Использование аналитической геометрии в задаче C2 ЕГЭ по математике

Расстояние между скрещивающимися прямымиПравить

Обычная геометрия: в обычной геометрии расстояние между скрещивающимися прямыми находят так: Находят плоскость, перпендикулярную одной из прямых, ортогонально проецируют вторую прямую на эту плоскость и из точки пересечения первой прямой и плоскости проводят перпендикуляр к проекции второй прямой. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между прямыми.

Аналитическая геометрия: Вводят декартовую систему координат  , находят направляющие вектора двух прямых   и   (направляющим вектором прямой называется вектор, коллинеарный данной прямой) и вектор, соединяющий любую точку первой прямой с любой точкой второй прямой  , где  . Расстояние между скрещивающимися прямыми находят по формуле:

 , где   — это модуль смешанного произведения данных векторов, подмодульное выражение которого равно

 ,

а   — это модуль векторного произведения направляющих векторов данных прямых, подмодульное выражение которого равно

 , а сам модуль равен  

ПримерПравить

В кубе   найти расстояние между прямыми   и  , если ребро куба равно 1.

Решение с использованием обычной геометрииПравить

Найдём плоскость, перпендикулярную прямой  . Это будет плоскость  . Проекцией прямой   на плоскость   является прямая  . Из точки С, как точки пересечения прямой   и плоскости   опустим перпендикуляр на прямую AD, этим перпендикуляром является прямая  , длина которой равна 1. Откуда расстояние между данными прямыми равно 1.

Ответ: 1.

Решение с помощью аналитической геометрииПравить

Введём в точке A декартовую систему координат так, что  , тогда координаты интересующих нас точек равны  , а нужные нам вектора имеют координаты  .

Смешанное произведение трёх векторов равно  , а его модуль, соответственно, равен 1. Векторное произведение направляющих векторов равно  , а его модуль тогда равен  , и расстояние между прямыми равно  .

Ответ: 1.

Угол между двумя плоскостямиПравить

Обычная геометрия: Пусть плоскости пересекаются. Проведём плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым, угол между которыми и является искомым.

Аналитическая геометрия: Вводят декартовую систему координат  , находят координаты трёх точек каждой плоскости, находят нормальные вектора   к каждой плоскости, и находят угол между ними. Зная координаты точек   находят уравнение плоскости согласно уравнению

  и упрощают его. Коэффициенты при x, y и z и будут координатами вектора нормали к плоскости. Угол между нормальными векторами находится по формуле  , где в числителе стоит скалярное произведение векторов.

ПримерПравить

В кубе   найти угол между плоскостями   и  , если ребро куба равно  .

Решение методом обычной геометрииПравить

1.  , где  

2.  

3.   (как угол между диагоналями квадрата,   — квадрат, как одно из оснований куба.

Ответ:  

Решение методом аналитической геометрииПравить

Введём декартовую систему координат Oxyz так, что  , тогда координаты интересующих нас точек равны  . Уравнение плоскости  :

 

Уравнение плоскости  :

 

 . Так как скалярное произведение векторов равно 0, то угол между ними и, соответственно, искомый равен  

Ответ: