Классические оптимизационные задачи

§ 2.1. Основные понятия теории экстремальных задач

При наличии только фиксированных неконтролируемых факторовзадача поиска оптимальных решений сводится к экстремальной задаче. Если при этом на выбор стратегии не накладывается ограничений (что на практике встречается редко) или ограничения имеют видтолько равенств, то применимы классические методы оптимизацииЭти методы и рассматриваются в данной главеИсходными данными при постановке задачи поиска экстремумаявляется множествоX и определенная на нем функция f (x). Мы будем рассматривать конечномерные задачи, поэтомуx является вектором произвольной размерностиn, т. е. x= (x1, …, xn), а множествоX — подмножеством евклидова пространства R n (возможно совпадающим со всем пространством). Помимо заданияX (его называютдопустимым множеством) иf (x) (ее называют целевой функциейнеобходимо определить, что понимается под решением задачи. Во первых, речь может идти о нахождении точек максимума (одной иливсех), минимума (одной или всех) или тех и других. Во-вторых, необходимо уточнить само понятие максимума (минимума), так как ономожет пониматься в глобальном и локальном смыслеОпределение 2.1. Точка x∈ X называется точкой глобального(абсолютногомаксимума функции f (x) на множестве X, еслиfxfxXXОпределение 2.2. Точка x∈ X называется точкой локальногомаксимума функции f (x) на множестве X, если∃ε > 0 такое, чтоfxfxXX UxгдеUε(x*) — ε-окрестность точки x* (шар радиусом ε с центромвxОпределения глобального и локального минимумов получаютсязаменой в (2.1) и (2.2) знаков неравенств на противоположныеГлобальные максимумы и минимумы называют глобальнымиэкстремумами функции, локальные максимумы и минимумы — ло