Обычная геометрия: в обычной геометрии расстояние между скрещивающимися прямыми находят так: Находят плоскость, перпендикулярную одной из прямых, ортогонально проецируют вторую прямую на эту плоскость и из точки пересечения первой прямой и плоскости проводят перпендикуляр к проекции второй прямой. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между прямыми.
Аналитическая геометрия: Вводят декартовую систему координат , находят направляющие вектора двух прямых и (направляющим вектором прямой называется вектор, коллинеарный данной прямой) и вектор, соединяющий любую точку первой прямой с любой точкой второй прямой , где . Расстояние между скрещивающимися прямыми находят по формуле:
, где — это модуль смешанного произведения данных векторов, подмодульное выражение которого равно
,
а — это модуль векторного произведения направляющих векторов данных прямых, подмодульное выражение которого равно
Найдём плоскость, перпендикулярную прямой . Это будет плоскость . Проекцией прямой на плоскость является прямая . Из точки С, как точки пересечения прямой и плоскости опустим перпендикуляр на прямую AD, этим перпендикуляром является прямая , длина которой равна 1. Откуда расстояние между данными прямыми равно 1.
Введём в точке A декартовую систему координат так, что , тогда координаты интересующих нас точек равны , а нужные нам вектора имеют координаты .
Смешанное произведение трёх векторов равно , а его модуль, соответственно, равен 1.
Векторное произведение направляющих векторов равно , а его модуль тогда равен , и расстояние между прямыми равно .
Обычная геометрия: Пусть плоскости пересекаются. Проведём плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым, угол между которыми и является искомым.
Аналитическая геометрия: Вводят декартовую систему координат , находят координаты трёх точек каждой плоскости, находят нормальные вектора к каждой плоскости, и находят угол между ними. Зная координаты точек находят уравнение плоскости согласно уравнению
и упрощают его. Коэффициенты при x, y и z и будут координатами вектора нормали к плоскости. Угол между нормальными векторами находится по формуле , где в числителе стоит скалярное произведение векторов.