Интегральное исчисление/Интегрирование полиномиальных и рациональных функций

← Методы интегрирования | Интегрирование полиномиальных и рациональных функций


Содержание этой главы предполагает, что читатель знаком с основными результатами теории рациональных функций и знаком с методам разложения рациональной функции на простые дроби. Более подробно об этом можно прочитать в Дополнении.

Интегрирование многочленов

править

Многочленом, или полиномом, от одной переменной   называется выражение вида:

 (6.1)

где   — некоторые вещественные или комплексные постоянные. Число   — максимальная из степеней его одночленов — называется степенью многочлена.

Вычисление интеграла от многочлена   основано на свойстве линейности интеграла:

 (6.2)
         

Пример 6.1. Найти интеграл

 (6.3)

Решение. Используя свойства линейности интеграла, получим:

 (6.4)

Пример 6.2. Найти интеграл

 (6.5)

Решение. Раскроем скобки в подынтегральном выражении:

 (6.6)

Теперь беря интегралы от каждого слагаемого, получим:

 (6.7)

Пример 6.3. Найти интеграл

 (6.8)

Решение. Здесь можно было поступить также, как и в примере 6.2, но проще сделать замену  , тогда   и выражение   преобразуется к виду  . Получаем:

 (6.9)

Разобьём на два интеграла и проинтегрируем каждое слагаемое:

 (6.10)

Возвращаясь к переменной  , у нас получается:

 (6.11)

Интегрирование рациональных функций

править

Вводные замечания

править

Рациональной функцией от переменной   называется отношение двух полиномов:

 (6.12)

где предполагается, что  . Многочлен   называется числителем дроби, а  знаменателем. Можно считать, что многочлены   и   взаимно просты, в противном случае их можно сократить на их наибольший общий делитель (НОД).

Из теории рациональных функций известно, что если  , то рациональную функцию можно разбить на многочлен степени   и дробь, знаменатель которой равен знаменателю исходной дроби, а в числители стоит многочлен степени, меньшей  :

 (6.13)

Далее, известно, что любой полином с комплексными коэффициентами на множестве комплексных чисел может быть представлен в виде произведения неприводимых многочленов:

 (6.14)

где  корень многочлена  -ой степени кратности ( );  ;

  — коэффициент при старшей степени  .

Поэтому в случае, если  , дробь   на множестве комплексных чисел можно представить в виде:

 (6.15)
         
         

где   — некоторые в общем случае комплексные постоянные, которые можно найти, например, методом неопределённых коэффициентов или из других соображений.

В данном учебнике нас больше интересуют многочлены с действительными коэффициентами и действительными корнями. На множестве   разложение многочлена на неприводимые множители будет иметь несколько иной вид:

 (6.16)

где   — действительные корни;  . Квадратные трёхчлены   не имеют действительных корней.

Если рассматривать разложение дроби на простейшие на  , то мы придём к следующей формуле:

 (6.17)
         
         
         

где все коэффициенты   — действительные числа.

Рассмотрим пример на разложение дроби.

Пример 6.4 Разложить на простые дроби:

 (6.18)

Решение. Как мы видим, степень числителя превосходит степень знаменателя, значит у дроби можно выделить целую часть, а затем получившуюся правильную дробь можно разложить на простые дроби. Но мы воспользуемся методом неопределённых коэффициентов и сразу получим интересующее нас разложение. Решая уравнение четвёртой степени методом подбора (можно воспользоваться методом Феррари), найдём корни знаменателя и разложим многочлен на неприводимые множители:

 (6.19)

следовательно дробь (6.18) согласно (6.13) и (6.17) можно представить в виде:

 (6.20)

Приводя к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при равных степенях, получим следующую систему относительно неизвестных коэффициентов  :

 (6.21)

Решая систему линейных уравнений, найдём:

 (6.22)

Подставим найденные коэффициенты в формулу (6.20):

 (6.23)

Пример 6.5 Разложить на простые дроби:

 (6.24)

Решение. Случай, когда   или  , нас не интересует, так как при этом двучлен будет неприводимым на множестве действительных чисел  . Рассмотрим случай, когда  .

Найдём корни уравнения  , переписав в виде   и воспользовавшись формулой Муавра для извлечения корня:

 (6.25)

где   и   — действительные числа.

На множестве действительных чисел у многочлена с действительными коэффициентами помимо комплексного корня   имеется и его сопряжённый  , значит в разложении многочлена   на неприводимые можно выделить квадратичные трёхчлены вида:

 (6.26)

(доказательство этого факта см. в Дополнении).

Если воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, получим, что

 (6.27)

Известно, что у многочлена нечётной степени с действительными коэффициентами имеется по крайней мере один действительный корень (в данном случае  ), следовательно:

 (6.28)

Значит выражение (6.24) имеет следующее разложение на простые дроби:

 (6.29)

где

 

Теперь останется только методом неопределённых коэффициентов найти  ,   и  .

Например, для   по формуле (6.29) в общем виде получаем:

 (6.30)

После необходимых преобразований и решения системы относительно неизвестных коэффициентов будем иметь следующее разложение:

 (6.31)

Для  :

 (6.32)

или после соответствующих манипуляций:

 (6.33)

Иногда при взятии интеграла от рациональной функции, нет нужды разбивать её на простейшие дроби, это, например, происходит, если числитель является производной знаменателя (или основания степенного выражения, стоящего в знаменателе) или если возможно сокращение числителя или знаменателя дроби.

Пример 6.6 Найти интеграл

 (6.34)

Решение. Замечая, что числитель представляет собой производную основания степенного выражения, стоящего в знаменателе (только производная умножена на  ), не разлагая на простейшие дроби, сразу же получаем:

 (6.35)
         

Пример 6.7 Найти интеграл

 (6.36)

Решение. Можно заметить, что числитель представляет собой куб разности:

 (6.37)

Сократим дробь:

 (6.38)

Теперь вычислить интеграл не составит труда:

 (6.39)

Интегрирование простых дробей

править

Как мы видели из предыдущего пункта, интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию суммы простых дробей вида:

  и  (6.40)

а в случае неправильной дроби ещё и к интегрированию многочлена (см. пункт «Интегрирование многочленов» этой главы).

Возьмём интеграл от дроби первого типа:

 (6.41)

Исследуем интегралы от дробей второго типа. Сначала рассмотрим следующий интеграл:

 (6.42)

где  ;  , иначе мы бы имели в знаменателе линейный двучлен, интеграл от которого рассмотрен выше.

Постоянную   можно вынести за знак интеграла и получить в знаменателе приведённый квадратный трёхчлен:

 (6.43)

где  .

Выделим в квадратном трёхчлена полный квадрат:

 (6.44)

Исследуем выражение в зависимости от знака  . Если  , то можно написать, что   и интеграл (6.44) запишется в виде:

 (6.45)

или возвращаясь к  :

 (6.46)

Допустим теперь, что  , тогда  :

 (6.47)
         

Если же  , то

 (6.48)

Подведём итог:

 (6.49)

Хочется отметить, что в случае  , дробь (6.42) не считается простой [так как может быть разложена на дроби вида (6.41)], но в образовательных целях здесь приведён её полный анализ.

Пример 6.8. Решить интеграл

 (6.50)

Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:

 (6.51)

Теперь можно взять интеграл:

 (6.52)

Рассмотрим теперь интеграл вида:

 (6.53)

где  .

Как и в случае интеграла (6.42) выделим в знаменателе полный квадрат:

 (6.53)
         

Будем считать, что  , иначе мы могли бы разложить дробь на простые. Сделаем замену   и обозначим  , тогда выражение (6.53) преобразуется к виду:

 (6.54)

В примере 5.9 нами уже была получена рекуррентная формула для нахождения интеграла в зависимости от  . Покажем ещё один способ. Преобразуем правый интеграл в выражении (6.54) следующим образом:

 (6.55)

В первом слагаемом после сокращения на   получается исходный интеграл только степени  ; второе слагаемое можно вычислить взятием по частям:

 (6.56)
         

Здесь мы снова пришли к интересующему нас интегралу, но в меньшей степени. Подставим найденные выражения в (6.55):

 (6.57)

Приведём подобные:

 (6.58)

Вернёмся снова к переменной   и коэффициентам  :

 (6.59)
         

Проведя упрощения, окончательно получим:

 (6.60)

Сейчас приступим непосредственно к рассмотрению интегралов вида:

 (6.61)

где знаменатель не приводим на  .

Как и прежде дополним квадратный трёхчлен в знаменателе до полного квадрата:

 (6.62)

Сделаем подстановку  . Так как  , введём обозначение  . Получаем:

 (6.63)

Разобьём сумму на два интеграла:

 (6.64)

Вычислим первый интеграл:

 (6.65)

Второй интеграл табличный:

 (6.66)

Подставляя два последних выражения в (6.64) и возвращаясь к переменной   и постоянным   и  , для интеграла (6.61) будем иметь следующее общее решение:

 (6.67)

Рассмотрим интеграл вида:

 (6.68)

где  .

Дополняя до полного квадрата и применяя подстановку  , как и в случае, описанном выше, интеграл можно разбить на два:

 (6.69)

Для первого интеграла получаем:

 (6.70)

Ко второму интегралу можно применить формулу приведения (6.58):

 (6.71)

После соответствующих подстановок и преобразований окончательно получим следующую формулу:

 (6.72)

Пример 6.9. Решить интеграл

 (6.73)

Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:

 (6.74)

Применим подстановку  :

 (6.75)

Вычислим интеграл в первом слагаемом:

 (6.76)

Для нахождения интеграла во втором слагаемом преобразуем его:

 (6.77)
         

Первый интеграл в сумме является табличным:

 (6.78)

Ко второму слагаемому применим интегрирование по частям:

 (6.79)
         

Подставим найденные интегралы в (6.75):

 (6.80)
         

Вернёмся к исходной переменной:

 (6.81)
         

Как мы видели, при интегрировании дробей   исходный интеграл разбивался на два: содержащий переменную интегрирования в числителе и не содержащий. В методе, изложенном выше, это достигалось за счёт применения соответствующей подстановки. Укажем другой способ разбиения на слагаемые. Выражение, стоящее в числителе дроби, лишь значением коэффициентов отличается от производной трёхчлена в знаменателе. Этот факт является предпосылкой сведения выражения к такому виду, чтобы можно было воспользоваться методом заведения под дифференциал.

Итак, преобразуем интеграл (6.68):

 (6.82)
         

Интегралом первого слагаемого в зависимости от показателя   может являться либо степенная функция, либо натуральный логарифм. Для второго слагаемого применимы методы, описанные при исследовании интеграла (6.53). Этим способом преобразования можно пользоваться и в том случае, когда   — рациональное число, главное чтобы интеграл   при данном показателе был интегрируем в квадратурах. Какой способ преобразований выбирать — дело вкуса, потому что всё равно в интегралах в конечном счёте приходится выделять полный квадрат.

Пример 6.10. Решить интеграл

 (6.83)

Решение. Преобразуем интеграл к виду (6.82):

 (6.84)

Теперь найти интеграл от первого слагаемого не составит труда:

 (6.85)

Во втором слагаемом выделим полный квадрат:

 (6.86)
         

В итоге имеем следующий ответ:

 (6.87)

Метод Остроградского

править

Как мы видели из предыдущих пунктов, результатом интегрирования любой рациональной функции может быть другая рациональная функция, логарифм или арктангенс, то есть может представлять собой линейную комбинацию алгебраической и трансцендентной функций. При этом из рассмотрения методов интегрирования простых дробей можно сделать вывод, что одни трансцендентные функции (логарифм и арктангенс) появляются только в том случае, когда знаменатель дроби имеет только простые нули, в противном случае, при наличие кратных нулей появляется ещё и алгебраическая часть.

Так как по теореме Абеля — Руффини уравнение со степенью, выше четвёртой, не разрешимо в радикалах, то разложение знаменателя на неприводимые множители сопряжено со значительными трудностями. Если все коэффициенты многочлена, стоящего в знаменатели дроби, целые[1], то существуют алгоритмы нахождения корней методом перебора делителей старшего и свободного члена. Этот процесс трудоёмкий, особенно если делителей очень много. Позднее появился так называемый полиномиальный LLL-алгоритм (алгоритм Ленстры — Ленстры — Ловаса).

Из-за вычислительных трудностей хотелось бы иметь некий метод, позволяющий сразу получить разбиение исходной дроби на алгебраическую часть и трансцендентную без нахождения нулей знаменателя. Таким метод стал метод, предложенный М. В. Остроградским. В 1844 году он доказал следующую теорему.

Теорема 6.1.  Если   и   ( ) — многочлены с действительными коэффициентами, не имеющие общих корней, тогда интеграл от правильной дроби   можно представить в виде суммы рациональной и трансцендентной частей:

 (6.88)

где   — наибольший общий делитель многочлена   и его производной  ;

 
  и   — многочлены с неопределёнными коэффициентами ( ).

Итак, мы установили, что имеет место тождество (6.88). Многочлен   является наибольшим общим делителем многочленов   и  . Его можно получить, используя алгоритм последовательного деления, или алгоритм Евклида. Вычислить многочлен   также не составит труда. Значит остаётся только получить многочлены   и  . Для этого продифференцируем по   правую и левую части выражения (6.88):

 (6.96)

Применим формулу производной от частного:

 (6.97)

Разобьём дробь в правой части:

 (6.98)

Домножим обе части равенства (6.98) на многочлен  :

 (6.99)

Так как в первом слагаемом отношение   равно  , то первое слагаемое представляет собой многочлен. В последнем слагаемом мы также имеем многочлен, потому что   [это следует из равенства (6.95)]. Исследуем теперь второе слагаемое. Отношение   равно  :

 (6.100)

Продифференцируем теперь равенство (6.95):

 (6.101)

Выразим из (6.101)   и подставим в (6.100):

 (6.102)

Снова разобьём на две дроби:

 (6.103)

Дробь   является многочленом, потому что   как наибольший общий делитель многочленов   и   делит последний нацело.

Обобщая исследование правой части (6.99), можно записать следующее выражение:

 (6.104)

где

 (6.105)

многочлен степени  [3].

Теперь, воспользовавшись методом неопределённых коэффициентов, можно получить выражения для   и  . Интеграл   взять уже гораздо проще: в знаменателе будут только простые корни и, следовательно, можно воспользоваться специальным методом разложения, упрощающим вычисления (подробности см. в Дополнении).

Рассмотрим пример на применение метода Остроградского.

Пример 6.11. Найти интеграл:

 (6.106)

Решение. Для нахождения этого интеграла воспользуемся методом Остроградского. Здесь мы имеем  ,  . Найдём производную от знаменателя:

 (6.107)

Теперь найдём НОД   и  . Для этого «столбиком» разделим   на  , получим   как целую часть и   в остатке. Поделим теперь   на первый остаток, получим целую часть —   и второй остаток —  . Теперь поделим первый остаток на второй: целая часть —   и третий остаток —  . Поделив второй остаток на третий, получим только целую часть —  , следовательно, по алгоритму Евклида многочлен

 (6.108)

является кубическим многочленом. Значит в трансцендентную часть входят логарифмы и арктангенс.

Поделив   на  , получим:

 (6.109)

Таким образом, мы имеем всё, что нужно для определения коэффициентов у   и  , причём из-за того, что в трансцендентной части легко получить разложение на простые дроби, то в принципе   можно не искать, а сразу определять коэффициенты при простых дробях.

Итак, согласно (6.88) мы имеем[4]:

 (6.110)

В свою очереди интеграл от трансцендентной части можно разбить на простые дроби с неизвестными коэффициентами:

 (6.111)

Продифференцируем равенство (6.111):

 (6.112)
         
         

Теперь умножим на  , раскроем скобки и приведём подобные. После этого приравняем коэффициенты при равных степенях, получим систему линейных уравнений относительно интересующих нас коэффициентов:

 (6.112)

Решая это систему линейных уравнений, найдём:

 (6.113)

Подставляя эти значения в (6.111), будем иметь:

 (6.114)
         

Теперь можно взять интегралы в правой части известными методами:

 (6.115)
         

Окончательно получим[5]:

 (6.116)
         

Метод Эрмита

править

Приведём теперь описание ещё одного метода выделения алгебраической части интеграла от правильной рациональной дроби. Этот метод был предложен Ш. Эрмитом (1822—1901).

Пусть   ( ) — правильная рациональная дробь. Считаем, что дробь несократимая, то есть многочлены   и   взаимно простые. Также положим, что коэффициенты при старших степенях равны единице.

Вновь рассмотрим представление вещественного многочлена в виде произведения линейных полиномов:

 (6.117)

где   — корень многочлена (если он кратный, то считаем его несколько раз).

Если перегруппировать в представлении (6.117) сомножители, то это выражение можно переписать так:

 (6.118)

где   — многочлены, содержащие линейные множители и не имеющие попарно никаких общих множителей. На множестве действительных чисел   эти многочлены могут содержать множители вида  , где  .

Значит дробь   можно представить в виде:

 (6.119)

где многочлены   взаимно просты с   ( ).

Докажем это.

Из разложения (6.119) следует, что нам нужно научиться выделять рациональную часть у интегралов вида:

 (6.122)

где степень   меньше степени   и они взаимно просты. Так как у многочлена   все корни различны, то он и его производная будут взаимно просты[6]. Если  , то интеграл берётся непосредственно разложением на простые дроби. Это легко сделать, потому что у   все корни простые. Исследуем случай, когда  .

Применим снова соотношение Безу к   и его производной  :

 [7](6.123)

и подставим его в (6.122):

 (6.124)

Проинтегрируем по частям для второе слагаемое, положив   и  , тогда  , а  . Подставив эти выражения в (6.124), будем иметь:

 (6.125)

Объединяя первое и третье слагаемое в один интеграл, получим:

 (6.126)

где  .

Если  , то к интегралу   можно снова применить описанный, выше метод. Продолжая дальше, мы в конечном итоге получим:

 (6.127)

где   — рациональная функция,   — многочлен, степень которого меньше степени  , при этом он может быть и не взаимно простым с  . Интеграл в правой части вычислить уже легче, так как он содержит только простые корни.

Рассмотрим теперь пример.

Пример 6.12. Найти интеграл:

 (6.128)

Решение. В соответствии с методом Эрмита представим знаменатель дроби в виде:

 (6.129)

где  .

Значит, подынтегральное выражение можно разбить на две дроби:

 (6.130)

Методом неопределённых коэффициентов найдём:

 (6.131)

Итак, исходный интеграл можно представить в виде суммы двух:

 (6.132)
         

Первое слагаемое легко интегрируется:

 (6.133)

Для второго интеграла будем использовать метод Эрмита. Найдём производную многочлена  :

 (6.134)

Подберём два таких многочлена, чтобы выполнялось соотношение Безу (6.123):

 (6.135)
 

Так как степень многочлена, стоящего справа выше стоящего слева, то для определения неизвестных коэффициентов мы получаем переопределённую систему линейных уравнений, чтобы это исправить разделим многочлен   на произведение  , в результате получим, что   можно записать как:

 (6.136)
 

Рассмотрим теперь новое соотношение:

 (6.137)

где   — новые многочлен с неизвестными коэффициентами.

Таким образом, мы пришли к линейной системе, где количество неизвестных равно количеству уравнений, относительно этих неизвестных.

Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим следующую систему линейных уравнений:

 (6.138)

Решением системы будут следующие коэффициенты:

 (6.139)

Теперь нужно вернуться к выражению (6.135). Для этого сделаем замену  . Таким образом, получаем, что:

 (6.140)

Итак, по методу Эрмита второй интеграл в правой части выражения (6.132) можно разбить на два интеграла следующим образом:

 (6.141)
         

Разбивая интеграл в первом слагаемом на части получим:

 (6.142)

Беря интегралы, получаем:

 (6.143)

Ко второму слагаемому в (6.141) применим интегрирование по частям:

 (6.144)
         

Второе слагаемое можно разбить на простые дроби:

 (6.145)

Вычислим интегралы:

 (6.146)

Чтобы получить окончательный ответ, сложим результаты интегрирования отдельных слагаемых тем, самым получая:

 (6.147)
         

Приведя подобные, получим окончательный ответ:

 (6.148)
         

Интегрирование рациональных дробей специального вида

править

Рациональные дроби специального вида можно интегрировать, применяя методы, основанные на специфичности данного интеграла. Рассмотри некоторые из них.

Интегрирование дробей вида:

 (6.149)

где   — многочлен (в общем случае, в его состав могут входить одночлены не только с натуральными показателями), проще проинтегрировать его как алгебраическую сумму после почленного деления:

 (6.150)

где   — действительный коэффициент,   — показатель степени одночлена (в общем случае,  ).

Очень часто при интегрировании таких выражений появляются члены вида   ( ). Их раскрывают, используя формулу бинома Ньютона.

Пример 6.12. Найти интеграл

 (6.151)

Решение. Произведя почленное деление под знаком интеграла, получим:

 (6.152)
         

Интегралы вида:

 (6.153)

где   — многочлен c натуральными показателями,   — действительные коэффициенты, не равные нулю;

сводятся к предыдущему случаю с использованием подстановки  . В этом случае мы имеем:  . Сделаем замену:

 (6.154)

Этим интеграл преобразуется к интегралу (6.149).

Пример 6.13. Найти интеграл

 (6.155)

Решение. Сделаем замену  , тогда   и  :

 (6.156)
         

Вернувшись обратно к переменной  , найдём ответ:

 (6.157)

Пример 6.14. Найти интеграл

 (6.158)

Решение. Применим интегрирование по частям:

 (6.159)
         

Подынтегральное выражение второго слагаемого разобьём на простые дроби. Так как  , то

 (6.160)

Методом неопределённых коэффициентов устанавливаем, что

 (6.161)

Таким образом, интеграл (6.158) можно представить как:

 (6.162)

После взятия интегралов ответом будет служить следующее выражение:

 (6.163)

Интегралы

 (6.164)

где   — полином,  ;

интегрируются следующим образом: сделаем подстановку  , тогда  :

 (6.165)

Если сделать подстановку   ( ), можно получить интеграл вида (6.149):

 (6.166)

Пример 6.15. Найти интеграл

 (6.167)

Решение. Вынесем в числителе   за скобку:

 (6.168)

Сделаем подстановку  :

 (6.169)

Сделаем ещё одну подстановку:  :

 (6.170)

Раскрывая скобки в числителе и приводя подобные, получим:

 (6.171)

Почленно поделим:

 (6.172)

Вернёмся сначала к переменной  :

 (6.173)

Окончательно получим:

 (6.174)

где  .

Исследуем интеграл вида:

 (6.175)

где  .

Если  , то линейные двучлены в числителе и знаменателе подобны, следовательно, можно вынести коэффициент подобия и сократить дробь. В этом случае мы получим интеграл

 (6.176)

который берётся заведением под дифференциал.

Случай, когда  , более интересен. Сделаем подстановку  ; интеграл преобразуется к виду (6.149):

 (6.177)

Вычислим следующий интеграл:

 (6.178)

Сделаем подстановку  , отсюда

 (6.179)

Интеграл (6.178) примет вид:

 (6.180)

Если  , то мы получаем интеграл вида (6.149).

Описанным выше способом можно брать интегралы вида

 (6.181)

где  .

В этом случае квадратный трёхчлен обладает двумя различными вещественными корнями   и  . Полагая в интеграле (6.178)   и  , преобразуем интеграл (6.181) к виду:

 (6.182)

Формула, в принципе действительна и при  , но при этом корни будут комплексными, но, так как они сопряжённые, то их разность   будет действительным числом. Если в разложении появится логарифм от комплексного числа, то его легко свести к арктангенсу.

Остановимся на интегралах вида

 (6.183)

более подробно.

Вводя подстановку  , интеграл (6.183) можно представить как:

 (6.184)

Рассмотрим несколько случаев значений показателей   и   и знака в знаменателе.

В знаменателе стоит знак «плюс».

Случай 1.  ,   — чётный. При чётном   функция   имеет комплексно сопряжённые корни вида:

 (6.185)

где  .

Следовательно, разложение имеет следующий вид:

 (6.186)

где   — неизвестные коэффициенты.

Так как все корни (6.185) простые, то для нахождения коэффициентов   можно воспользоваться методом вычисления производной (см. Дополнение). По этому методу дробь   имеет разложение:

 (6.187)

где все   — простые корни  .

Конкретно для нашего случая:

 (6.188)

По формуле Муавра имеем:

 (6.189)

Раскрывая скобки в аргументах тригонометрических функций и вычисляя их, получим:

 (6.190)

Аналогично для  :

 (6.191)

Таким образом,

 (6.192)
         

После несложных преобразований будем иметь следующее выражение:

 (6.193)

В этом интеграле  , следовательно,  , значит можно воспользоваться формулой (6.67). Подставляя наши коэффициенты в эту формулу, после преобразований окончательно получаем, что при чётном  :

 (6.194)
         

Случай 2.   — чётный,  . В этом случае формула (6.188) будет иметь вид:

 (6.195)

Выполняя аналогичные преобразования, для коэффициентов   и  , в конечном итоге, будем иметь такие выражения:

 (6.196)
 

Значит интеграл от дроби   будет иметь вид:

 (6.197)
         
         
         
         
         

Теперь, если воспользоваться формулой (6.67), окончательно получим:

 (6.198)
         

Как мы видим, формула (6.198) пригодна для  .

Случай 3.  ,   — нечётный, тогда двучлен   имеет помимо комплексно сопряжённых корней ещё и действительный корень:

 (6.199)

Разложение подынтегральной функции на простые дроби в этом случае будет:

 (6.200)

где   — неизвестные коэффициенты.

Найдём коэффициенты:

 (6.201)
 
 

Подставляя коэффициенты в (6.200) и интегрируя получившиеся дроби, получаем для нечётного   выражение, аналогичное (6.194):

 (6.202)
         

Случай 4.   — нечётный,  . Производя уже известные преобразования, получаем следующую формулу:

 (6.203)
         

Формулу (6.203) можно обобщить для  .

Теперь рассмотрим выражения (6.184), когда в знаменателе стоит знак «минус».

Случай 5.   — чётный,  . Двучлен   имеет следующий набор корней:

 (6.204)

Разложение дроби   будет иметь вид:

 (6.205)

где   — неизвестные коэффициенты, определяя которые и интегрируя после этого получившееся выражение, будет иметь:

 (6.206)
         

Случай 6.   — нечётный,  . При нечётном   квадратуру интеграла легко получить из формулы (6.203), заменяя в ней   на  . В итоге получаем:

 (6.207)
         

Фактически во всех этих случаях можно считать, что  , потому что при   интеграл берётся непосредственно:

 (6.208)

Рассмотрим теперь интегралы вида:

 (6.209)

где  . Уже известная подстановка   позволяет перейти к интегралу вида:

 (6.210)

Если  , получим интеграл:

 (6.211)

Чтобы его вычислить, преобразуем его следующим образом:

 (6.212)

Оба интеграла нам известны: первый — табличный, а второй мы можем найти по формуле (6.208):

 (6.213)

Если  , то в интеграле (6.210) применим то же преобразование, что и в (6.212):

 (6.214)

Интеграл в первом слагаемом равен:

 (6.215)

Значит

 (6.216)

Если  , то мы приходим к одному из интегралов вида (6.184); при  , последовательно применяя (6.216), снова приходим к случаю   или к интегралу (6.211).

Приступим теперь исследованию интегралов более общего вида, чем (6.183):

 (6.217)

где   и  . Считаем, что  , в противном случае, имеем случай (6.183), описанный выше.

Интеграл (6.217) является частным случаем, так называемого, биномиального дифференциала (см. соответствующую главу). Этот интеграл обычно берётся интегрированием по частям, выбирая функции   и   таким образом, чтобы показатель   сводился к 1.

Если в выражении (6.217)  , то интеграл можно вычислить непосредственно занесением под дифференциал:

 (6.218)

Если  , то применим интегрирование по частям, приняв, что   и  , тогда  , а  . Подставляя эти значения в формулу интегрирования по частям (4.42), получаем:

 (6.219)

Повторяя эту процедуру для интеграла в правой части, в конечном итоге мы придём к интегралу вида:

 (6.220)

который в зависимости от знака показателя   может иметь вид (6.183) или (6.209). Если  , то для интегралов вида (6.183) дополнительно потребуется выделить целую часть.

Если  , то мы имеем интеграл

 (6.221)

где   и  . Тогда можно также воспользоваться следующим преобразованием. Найдём такое наименьшее натуральное число  , чтобы   и при этом, если   — чётное, тогда  , или, если   — нечётное, тогда  , делилось бы на  .

В первом случае мы можем применить следующее преобразование:

 (6.222)

во втором:

 (6.223)

Так как, по условию, мы подбирали   так, чтобы   или   делились на   нацело, то интегралы в первых слагаемых (6.222) и (6.223) будут интегралами от полиномов целых, положительных и отрицательных степеней   [случай (6.149)]. Вторые интегралы будут интегралами вида (6.183), так как  , а   — наименьшее число, удовлетворяющее этому условию, то, следовательно,  .

Пример 6.16. Найти интеграл:

 (6.224)

Решение. Здесь мы имеем интеграл (6.217) при  . Воспользуемся формулой интегрирования по частям (6.219):

 (6.225)

Для интеграла в правой части имеем  , подберём  , чтобы выполнялось неравенство  ; наименьшим натуральным будет  . Это чётное число, следовательно имеет место преобразование (6.222):

 (6.226)

Сократим в первом интеграле на   и почленно поделим на  :

 (6.227)

Второй интеграл берётся заведением под дифференциал:

 (6.228)

Объединяя найденные интегралы, получим ответ:

 (6.229)

Примечания

править
  1. Коэффициенты могут быть и рациональными, суть от этого не меняется, так как всегда можно домножить многочлен на некую постоянную величину, чтобы сделать его коэффициенты целочисленными.
  2. Не нарушая общности, можно считать, что коэффициент при старшей степени равен 1, потому что на него всегда можно поделить и учесть уже при интегрировании.
  3. Такая степень получается из того, что   имеет степень  ; отношение   — степень  . Производная   также имеет степень  .
  4. Постоянный множитель   мы сделали частью неопределённых коэффициентов.
  5. Можно ещё объединить все логарифмы в один.
  6. По теореме о корнях производной многочлена производная   должна содержать те же корни, что и  , но меньшей кратности, а так как все корни   просты, то   и   вообще не будут содержать общих корней.
  7. Многочлены   и   имеют степень на единицу меньше, чем   и   соответственно, если степень многочлена   не превосходит суммарной степени   и  ; в противном случае, эти степени могут быть равны или быть больше.