Содержание этой главы предполагает, что читатель знаком с основными результатами теории рациональных функций и знаком с методам разложения рациональной функции на простые дроби. Более подробно об этом можно прочитать в Дополнении.
где предполагается, что . Многочлен называется числителем дроби, а — знаменателем. Можно считать, что многочлены и взаимно просты, в противном случае их можно сократить на их наибольший общий делитель (НОД).
Из теории рациональных функций известно, что если , то рациональную функцию можно разбить на многочлен степени и дробь, знаменатель которой равен знаменателю исходной дроби, а в числители стоит многочлен степени, меньшей :
(6.13)
Далее, известно, что любой полином с комплексными коэффициентами на множестве комплексных чисел может быть представлен в виде произведения неприводимых многочленов:
Поэтому в случае, если , дробь на множестве комплексных чисел можно представить в виде:
(6.15)
где — некоторые в общем случае комплексные постоянные, которые можно найти, например, методом неопределённых коэффициентов или из других соображений.
В данном учебнике нас больше интересуют многочлены с действительными коэффициентами и действительными корнями. На множестве разложение многочлена на неприводимые множители будет иметь несколько иной вид:
(6.16)
где — действительные корни; . Квадратные трёхчлены не имеют действительных корней.
Если рассматривать разложение дроби на простейшие на , то мы придём к следующей формуле:
(6.17)
где все коэффициенты — действительные числа.
Рассмотрим пример на разложение дроби.
Пример 6.4 Разложить на простые дроби:
(6.18)
Решение. Как мы видим, степень числителя превосходит степень знаменателя, значит у дроби можно выделить целую часть, а затем получившуюся правильную дробь можно разложить на простые дроби. Но мы воспользуемся методом неопределённых коэффициентов и сразу получим интересующее нас разложение. Решая уравнение четвёртой степени методом подбора (можно воспользоваться методом Феррари), найдём корни знаменателя и разложим многочлен на неприводимые множители:
(6.19)
следовательно дробь (6.18) согласно (6.13) и (6.17) можно представить в виде:
(6.20)
Приводя к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при равных степенях, получим следующую систему относительно неизвестных коэффициентов :
(6.21)
Решая систему линейных уравнений, найдём:
(6.22)
Подставим найденные коэффициенты в формулу (6.20):
(6.23)
Пример 6.5 Разложить на простые дроби:
(6.24)
Решение. Случай, когда или , нас не интересует, так как при этом двучлен будет неприводимым на множестве действительных чисел . Рассмотрим случай, когда .
Найдём корни уравнения , переписав в виде и воспользовавшись формулой Муавра для извлечения корня:
(6.25)
где и — действительные числа.
На множестве действительных чисел у многочлена с действительными коэффициентами помимо комплексного корня имеется и его сопряжённый , значит в разложении многочлена на неприводимые можно выделить квадратичные трёхчлены вида:
(6.26)
(доказательство этого факта см. в Дополнении).
Если воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, получим, что
(6.27)
Известно, что у многочлена нечётной степени с действительными коэффициентами имеется по крайней мере один действительный корень (в данном случае ), следовательно:
(6.28)
Значит выражение (6.24) имеет следующее разложение на простые дроби:
(6.29)
где
Теперь останется только методом неопределённых коэффициентов найти , и .
Например, для по формуле (6.29) в общем виде получаем:
(6.30)
После необходимых преобразований и решения системы относительно неизвестных коэффициентов будем иметь следующее разложение:
(6.31)
Для :
(6.32)
или после соответствующих манипуляций:
(6.33)
Иногда при взятии интеграла от рациональной функции, нет нужды разбивать её на простейшие дроби, это, например, происходит, если числитель является производной знаменателя (или основания степенного выражения, стоящего в знаменателе) или если возможно сокращение числителя или знаменателя дроби.
Пример 6.6 Найти интеграл
(6.34)
Решение. Замечая, что числитель представляет собой производную основания степенного выражения, стоящего в знаменателе (только производная умножена на ), не разлагая на простейшие дроби, сразу же получаем:
(6.35)
Пример 6.7 Найти интеграл
(6.36)
Решение. Можно заметить, что числитель представляет собой куб разности:
Как мы видели из предыдущего пункта, интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию суммы простых дробей вида:
и (6.40)
а в случае неправильной дроби ещё и к интегрированию многочлена (см. пункт «Интегрирование многочленов» этой главы).
Возьмём интеграл от дроби первого типа:
(6.41)
Исследуем интегралы от дробей второго типа. Сначала рассмотрим следующий интеграл:
(6.42)
где ; , иначе мы бы имели в знаменателе линейный двучлен, интеграл от которого рассмотрен выше.
Постоянную можно вынести за знак интеграла и получить в знаменателе приведённый квадратный трёхчлен:
(6.43)
где .
Выделим в квадратном трёхчлена полный квадрат:
(6.44)
Исследуем выражение в зависимости от знака . Если , то можно написать, что и интеграл (6.44) запишется в виде:
(6.45)
или возвращаясь к :
(6.46)
Допустим теперь, что , тогда :
(6.47)
Если же , то
(6.48)
Подведём итог:
(6.49)
Хочется отметить, что в случае , дробь (6.42) не считается простой [так как может быть разложена на дроби вида (6.41)], но в образовательных целях здесь приведён её полный анализ.
Пример 6.8. Решить интеграл
(6.50)
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:
(6.51)
Теперь можно взять интеграл:
(6.52)
Рассмотрим теперь интеграл вида:
(6.53)
где .
Как и в случае интеграла (6.42) выделим в знаменателе полный квадрат:
(6.53)
Будем считать, что , иначе мы могли бы разложить дробь на простые. Сделаем замену и обозначим , тогда выражение (6.53) преобразуется к виду:
(6.54)
В примере 5.9 нами уже была получена рекуррентная формула для нахождения интеграла в зависимости от . Покажем ещё один способ. Преобразуем правый интеграл в выражении (6.54) следующим образом:
(6.55)
В первом слагаемом после сокращения на получается исходный интеграл только степени ; второе слагаемое можно вычислить взятием по частям:
(6.56)
Здесь мы снова пришли к интересующему нас интегралу, но в меньшей степени. Подставим найденные выражения в (6.55):
(6.57)
Приведём подобные:
(6.58)
Вернёмся снова к переменной и коэффициентам :
(6.59)
Проведя упрощения, окончательно получим:
(6.60)
Сейчас приступим непосредственно к рассмотрению интегралов вида:
(6.61)
где знаменатель не приводим на .
Как и прежде дополним квадратный трёхчлен в знаменателе до полного квадрата:
(6.62)
Сделаем подстановку . Так как , введём обозначение . Получаем:
(6.63)
Разобьём сумму на два интеграла:
(6.64)
Вычислим первый интеграл:
(6.65)
Второй интеграл табличный:
(6.66)
Подставляя два последних выражения в (6.64) и возвращаясь к переменной и постоянным и , для интеграла (6.61) будем иметь следующее общее решение:
(6.67)
Рассмотрим интеграл вида:
(6.68)
где .
Дополняя до полного квадрата и применяя подстановку , как и в случае, описанном выше, интеграл можно разбить на два:
(6.69)
Для первого интеграла получаем:
(6.70)
Ко второму интегралу можно применить формулу приведения (6.58):
(6.71)
После соответствующих подстановок и преобразований окончательно получим следующую формулу:
(6.72)
Пример 6.9. Решить интеграл
(6.73)
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:
(6.74)
Применим подстановку :
(6.75)
Вычислим интеграл в первом слагаемом:
(6.76)
Для нахождения интеграла во втором слагаемом преобразуем его:
(6.77)
Первый интеграл в сумме является табличным:
(6.78)
Ко второму слагаемому применим интегрирование по частям:
Как мы видели, при интегрировании дробей исходный интеграл разбивался на два: содержащий переменную интегрирования в числителе и не содержащий. В методе, изложенном выше, это достигалось за счёт применения соответствующей подстановки. Укажем другой способ разбиения на слагаемые. Выражение, стоящее в числителе дроби, лишь значением коэффициентов отличается от производной трёхчлена в знаменателе. Этот факт является предпосылкой сведения выражения к такому виду, чтобы можно было воспользоваться методом заведения под дифференциал.
Интегралом первого слагаемого в зависимости от показателя может являться либо степенная функция, либо натуральный логарифм. Для второго слагаемого применимы методы, описанные при исследовании интеграла (6.53). Этим способом преобразования можно пользоваться и в том случае, когда — рациональное число, главное чтобы интеграл при данном показателе был интегрируем в квадратурах. Какой способ преобразований выбирать — дело вкуса, потому что всё равно в интегралах в конечном счёте приходится выделять полный квадрат.
Как мы видели из предыдущих пунктов, результатом интегрирования любой рациональной функции может быть другая рациональная функция, логарифм или арктангенс, то есть может представлять собой линейную комбинацию алгебраической и трансцендентной функций. При этом из рассмотрения методов интегрирования простых дробей можно сделать вывод, что одни трансцендентные функции (логарифм и арктангенс) появляются только в том случае, когда знаменатель дроби имеет только простые нули, в противном случае, при наличие кратных нулей появляется ещё и алгебраическая часть.
Так как по теореме Абеля — Руффини уравнение со степенью, выше четвёртой, не разрешимо в радикалах, то разложение знаменателя на неприводимые множители сопряжено со значительными трудностями. Если все коэффициенты многочлена, стоящего в знаменатели дроби, целые[1], то существуют алгоритмы нахождения корней методом перебора делителей старшего и свободного члена. Этот процесс трудоёмкий, особенно если делителей очень много. Позднее появился так называемый полиномиальный LLL-алгоритм (алгоритм Ленстры — Ленстры — Ловаса).
Из-за вычислительных трудностей хотелось бы иметь некий метод, позволяющий сразу получить разбиение исходной дроби на алгебраическую часть и трансцендентную без нахождения нулей знаменателя. Таким метод стал метод, предложенный М. В. Остроградским. В 1844 году он доказал следующую теорему.
Теорема 6.1. Если и () — многочлены с действительными коэффициентами, не имеющие общих корней, тогда интеграл от правильной дроби можно представить в виде суммы рациональной и трансцендентной частей:
(6.88)
где — наибольший общий делитель многочлена и его производной ;
и — многочлены с неопределёнными коэффициентами ().
Доказательство теоремы 6.1
Как уже известно, любой многочлен на может быть представлен в виде[2]:
(6.89)
где — действительный корень кратности ();
() — неприводимый на множестве действительных чисел квадратный трёхчлен. Он представляет собой произведение двух комплексно сопряжённых корней многочлена кратности ();
В разложении на простые дроби каждому действительному корню кратности будут соответствовать слагаемые:
(6.90)
а каждой паре комплексно сопряжённых корней (соответственно, неприводимому квадратному трёхчлену) — слагаемые:
(6.91)
где все — действительные постоянные.
При интегрировании от первых слагаемых в (6.90) и (6.91) согласно (6.41) (случай ) и (6.49) (при ) является трансцендентной функцией. Интегралы от каждой из всех последующих слагаемых (6.90) — правильная дробь, степень знаменателя которой на единицу меньше степени этой же дроби. Интеграл от каждого слагаемого, начиная со второго, в выражении (6.91) представляет собой сумму правильной рациональной дроби и арктангенса.
Объединим рациональные части интегралов от (6.90) и (6.91), в результате получим правильную рациональную дробь (), знаменатель которой
(6.92)
является многочленом степени , где .
Как уже сказано выше, трансцендентную часть интеграла от дроби можно представить как алгебраическую сумму дробей вида:
и ,(6.93)
где — константы.
Приведя эту сумму к общему знаменателю, получим правильную рациональную дробь () со знаменателем
(6.94)
где . Как мы видим, этот многочлен имеет только простые нули.
Таким образом мы доказали верность формулы (6.88).
Теперь покажем, что для нахождения не обязательно знать нули знаменателя дроби . По теореме о корнях производной многочлена (доказательство см. в Дополнении) следует, что имеет те же корни, что и , только их кратность на единицу меньше, а как мы видели из построения многочлена , он и будет наибольшим общим делителем многочленов и , так как в него входят те же корни, что и в , их степень на единицу меньше и при этом простые корни отсутствуют.
Итак, мы установили, что имеет место тождество (6.88). Многочлен является наибольшим общим делителем многочленов и . Его можно получить, используя алгоритм последовательного деления, или алгоритм Евклида. Вычислить многочлен также не составит труда. Значит остаётся только получить многочлены и . Для этого продифференцируем по правую и левую части выражения (6.88):
(6.96)
Применим формулу производной от частного:
(6.97)
Разобьём дробь в правой части:
(6.98)
Домножим обе части равенства (6.98) на многочлен :
(6.99)
Так как в первом слагаемом отношение равно , то первое слагаемое представляет собой многочлен. В последнем слагаемом мы также имеем многочлен, потому что [это следует из равенства (6.95)]. Исследуем теперь второе слагаемое. Отношение равно :
Теперь, воспользовавшись методом неопределённых коэффициентов, можно получить выражения для и . Интеграл взять уже гораздо проще: в знаменателе будут только простые корни и, следовательно, можно воспользоваться специальным методом разложения, упрощающим вычисления (подробности см. в Дополнении).
Рассмотрим пример на применение метода Остроградского.
Пример 6.11. Найти интеграл:
(6.106)
Решение. Для нахождения этого интеграла воспользуемся методом Остроградского. Здесь мы имеем , . Найдём производную от знаменателя:
(6.107)
Теперь найдём НОД и . Для этого «столбиком» разделим на , получим как целую часть и в остатке. Поделим теперь на первый остаток, получим целую часть — и второй остаток — . Теперь поделим первый остаток на второй: целая часть — и третий остаток — . Поделив второй остаток на третий, получим только целую часть — , следовательно, по алгоритму Евклида многочлен
(6.108)
является кубическим многочленом. Значит в трансцендентную часть входят логарифмы и арктангенс.
Поделив на , получим:
(6.109)
Таким образом, мы имеем всё, что нужно для определения коэффициентов у и , причём из-за того, что в трансцендентной части легко получить разложение на простые дроби, то в принципе можно не искать, а сразу определять коэффициенты при простых дробях.
Теперь умножим на , раскроем скобки и приведём подобные. После этого приравняем коэффициенты при равных степенях, получим систему линейных уравнений относительно интересующих нас коэффициентов:
Приведём теперь описание ещё одного метода выделения алгебраической части интеграла от правильной рациональной дроби. Этот метод был предложен Ш. Эрмитом (1822—1901).
Пусть () — правильная рациональная дробь. Считаем, что дробь несократимая, то есть многочлены и взаимно простые. Также положим, что коэффициенты при старших степенях равны единице.
Вновь рассмотрим представление вещественного многочлена в виде произведения линейных полиномов:
(6.117)
где — корень многочлена (если он кратный, то считаем его несколько раз).
Если перегруппировать в представлении (6.117) сомножители, то это выражение можно переписать так:
(6.118)
где — многочлены, содержащие линейные множители и не имеющие попарно никаких общих множителей. На множестве действительных чисел эти многочлены могут содержать множители вида , где .
Значит дробь можно представить в виде:
(6.119)
где многочлены взаимно просты с ().
Докажем это.
Доказательство формулы (6.119)
Многочлены и взаимно просты, так как все они попарно взаимно просты, и произведение простых множителей также взаимно просто. Воспользуемся соотношением Безу для этих полиномов. Так как полиномы взаимно просты, то имеет место следующее равенство:
(6.120)
где — многочлены, степени которых меньше и соответственно. Для поиска этих многочленов можно использовать метод неопределённых коэффициентов.
Теперь поделим на :
(6.121)
Многочлен имеет степень, меньшую, чем у , а — меньшую, чем у , при этом и взаимно просты, аналогично, и взаимно просты.
Применяя те же рассуждения к и , получим формулу (6.119).
Из разложения (6.119) следует, что нам нужно научиться выделять рациональную часть у интегралов вида:
(6.122)
где степень меньше степени и они взаимно просты. Так как у многочлена все корни различны, то он и его производная будут взаимно просты[6]. Если , то интеграл берётся непосредственно разложением на простые дроби. Это легко сделать, потому что у все корни простые. Исследуем случай, когда