Интегральное исчисление/Интегрирование полиномиальных и рациональных функций

← Методы интегрирования | Интегрирование полиномиальных и рациональных функций


Содержание этой главы предполагает, что читатель знаком с основными результатами теории рациональных функций и знаком с методам разложения рациональной функции на простые дроби. Более подробно об этом можно прочитать в Дополнении.

Интегрирование многочленовПравить

Многочленом, или полиномом, от одной переменной   называется выражение вида:

 (6.1)

где   — некоторые вещественные или комплексные постоянные. Число   — максимальная из степеней его одночленов — называется степенью многочлена.

Вычисление интеграла от многочлена   основано на свойстве линейности интеграла:

 (6.2)
         

Пример 6.1. Найти интеграл

 (6.3)

Решение. Используя свойства линейности интеграла, получим:

 (6.4)

Пример 6.2. Найти интеграл

 (6.5)

Решение. Раскроем скобки в подынтегральном выражении:

 (6.6)

Теперь беря интегралы от каждого слагаемого, получим:

 (6.7)

Пример 6.3. Найти интеграл

 (6.8)

Решение. Здесь можно было поступить также, как и в примере 6.2, но проще сделать замену  , тогда   и выражение   преобразуется к виду  . Получаем:

 (6.9)

Разобьём на два интеграла и проинтегрируем каждое слагаемое:

 (6.10)

Возвращаясь к переменной  , у нас получается:

 (6.11)

Интегрирование рациональных функцийПравить

Вводные замечанияПравить

Рациональной функцией от переменной   называется отношение двух полиномов:

 (6.12)

где предполагается, что  . Многочлен   называется числителем дроби, а  знаменателем. Можно считать, что многочлены   и   взаимно просты, в противном случае их можно сократить на их наибольший общий делитель (НОД).

Из теории рациональных функций известно, что если  , то рациональную функцию можно разбить на многочлен степени   и дробь, знаменатель которой равен знаменателю исходной дроби, а в числители стоит многочлен степени, меньшей  :

 (6.13)

Далее, известно, что любой полином с комплексными коэффициентами на множестве комплексных чисел может быть представлен в виде произведения неприводимых многочленов:

 (6.14)

где  корень многочлена  -ой степени кратности ( );  ;

  — коэффициент при старшей степени  .

Поэтому в случае, если  , дробь   на множестве комплексных чисел можно представить в виде:

 (6.15)
         
         

где   — некоторые в общем случае комплексные постоянные, которые можно найти, например, методом неопределённых коэффициентов или из других соображений.

В данном учебнике нас больше интересуют многочлены с действительными коэффициентами и действительными корнями. На множестве   разложение многочлена на неприводимые множители будет иметь несколько иной вид:

 (6.16)

где   — действительные корни;  . Квадратные трёхчлены   не имеют действительных корней.

Если рассматривать разложение дроби на простейшие на  , то мы придём к следующей формуле:

 (6.17)
         
         
         

где все коэффициенты   — действительные числа.

Рассмотрим пример на разложение дроби.

Пример 6.4 Разложить на простые дроби:

 (6.18)

Решение. Как мы видим, степень числителя превосходит степень знаменателя, значит у дроби можно выделить целую часть, а затем получившуюся правильную дробь можно разложить на простые дроби. Но мы воспользуемся методом неопределённых коэффициентов и сразу получим интересующее нас разложение. Решая уравнение четвёртой степени методом подбора (можно воспользоваться методом Феррари), найдём корни знаменателя и разложим многочлен на неприводимые множители:

 (6.19)

следовательно дробь (6.18) согласно (6.13) и (6.17) можно представить в виде:

 (6.20)

Приводя к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при равных степенях, получим следующую систему относительно неизвестных коэффициентов  :

 (6.21)

Решая систему линейных уравнений, найдём:

 (6.22)

Подставим найденные коэффициенты в формулу (6.20):

 (6.23)

Пример 6.5 Разложить на простые дроби:

 (6.24)

Решение. Случай, когда   или  , нас не интересует, так как при этом двучлен будет неприводимым на множестве действительных чисел  . Рассмотрим случай, когда  .

Найдём корни уравнения  , переписав в виде   и воспользовавшись формулой Муавра для извлечения корня:

 (6.25)

где   и   — действительные числа.

На множестве действительных чисел у многочлена с действительными коэффициентами помимо комплексного корня   имеется и его сопряжённый  , значит в разложении многочлена   на неприводимые можно выделить квадратичные трёхчлены вида:

 (6.26)

(доказательство этого факта см. в Дополнении).

Если воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, получим, что

 (6.27)

Известно, что у многочлена нечётной степени с действительными коэффициентами имеется по крайней мере один действительный корень (в данном случае  ), следовательно:

 (6.28)

Значит выражение (6.24) имеет следующее разложение на простые дроби:

 (6.29)

где

 

Теперь останется только методом неопределённых коэффициентов найти  ,   и  .

Например, для   по формуле (6.29) в общем виде получаем:

 (6.30)

После необходимых преобразований и решения системы относительно неизвестных коэффициентов будем иметь следующее разложение:

 (6.31)

Для  :

 (6.32)

или после соответствующих манипуляций:

 (6.33)

Иногда при взятии интеграла от рациональной функции, нет нужды разбивать её на простейшие дроби, это, например, происходит, если числитель является производной знаменателя (или основания степенного выражения, стоящего в знаменателе) или если возможно сокращение числителя или знаменателя дроби.

Пример 6.6 Найти интеграл

 (6.34)

Решение. Замечая, что числитель представляет собой производную основания степенного выражения, стоящего в знаменателе (только производная умножена на  ), не разлагая на простейшие дроби, сразу же получаем:

 (6.35)
         

Пример 6.7 Найти интеграл

 (6.36)

Решение. Можно заметить, что числитель представляет собой куб разности:

 (6.37)

Сократим дробь:

 (6.38)

Теперь вычислить интеграл не составит труда:

 (6.39)

Интегрирование простых дробейПравить

Как мы видели из предыдущего пункта, интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию суммы простых дробей вида:

  и  (6.40)

а в случае неправильной дроби ещё и к интегрированию многочлена (см. пункт «Интегрирование многочленов» этой главы).

Возьмём интеграл от дроби первого типа:

 (6.41)

Исследуем интегралы от дробей второго типа. Сначала рассмотрим следующий интеграл:

 (6.42)

где  ;  , иначе мы бы имели в знаменателе линейный двучлен, интеграл от которого рассмотрен выше.

Постоянную   можно вынести за знак интеграла и получить в знаменателе приведённый квадратный трёхчлен:

 (6.43)

где  .

Выделим в квадратном трёхчлена полный квадрат:

 (6.44)

Исследуем выражение в зависимости от знака  . Если  , то можно написать, что   и интеграл (6.44) запишется в виде:

 (6.45)

или возвращаясь к  :

 (6.46)

Допустим теперь, что  , тогда  :

 (6.47)
         

Если же  , то

 (6.48)

Подведём итог:

 (6.49)

Хочется отметить, что в случае  , дробь (6.42) не считается простой [так как может быть разложена на дроби вида (6.41)], но в образовательных целях здесь приведён её полный анализ.

Пример 6.8. Решить интеграл

 (6.50)

Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:

 (6.51)

Теперь можно взять интеграл:

 (6.52)

Рассмотрим теперь интеграл вида:

 (6.53)

где  .

Как и в случае интеграла (6.42) выделим в знаменателе полный квадрат:

 (6.53)
         

Будем считать, что  , иначе мы могли бы разложить дробь на простые. Сделаем замену   и обозначим  , тогда выражение (6.53) преобразуется к виду:

 (6.54)

В примере 5.9 нами уже была получена рекуррентная формула для нахождения интеграла в зависимости от  . Покажем ещё один способ. Преобразуем правый интеграл в выражении (6.54) следующим образом:

 (6.55)

В первом слагаемом после сокращения на   получается исходный интеграл только степени  ; второе слагаемое можно вычислить взятием по частям:

 (6.56)
         

Здесь мы снова пришли к интересующему нас интегралу, но в меньшей степени. Подставим найденные выражения в (6.55):

 (6.57)

Приведём подобные:

 (6.58)

Вернёмся снова к переменной   и коэффициентам  :

 (6.59)
         

Проведя упрощения, окончательно получим:

 (6.60)

Сейчас приступим непосредственно к рассмотрению интегралов вида:

 (6.61)

где знаменатель не приводим на  .

Как и прежде дополним квадратный трёхчлен в знаменателе до полного квадрата:

 (6.62)

Сделаем подстановку  . Так как  , введём обозначение  . Получаем:

 (6.63)

Разобьём сумму на два интеграла:

 (6.64)

Вычислим первый интеграл:

 (6.65)

Второй интеграл табличный:

 (6.66)

Подставляя два последних выражения в (6.64) и возвращаясь к переменной   и постоянным   и  , для интеграла (6.61) будем иметь следующее общее решение:

 (6.67)

Рассмотрим интеграл вида:

 (6.68)

где  .

Дополняя до полного квадрата и применяя подстановку  , как и в случае, описанном выше, интеграл можно разбить на два:

 (6.69)

Для первого интеграла получаем:

 (6.70)

Ко второму интегралу можно применить формулу приведения (6.58):

 (6.71)

После соответствующих подстановок и преобразований окончательно получим следующую формулу:

 (6.72)

Пример 6.9. Решить интеграл

 (6.73)

Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:

 (6.74)

Применим подстановку  :

 (6.75)

Вычислим интеграл в первом слагаемом:

 (6.76)

Для нахождения интеграла во втором слагаемом преобразуем его:

 (6.77)
         

Первый интеграл в сумме является табличным:

 (6.78)

Ко второму слагаемому применим интегрирование по частям:

 (6.79)
         

Подставим найденные интегралы в (6.75):

 (6.80)
         

Вернёмся к исходной переменной:

 (6.81)
         

Как мы видели, при интегрировании дробей   исходный интеграл разбивался на два: содержащий переменную интегрирования в числителе и не содержащий. В методе, изложенном выше, это достигалось за счёт применения соответствующей подстановки. Укажем другой способ разбиения на слагаемые. Выражение, стоящее в числителе дроби, лишь значением коэффициентов отличается от производной трёхчлена в знаменателе. Этот факт является предпосылкой сведения выражения к такому виду, чтобы можно было воспользоваться методом заведения под дифференциал.

Итак, преобразуем интеграл (6.68):

 (6.82)
         

Интегралом первого слагаемого в зависимости от показателя   может являться либо степенная функция, либо натуральный логарифм. Для второго слагаемого применимы методы, описанные при исследовании интеграла (6.53). Этим способом преобразования можно пользоваться и в том случае, когда   — рациональное число, главное чтобы интеграл   при данном показателе был интегрируем в квадратурах. Какой способ преобразований выбирать — дело вкуса, потому что всё равно в интегралах в конечном счёте приходится выделять полный квадрат.

Пример 6.10. Решить интеграл

 (6.83)

Решение. Преобразуем интеграл к виду (6.82):

 (6.84)

Теперь найти интеграл от первого слагаемого не составит труда:

 (6.85)

Во втором слагаемом выделим полный квадрат:

 (6.86)
         

В итоге имеем следующий ответ:

 (6.87)

Метод ОстроградскогоПравить

Как мы видели из предыдущих пунктов, результатом интегрирования любой рациональной функции может быть другая рациональная функция, логарифм или арктангенс, то есть может представлять собой линейную комбинацию алгебраической и трансцендентной функций. При этом из рассмотрения методов интегрирования простых дробей можно сделать вывод, что одни трансцендентные функции (логарифм и арктангенс) появляются только в том случае, когда знаменатель дроби имеет только простые нули, в противном случае, при наличие кратных нулей появляется ещё и алгебраическая часть.

Так как по теореме Абеля — Руффини уравнение со степенью, выше четвёртой, не разрешимо в радикалах, то разложение знаменателя на неприводимые множители сопряжено со значительными трудностями. Если все коэффициенты многочлена, стоящего в знаменатели дроби, целые[1], то существуют алгоритмы нахождения корней методом перебора делителей старшего и свободного члена. Этот процесс трудоёмкий, особенно если делителей очень много. Позднее появился так называемый полиномиальный LLL-алгоритм (алгоритм Ленстры — Ленстры — Ловаса).

Из-за вычислительных трудностей хотелось бы иметь некий метод, позволяющий сразу получить разбиение исходной дроби на алгебраическую часть и трансцендентную без нахождения нулей знаменателя. Таким метод стал метод, предложенный М. В. Остроградским. В 1844 году он доказал следующую теорему.

Теорема 6.1.  Если   и   ( ) — многочлены с действительными коэффициентами, не имеющие общих корней, тогда интеграл от правильной дроби   можно представить в виде суммы рациональной и трансцендентной частей:

 (6.88)

где   — наибольший общий делитель многочлена   и его производной  ;

 
  и   — многочлены с неопределёнными коэффициентами ( ).

Итак, мы установили, что имеет место тождество (6.88). Многочлен   является наибольшим общим делителем многочленов   и  . Его можно получить, используя алгоритм последовательного деления, или алгоритм Евклида. Вычислить многочлен   также не составит труда. Значит остаётся только получить многочлены   и  . Для этого продифференцируем по   правую и левую части выражения (6.88):

 (6.96)

Применим формулу производной от частного:

 (6.97)

Разобьём дробь в правой части:

 (6.98)

Домножим обе части равенства (6.98) на многочлен  :

 (6.99)

Так как в первом слагаемом отношение   равно  , то первое слагаемое представляет собой многочлен. В последнем слагаемом мы также имеем многочлен, потому что   [это следует из равенства (6.95)]. Исследуем теперь второе слагаемое. Отношение   равно  :

 (6.100)

Продифференцируем теперь равенство (6.95):

 (6.101)

Выразим из (6.101)   и подставим в (6.100):

 (6.102)

Снова разобьём на две дроби:

 (6.103)

Дробь   является многочленом, потому что   как наибольший общий делитель многочленов   и   делит последний нацело.

Обобщая исследование правой части (6.99), можно записать следующее выражение:

 (6.104)

где

 (6.105)

многочлен степени  [3].

Теперь, воспользовавшись методом неопределённых коэффициентов, можно получить выражения для   и  . Интеграл   взять уже гораздо проще: в знаменателе будут только простые корни и, следовательно, можно воспользоваться специальным методом разложения, упрощающим вычисления (подробности см. в Дополнении).

Рассмотрим пример на применение метода Остроградского.

Пример 6.11. Найти интеграл:

 (6.106)

Решение. Для нахождения этого интеграла воспользуемся методом Остроградского. Здесь мы имеем  ,  . Найдём производную от знаменателя:

 (6.107)

Теперь найдём НОД   и  . Для этого «столбиком» разделим   на  , получим   как целую часть и   в остатке. Поделим теперь   на первый остаток, получим целую часть —   и второй остаток —  . Теперь поделим первый остаток на второй: целая часть —   и третий остаток —  . Поделив второй остаток на третий, получим только целую часть —  , следовательно, по алгоритму Евклида многочлен

 (6.108)

является кубическим многочленом. Значит в трансцендентную часть входят логарифмы и арктангенс.

Поделив   на  , получим:

 (6.109)

Таким образом, мы имеем всё, что нужно для определения коэффициентов у   и  , причём из-за того, что в трансцендентной части легко получить разложение на простые дроби, то в принципе   можно не искать, а сразу определять коэффициенты при простых дробях.

Итак, согласно (6.88) мы имеем[4]:

 (6.110)

В свою очереди интеграл от трансцендентной части можно разбить на простые дроби с неизвестными коэффициентами:

 (6.111)

Продифференцируем равенство (6.111):

 (6.112)
         
         

Теперь умножим на  , раскроем скобки и приведём подобные. После этого приравняем коэффициенты при равных степенях, получим систему линейных уравнений относительно интересующих нас коэффициентов:

 (6.112)

Решая это систему линейных уравнений, найдём:

 (6.113)

Подставляя эти значения в (6.111), будем иметь:

 (6.114)
         

Теперь можно взять интегралы в правой части известными методами:

 (6.115)
         

Окончательно получим[5]:

 (6.116)
         

Метод ЭрмитаПравить

Приведём теперь описание ещё одного метода выделения алгебраической части интеграла от правильной рациональной дроби. Этот метод был предложен Ш. Эрмитом (1822—1901).

Пусть   ( ) — правильная рациональная дробь. Считаем, что дробь несократимая, то есть многочлены   и   взаимно простые. Также положим, что коэффициенты при старших степенях равны единице.

Вновь рассмотрим представление вещественного многочлена в виде произведения линейных полиномов:

 (6.117)

где   — корень многочлена (если он кратный, то считаем его несколько раз).

Если перегруппировать в представлении (6.117) сомножители, то это выражение можно переписать так:

 (6.118)

где   — многочлены, содержащие линейные множители и не имеющие попарно никаких общих множителей. На множестве действительных чисел   эти многочлены могут содержать множители вида  , где  .

Значит дробь   можно представить в виде:

 (6.119)

где многочлены   взаимно просты с   ( ).

Докажем это.

Из разложения (6.119) следует, что нам нужно научиться выделять рациональную часть у интегралов вида:

 (6.122)

где степень   меньше степени   и они взаимно просты. Так как у многочлена   все корни различны, то он и его производная будут взаимно просты[6]. Если  , то интеграл берётся непосредственно разложением на простые дроби. Это легко сделать, потому что у   все корни простые. Исследуем случай, когда  .

Применим снова соотношение Безу к