	(* это программа на языке
	Компонентный Паскаль. Она показывает
	как можно найти точную золотую пропорцию. *)

	IMPORT Log, Math;

	PROCEDURE Start*;
		VAR
			a0, a1, an: LONGINT;
			pr: REAL;
			i: INTEGER;

	BEGIN
		a0 := 0;
		a1 := 1;
		i := 1;
		WHILE i < 40 DO
			an := a0 + a1;
			Log.Int(i); Log.String(' * '); Log.Real(an / a1); Log.Ln;
			a0 := a1;
			a1 := an;
			INC(i)
		END;
	END Start;

BEGIN
END TestHello10.

В программе применён простейший метод обмена данными: вычисляется новый член ряда, находится новое значение золотой пропорции, а затем старым членам присваивается новое значение из найденного нового члена.

А теперь посмотрим на вывод программы:

компилируется "TestHello10"   168   0
старый модуль TestHello10 выгружен
 1 *  1.0
 2 *  2.0
 3 *  1.5
 4 *  1.666666666666667
 5 *  1.6
 6 *  1.625
 7 *  1.615384615384615
 8 *  1.619047619047619
 9 *  1.617647058823529
 10 *  1.618181818181818
.......<scip>..........
 35 *  1.61803398874989
 36 *  1.618033988749897
 37 *  1.618033988749894
 38 *  1.618033988749895
 39 *  1.618033988749895

Обратите внимание на интересную закономерность: нечётный результат -- меньше золотой пропорции, чётный -- больше. Следующая пара повторяет эту закономерность, но уже гораздо ближе к истинной золотой пропорции. И каждый шаг приближает вычисления к ней[3].

На шаге 38 и 39 эти числа уже равны. И здесь нет ошибки: сказывается недостаточная точность вычислений с плавающей запятой. В примере использован цикл WHILE и это не оптимальное решение. Требуется вручную контролировать переменную "i". В качестве самостоятельного задания, предлагается переписать этот цикл использую FOR.

Примечания править

  1. У Стахова Алексея Петровича есть замечательная книга "Коды золотой пропорции". Настоятельно рекомендуется к прочтению.
  2. Непредельный ряд с основанием "1" хорошо известен из задачи Фибоначчи "О кроликах", предельный ряд с основанием "0" известен всем программистам -- это классический двоичный ряд "0 1 2 4 8 16 32...". Мало кто знает, что таких рядов множество, и чем выше индекс непредельного ряда -- тем больше избыточность такой позиционной системы счисления. И тем более она помехоустойчива. Всем известно, что чем сложнее система -- тем выше вероятность отказа. С непредельными позиционными системами счисления -- всё с точностью наоборот: чем крупнее система, тем выше надёжность. Это очень необычное свойство.
  3. Точное значение числа золотой пропорции установить невозможно -- это число иррационально (не имеет конца). С помощью классического двоичного ряда можно получить только число "2". Кроме того, ряды золотой пропорции обладают признаками чётности (если их представлять двоичным кодом). Такое свойство непредельных позиционных систем счисления позволяет проектировать компьютеры с автоматическим негарантированным исправлением одиночных и множественных ошибок. У классического двоичного ряда -- такое невозможно. Вообще. Это вообще очень большая и интересная тема.