Интегральное исчисление/Некоторые часто используемые формулы

Некоторые часто используемые формулы | Краткие сведения о комплексных числах


В этой главе под буквами подразумеваются, если это не указано явно, не только действительные числа, но и другие математические объекты, для которых указанные операции имеют смысл, например, это могут быть многочлены и т. п.

Основные законы алгебры

править

Справедливы следующие тождества:

  • Переместительный (коммутативный) закон сложения:
 (Д1.1)
  • Сочетательный (ассоциативный) закон сложения:
 (Д1.2)
  • Переместительный (коммутативный) закон умножения:
 (Д1.3)
  • Сочетательный (ассоциативный) закон умножения:
 (Д1.4)
  • Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения:
 (Д1.5)

Здесь предполагается, что знаменатели дробей не обращаются в 0.

 (Д1.6)
 (Д1.7)
 (Д1.8)
 (Д1.9)
 (Д1.10)

В частности,

     (Д1.11)
 (Д1.12)
 (Д1.13)

Пропорции

править

Из отношения, называемого пропорцией,

 (Д1.14)

следует, что

  или  (Д1.15)

Производные пропорции:

 (Д1.16)

где   такие, что  .

В частности,

     (Д1.17)
      (знаки в числителе и знаменателе независимы)(Д1.18)

(Для правой и левой частей берутся либо только верхние знаки, либо только нижние.)

В общем:

 (Д1.19)

В частности,

 (Д1.20)

(Знаки в знаменателе должны повторять соответствующие знаки в числителе.)

Правила обращения со степенями

править

Предполагается, что операции допустимы.

 (Д1.21)
 (Д1.22)
 (Д1.23)
 (Д1.24)
 (Д1.25)

Считается, что

   (выражение  неопределено!),     (Д1.26)
 (Д1.27)

Тождества сокращённого умножения

править

Бином Ньютона:

 (Д1.28)

 
Рисунок Д1.1. Первые 5 строк треугольника Паскаля.

где   — количество сочетаний из   элементов по   в каждом, или биномиальные коэффициенты;   — факториал числа  . По определению,  .

Для степени разности будем иметь:

 (Д1.29)

Числа   образуют, так называемый треугольник Паскаля. Как видно из рисунка Д1.1, каждая последующая строка образуется при добавлении по краям единиц и суммированием двух последовательных членов предыдущего ряда.

Частные случаи формул (Д1.28) и (Д1.29):

  — квадрат суммы;(Д1.30)
  — квадрат разности;(Д1.31)
  — куб суммы;(Д1.32)
  — куб разности;(Д1.33)
  — биквадрат суммы;(Д1.34)
  — биквадрат разности.(Д1.35)

Формулу бинома можно обобщить на случай, так называемых мультиномов:

 (Д1.36)

где   — обобщённые биномиальные коэффициенты, или мультиномиальные коэффициенты.

В частности,

 (Д1.37)

При   мультиномиальные коэффициенты (в этом случае они называются «триномиальные») образуют пирамиду Паскаля.

Исходя из правил деления многочленов, можно получить следующие формулы для алгебраической суммы степеней:

 (Д1.38)
 (Д1.39)
 (Д1.40)

В частности,

  — разность квадратов;(Д1.41)
  — разность кубов;(Д1.42)
  — сумма кубов;(Д1.43)
  — разность биквадратов.(Д1.44)

Средние величины

править
  • Среднее арифметическое:
 (Д1.45)
  • Среднее взвешенное:
 (Д1.46)

где  .

Среднее арифметическое является частным случаем среднего взвешенного при  .

  • Среднее геометрическое:
 (Д1.47)

где  .

  • Среднее взвешенное геометрическое:
 (Д1.48)

где  ,  .

Среднее геометрическое является частным случаем среднего взвешенного геометричесокго при  .

  • Среднее гармоническое:
 (Д1.49)
  • Среднее квадратичное:
 (Д1.50)

Имеет место следующее неравенство (неравенство Коши):

 (Д1.51)

Абсолютная величина

править

 
Рисунок Д1.2. График функции  .

Абсолютной величиной, или модулем   называется вещественнозначная непрерывная кусочно-линейная функция (рисунок Д1.2) такая, что

 (Д1.52)

Альтернативное определение:

 (Д1.53)

Модулем комплексного числа   называется выражение вида:

 (Д1.53)

 
Рисунок Д1.3. Геометрическая интерпретация модуля.

Геометрически (рисунок Д1.3) модуль числа   равен расстоянию между точками   и  , а, следовательно, характеризует близость одной величины к другой. В частности,   — это расстояние от точки вещественной прямой с координатами   до начала координат  .

Свойства

править
 , причём  , тогда и только тогда, когда  .(Д1.54)
 (Д1.55)
 (Д1.56)
  • Если существует  , то
 (Д1.57)
 (Д1.58)
 (Д1.59)
 неравенство треугольника.(Д1.60)
Имеет место и более общее свойство:
  или  (Д1.61)
  — обратное неравенство треугольника.(Д1.62)

Методы уничтожения иррациональности

править

В некоторых задачах часто возникает потребность избавится от иррациональности в числителе или знаменателе в выражении вида  , где   и/или   содержит радикалы.

Основным методом уничтожения иррациональности является метод умножения на сопряжённый множитель.

Сопряжённым множителем относительно выражения  , содержащего радикалы, называется такое выражение  , что выражение   не содержит радикалов.

  • Для выражения вида
 (Д1.63)

где   и  , сопряжённый множитель будет иметь вид:

 (Д1.64)

Действительно, домножив   на  , получим:

 (Д1.65)
  • Для выражения вида
 (Д1.66)

сопряжённый множитель находится, исходя из формул (Д1.38)—(Д1.40).

Для выражения

 (Д1.67)

сопряжённый множитель

 (Д1.68)

Для выражения

 (Д1.69)

сопряжённый множитель

 (Д1.70)

Для выражения

 (Д1.71)

сопряжённый множитель

 (Д1.72)

В частности, для выражения

 (Д1.73)

сопряжённый множитель равен:

 (Д1.74)

а для выражения

 (Д1.75)

имеет вид:

 (Д1.76)

Сопряжённый множитель для выражений вида

 (Д1.77)

где  , можно найти по формулам, аналогичным указанным выше, если предварительно представить исходное выражение как:

 (Д1.78)

где   — наименьшее общее кратное (НОК) чисел   и  ;  .

Также для преобразований бывает полезна формула сложного радикала:

 (Д1.79)

где  .

При преобразовании радикалов важно помнить, что:

 (Д1.80)
 (Д1.81)