← Методы интегрирования | Интегрирование полиномиальных и рациональных функций
Содержание этой главы предполагает, что читатель знаком с основными результатами теории рациональных функций и знаком с методам разложения рациональной функции на простые дроби. Более подробно об этом можно прочитать в Дополнении.
Многочленом , или полиномом , от одной переменной
x
{\displaystyle x}
называется выражение вида:
P
n
(
x
)
=
a
0
+
a
1
⋅
x
+
a
2
⋅
x
2
+
…
+
a
n
⋅
x
n
=
∑
k
=
0
n
a
k
⋅
x
k
,
{\displaystyle P_{n}(x)=a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+\ldots +a_{n}\cdot x^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot x^{k},}
(6.1)
где
a
i
,
i
=
0
,
1
,
…
,
n
{\displaystyle a_{i},\;i=0,\;1,\;\ldots ,\;n}
— некоторые вещественные или комплексные постоянные. Число
n
{\displaystyle n}
— максимальная из степеней его одночленов — называется степенью многочлена .
Вычисление интеграла от многочлена
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
основано на свойстве линейности интеграла:
∫
P
n
(
x
)
d
x
=
∫
(
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
…
+
a
n
x
n
)
d
x
=
a
0
∫
d
x
+
a
1
∫
x
d
x
+
…
+
a
n
∫
x
n
d
x
=
{\displaystyle \int P_{n}(x)\,dx=\int (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n})\,dx=a_{0}\int dx+a_{1}\int x\,dx+\ldots +a_{n}\int x^{n}\,dx=}
(6.2)
=
a
0
x
+
a
1
x
2
2
+
…
+
a
n
x
n
+
1
n
+
1
=
∑
k
=
0
n
a
k
x
k
+
1
k
+
1
.
{\displaystyle =a_{0}x+a_{1}{\frac {x^{2}}{2}}+\ldots +a_{n}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}x^{k+1}}{k+1}}.}
Пример 6.1. Найти интеграл
∫
(
x
3
+
5
x
2
−
3
x
+
7
)
d
x
.
{\displaystyle \int (x^{3}+5x^{2}-3x+7)\,dx.}
(6.3)
Решение. Используя свойства линейности интеграла, получим:
∫
(
x
3
+
5
x
2
−
3
x
+
7
)
d
x
=
∫
x
3
d
x
+
5
∫
x
2
d
x
−
3
∫
x
d
x
+
7
∫
d
x
=
1
4
x
4
+
5
3
x
3
−
3
2
x
2
+
7
x
+
C
.
{\displaystyle \int (x^{3}+5x^{2}-3x+7)\,dx=\int x^{3}\,dx+5\int x^{2}\,dx-3\int x\,dx+7\int dx={\frac {1}{4}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+7x+C.}
(6.4)
Пример 6.2. Найти интеграл
∫
x
2
(
x
2
+
1
)
4
d
x
.
{\displaystyle \int x^{2}(x^{2}+1)^{4}\,dx.}
(6.5)
Решение. Раскроем скобки в подынтегральном выражении:
∫
x
2
(
x
2
+
1
)
4
d
x
=
∫
(
x
10
+
4
x
8
+
6
x
6
+
4
x
4
+
x
2
)
d
x
.
{\displaystyle \int x^{2}(x^{2}+1)^{4}\,dx=\int (x^{10}+4x^{8}+6x^{6}+4x^{4}+x^{2})\,dx.}
(6.6)
Теперь беря интегралы от каждого слагаемого, получим:
∫
x
2
(
x
2
+
1
)
4
d
x
=
1
11
x
11
+
4
9
x
9
+
6
7
x
7
+
4
5
x
5
+
1
3
x
3
+
C
.
{\displaystyle \int x^{2}(x^{2}+1)^{4}\,dx={\frac {1}{11}}x^{11}+{\frac {4}{9}}x^{9}+{\frac {6}{7}}x^{7}+{\frac {4}{5}}x^{5}+{\frac {1}{3}}x^{3}+C.}
(6.7)
Пример 6.3. Найти интеграл
∫
x
3
(
x
2
+
1
)
4
d
x
.
{\displaystyle \int x^{3}(x^{2}+1)^{4}\,dx.}
(6.8)
Решение. Здесь можно было поступить также, как и в примере 6.2 , но проще сделать замену
x
2
+
1
=
t
{\displaystyle x^{2}+1=t}
, тогда
x
d
x
=
1
2
d
t
{\displaystyle x\,dx={\frac {1}{2}}\,dt}
и выражение
x
3
(
x
2
+
1
)
4
d
x
{\displaystyle x^{3}(x^{2}+1)^{4}\,dx}
преобразуется к виду
1
2
t
4
(
t
−
1
)
d
t
{\displaystyle {\frac {1}{2}}t^{4}(t-1)\,dt}
. Получаем:
∫
x
3
(
x
2
+
1
)
4
d
x
=
1
2
∫
t
4
(
t
−
1
)
d
t
.
{\displaystyle \int x^{3}(x^{2}+1)^{4}\,dx={\frac {1}{2}}\int t^{4}(t-1)\,dt.}
(6.9)
Разобьём на два интеграла и проинтегрируем каждое слагаемое:
1
2
∫
t
4
(
t
−
1
)
d
t
=
1
2
∫
t
5
d
t
−
1
2
∫
t
4
d
t
=
1
2
⋅
t
6
6
−
1
2
⋅
t
5
5
+
C
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int t^{4}(t-1)\,dt={\frac {1}{2}}\int t^{5}\,dt-{\frac {1}{2}}\int t^{4}\,dt={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {t^{6}}{6}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {t^{5}}{5}}+C.}
(6.10)
Возвращаясь к переменной
x
{\displaystyle x}
, у нас получается:
∫
x
3
(
x
2
+
1
)
4
d
x
=
1
12
(
x
2
+
1
)
6
−
1
10
(
x
2
+
1
)
5
+
C
.
{\displaystyle \int x^{3}(x^{2}+1)^{4}\,dx={\frac {1}{12}}(x^{2}+1)^{6}-{\frac {1}{10}}(x^{2}+1)^{5}+C.}
(6.11)
Интегрирование рациональных функций
править
Рациональной функцией от переменной
x
{\displaystyle x}
называется отношение двух полиномов:
R
(
x
)
=
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
=
p
0
+
p
1
⋅
x
+
p
2
⋅
x
2
+
…
+
p
n
⋅
x
n
q
0
+
q
1
⋅
x
+
q
2
⋅
x
2
+
…
+
q
m
⋅
x
m
=
∑
k
=
0
n
p
k
⋅
x
k
∑
k
=
0
m
q
k
⋅
x
k
,
{\displaystyle R(x)={\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}={\frac {p_{0}+p_{1}\cdot x+p_{2}\cdot x^{2}+\ldots +p_{n}\cdot x^{n}}{q_{0}+q_{1}\cdot x+q_{2}\cdot x^{2}+\ldots +q_{m}\cdot x^{m}}}={\frac {\displaystyle {\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot x^{k}}}{\displaystyle {\sum _{k=0}^{m}q_{k}\cdot x^{k}}}},}
(6.12)
где предполагается, что
p
n
≠
0
,
q
m
≠
0
;
n
,
m
∈
N
{\displaystyle p_{n}\neq 0,\;q_{m}\neq 0;\;n,\;m\in \mathbb {N} }
. Многочлен
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
называется числителем дроби, а
Q
m
(
x
)
{\displaystyle Q_{m}(x)}
— знаменателем . Можно считать, что многочлены
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
и
Q
m
(
x
)
{\displaystyle Q_{m}(x)}
взаимно просты , в противном случае их можно сократить на их наибольший общий делитель (НОД).
Из теории рациональных функций известно, что если
n
⩾
m
{\displaystyle n\geqslant m}
, то рациональную функцию можно разбить на многочлен степени
n
−
m
{\displaystyle n-m}
и дробь, знаменатель которой равен знаменателю исходной дроби, а в числители стоит многочлен степени, меньшей
m
{\displaystyle m}
:
R
(
x
)
=
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
=
S
n
−
m
(
x
)
+
T
k
(
x
)
Q
m
(
x
)
,
k
<
m
.
{\displaystyle R(x)={\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}=S_{n-m}(x)+{\frac {T_{k}(x)}{Q_{m}(x)}},\quad k<m.}
(6.13)
Далее, известно, что любой полином с комплексными коэффициентами на множестве комплексных чисел может быть представлен в виде произведения неприводимых многочленов :
Q
m
(
x
)
=
A
(
x
−
x
1
)
s
1
(
x
−
x
2
)
s
2
⋅
…
⋅
(
x
−
x
k
)
s
k
=
A
∏
i
=
1
m
(
x
−
x
i
)
,
{\displaystyle Q_{m}(x)=A(x-x_{1})^{s_{1}}(x-x_{2})^{s_{2}}\cdot \ldots \cdot (x-x_{k})^{s_{k}}=A\prod _{i=1}^{m}(x-x_{i}),}
(6.14)
где
x
i
∈
C
{\displaystyle x_{i}\in \mathbb {C} }
— корень многочлена
s
i
{\displaystyle s_{i}}
-ой степени кратности (
i
=
0
,
1
,
…
,
k
{\displaystyle i=0,\;1,\;\ldots ,\;k}
);
s
1
+
s
2
+
…
+
s
k
=
m
;
k
⩽
m
{\displaystyle s_{1}+s_{2}+\ldots +s_{k}=m;\;k\leqslant m}
;
A
{\displaystyle A}
— коэффициент при старшей степени
m
{\displaystyle m}
.
Поэтому в случае, если
n
<
m
{\displaystyle n<m}
, дробь
R
(
x
)
{\displaystyle R(x)}
на множестве комплексных чисел можно представить в виде:
R
(
x
)
=
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
=
A
1
x
−
x
1
+
A
2
(
x
−
x
1
)
2
+
…
+
A
s
1
(
x
−
x
1
)
s
1
+
{\displaystyle R(x)={\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}={\frac {A_{1}}{x-x_{1}}}+{\frac {A_{2}}{(x-x_{1})^{2}}}+\ldots +{\frac {A_{s_{1}}}{(x-x_{1})^{s_{1}}}}+}
(6.15)
+
B
1
(
x
−
x
2
)
+
B
2
(
x
−
x
2
)
2
+
…
+
B
s
2
(
x
−
x
2
)
s
2
+
…
+
{\displaystyle +{\frac {B_{1}}{(x-x_{2})}}+{\frac {B_{2}}{(x-x_{2})^{2}}}+\ldots +{\frac {B_{s_{2}}}{(x-x_{2})^{s_{2}}}}+\ldots +}
+
D
1
(
x
−
x
k
)
+
D
2
(
x
−
x
k
)
2
+
…
+
D
s
k
(
x
−
x
k
)
s
k
,
{\displaystyle +{\frac {D_{1}}{(x-x_{k})}}+{\frac {D_{2}}{(x-x_{k})^{2}}}+\ldots +{\frac {D_{s_{k}}}{(x-x_{k})^{s_{k}}}},}
где
A
1
,
A
2
,
…
,
A
s
1
,
B
1
,
B
2
,
…
,
B
s
2
,
…
,
D
1
,
D
2
,
…
,
D
s
k
{\displaystyle A_{1},\;A_{2},\;\ldots ,\;A_{s_{1}},\;B_{1},\;B_{2},\;\ldots ,\;B_{s_{2}},\;\ldots ,\;D_{1},\;D_{2},\;\ldots ,\;D_{s_{k}}}
— некоторые в общем случае комплексные постоянные, которые можно найти, например, методом неопределённых коэффициентов или из других соображений.
В данном учебнике нас больше интересуют многочлены с действительными коэффициентами и действительными корнями. На множестве
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
разложение многочлена на неприводимые множители будет иметь несколько иной вид:
Q
m
(
x
)
=
A
(
x
−
x
1
)
u
1
⋅
…
⋅
(
x
−
x
j
)
u
j
⋅
(
x
+
p
1
x
+
q
1
)
v
1
⋅
(
x
2
+
p
2
x
+
q
2
)
v
2
⋅
…
⋅
(
x
2
+
p
k
x
+
q
k
)
v
k
,
{\displaystyle Q_{m}(x)=A(x-x_{1})^{u_{1}}\cdot \ldots \cdot (x-x_{j})^{u_{j}}\cdot (x+p_{1}x+q_{1})^{v_{1}}\cdot (x^{2}+p_{2}x+q_{2})^{v_{2}}\cdot \ldots \cdot (x^{2}+p_{k}x+q_{k})^{v_{k}},}
(6.16)
где
x
i
,
i
=
1
,
2
,
…
,
j
{\displaystyle x_{i},\;i=1,\;2,\;\ldots ,\;j}
— действительные корни;
u
1
+
…
+
u
j
+
v
1
+
…
+
v
k
=
m
{\displaystyle u_{1}+\ldots +u_{j}+v_{1}+\ldots +v_{k}=m}
. Квадратные трёхчлены
x
2
+
p
i
x
+
q
i
,
p
i
,
q
i
∈
R
{\displaystyle x^{2}+p_{i}x+q_{i},\;p_{i},\;q_{i}\in \mathbb {R} }
не имеют действительных корней.
Если рассматривать разложение дроби на простейшие на
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
, то мы придём к следующей формуле:
R
(
x
)
=
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
=
A
1
x
−
x
1
+
A
2
(
x
−
x
1
)
2
+
…
+
A
s
1
(
x
−
x
1
)
u
1
+
…
+
{\displaystyle R(x)={\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}={\frac {A_{1}}{x-x_{1}}}+{\frac {A_{2}}{(x-x_{1})^{2}}}+\ldots +{\frac {A_{s_{1}}}{(x-x_{1})^{u_{1}}}}+\ldots +}
(6.17)
+
D
1
(
x
−
x
j
)
+
D
2
(
x
−
x
j
)
2
+
…
+
D
u
j
(
x
−
x
j
)
u
j
+
{\displaystyle +{\frac {D_{1}}{(x-x_{j})}}+{\frac {D_{2}}{(x-x_{j})^{2}}}+\ldots +{\frac {D_{u_{j}}}{(x-x_{j})^{u_{j}}}}+}
+
K
1
x
+
L
1
x
2
+
p
1
x
+
q
1
+
K
2
x
+
L
2
(
x
2
+
p
1
x
+
q
1
)
2
+
…
+
K
v
1
x
+
L
v
1
(
x
2
+
p
1
x
+
q
1
)
v
1
+
…
+
{\displaystyle +{\frac {K_{1}x+L_{1}}{x^{2}+p_{1}x+q_{1}}}+{\frac {K_{2}x+L_{2}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{2}}}+\ldots +{\frac {K_{v_{1}}x+L_{v_{1}}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{v_{1}}}}+\ldots +}
+
M
1
x
+
N
1
x
2
+
p
k
x
+
q
k
+
M
2
x
+
N
2
(
x
2
+
p
k
x
+
q
k
)
2
+
…
+
M
v
k
x
+
N
v
k
(
x
2
+
p
k
x
+
q
k
)
v
k
,
{\displaystyle +{\frac {M_{1}x+N_{1}}{x^{2}+p_{k}x+q_{k}}}+{\frac {M_{2}x+N_{2}}{(x^{2}+p_{k}x+q_{k})^{2}}}+\ldots +{\frac {M_{v_{k}}x+N_{v_{k}}}{(x^{2}+p_{k}x+q_{k})^{v_{k}}}},}
где все коэффициенты
A
,
…
,
D
,
K
,
L
,
…
,
M
,
N
,
p
,
q
{\displaystyle A,\;\ldots ,\;D,\;K,\;L,\;\ldots ,\;M,\;N,\;p,\;q}
— действительные числа.
Рассмотрим пример на разложение дроби.
Пример 6.4 Разложить на простые дроби:
x
6
−
6
x
4
+
24
x
3
−
42
x
2
+
79
x
−
57
x
4
+
3
x
3
−
x
2
+
9
x
−
12
.
{\displaystyle {\frac {x^{6}-6x^{4}+24x^{3}-42x^{2}+79x-57}{x^{4}+3x^{3}-x^{2}+9x-12}}.}
(6.18)
Решение. Как мы видим, степень числителя превосходит степень знаменателя, значит у дроби можно выделить целую часть, а затем получившуюся правильную дробь можно разложить на простые дроби. Но мы воспользуемся методом неопределённых коэффициентов и сразу получим интересующее нас разложение. Решая уравнение четвёртой степени методом подбора (можно воспользоваться методом Феррари ), найдём корни знаменателя и разложим многочлен на неприводимые множители:
x
4
+
3
x
3
−
x
2
+
9
x
−
12
=
(
x
−
3
)
(
x
+
4
)
(
x
2
+
3
)
,
{\displaystyle x^{4}+3x^{3}-x^{2}+9x-12=(x-3)(x+4)(x^{2}+3),}
(6.19)
следовательно дробь (6.18 ) согласно (6.13 ) и (6.17 ) можно представить в виде:
x
6
−
6
x
4
+
24
x
3
−
42
x
2
+
79
x
−
57
x
4
+
3
x
3
−
x
2
+
9
x
−
12
=
A
x
2
+
B
x
+
C
+
D
x
−
3
+
E
x
+
4
+
F
x
+
G
x
2
+
3
.
{\displaystyle {\frac {x^{6}-6x^{4}+24x^{3}-42x^{2}+79x-57}{x^{4}+3x^{3}-x^{2}+9x-12}}=Ax^{2}+Bx+C+{\frac {D}{x-3}}+{\frac {E}{x+4}}+{\frac {Fx+G}{x^{2}+3}}.}
(6.20)
Приводя к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при равных степенях, получим следующую систему относительно неизвестных коэффициентов
A
,
B
,
…
,
G
{\displaystyle A,\;B,\;\ldots ,\;G}
:
x
6
:
x
5
:
x
4
:
x
3
:
x
2
:
x
1
:
x
0
:
{
A
=
1
;
3
A
+
B
=
0
;
−
A
+
3
B
+
C
=
−
6
;
9
A
−
B
+
3
C
+
D
+
E
+
F
=
24
;
−
12
A
+
9
B
−
C
+
4
D
−
E
+
3
F
+
G
=
−
42
;
−
12
B
+
9
C
+
3
D
+
3
E
−
4
F
+
3
G
=
79
;
−
12
C
+
12
D
−
3
E
−
4
G
=
−
57
;
{\displaystyle {\begin{array}{r}x^{6}:\\x^{5}:\\x^{4}:\\x^{3}:\\x^{2}:\\x^{1}:\\x^{0}:\end{array}}\;\;\left\{{\begin{array}{l}A=1;\\3A+B=0;\\-A+3B+C=-6;\\9A-B+3C+D+E+F=24;\\-12A+9B-C+4D-E+3F+G=-42;\\-12B+9C+3D+3E-4F+3G=79;\\-12C+12D-3E-4G=-57;\end{array}}\right.}
(6.21)
Решая систему линейных уравнений, найдём:
A
=
1
,
B
=
−
3
,
C
=
4
,
D
=
−
1
20
,
E
=
21
65
,
F
=
−
13
76
,
G
=
147
76
.
{\displaystyle A=1,\;B=-3,\;C=4,\;D=-{\frac {1}{20}},\;E={\frac {21}{65}},\;F=-{\frac {13}{76}},\;G={\frac {147}{76}}.}
(6.22)
Подставим найденные коэффициенты в формулу (6.20 ):
x
6
−
6
x
4
+
24
x
3
−
42
x
2
+
79
x
−
57
x
4
+
3
x
3
−
x
2
+
9
x
−
12
=
x
2
−
3
x
+
4
−
1
20
⋅
1
x
−
3
+
21
65
⋅
1
x
+
4
−
1
76
⋅
13
x
−
147
x
2
+
3
.
{\displaystyle {\frac {x^{6}-6x^{4}+24x^{3}-42x^{2}+79x-57}{x^{4}+3x^{3}-x^{2}+9x-12}}=x^{2}-3x+4-{\frac {1}{20}}\cdot {\frac {1}{x-3}}+{\frac {21}{65}}\cdot {\frac {1}{x+4}}-{\frac {1}{76}}\cdot {\frac {13x-147}{x^{2}+3}}.}
(6.23)
Пример 6.5 Разложить на простые дроби:
1
x
n
+
1
.
{\displaystyle {\frac {1}{x^{n}+1}}.}
(6.24)
Решение. Случай, когда
n
=
1
{\displaystyle n=1}
или
n
=
2
{\displaystyle n=2}
, нас не интересует, так как при этом двучлен будет неприводимым на множестве действительных чисел
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
. Рассмотрим случай, когда
n
⩾
3
{\displaystyle n\geqslant 3}
.
Найдём корни уравнения
x
n
+
1
=
0
{\displaystyle x^{n}+1=0}
, переписав в виде
x
=
−
1
n
{\displaystyle x={\sqrt[{n}]{-1}}}
и воспользовавшись формулой Муавра для извлечения корня:
x
l
=
cos
π
+
2
π
l
n
+
i
sin
π
+
2
π
l
n
=
a
l
+
i
b
l
,
l
=
0
,
1
…
,
n
−
1
,
{\displaystyle x_{l}=\cos {\frac {\pi +2\pi l}{n}}+i\sin {\frac {\pi +2\pi l}{n}}=a_{l}+ib_{l},\quad l=0,\;1\;\ldots ,\;n-1,}
(6.25)
где
a
l
=
cos
π
+
2
π
l
n
{\displaystyle a_{l}=\cos {\frac {\pi +2\pi l}{n}}}
и
b
l
=
sin
π
+
2
π
l
n
{\displaystyle b_{l}=\sin {\frac {\pi +2\pi l}{n}}}
— действительные числа.
На множестве действительных чисел у многочлена с действительными коэффициентами помимо комплексного корня
a
+
i
b
{\displaystyle a+ib}
имеется и его сопряжённый
a
−
i
b
{\displaystyle a-ib}
, значит в разложении многочлена
x
n
+
1
{\displaystyle x^{n}+1}
на неприводимые можно выделить квадратичные трёхчлены вида:
x
2
−
2
a
l
x
+
a
l
2
+
b
l
2
{\displaystyle x^{2}-2a_{l}x+a_{l}^{2}+b_{l}^{2}}
(6.26)
(доказательство этого факта см. в Дополнении).
Если воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, получим, что
a
l
2
+
b
l
2
=
(
sin
π
+
2
π
l
n
)
2
+
(
cos
π
+
2
π
l
n
)
2
=
1
{\displaystyle a_{l}^{2}+b_{l}^{2}=\left(\sin {\frac {\pi +2\pi l}{n}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\pi +2\pi l}{n}}\right)^{2}=1}
(6.27)
Известно, что у многочлена нечётной степени с действительными коэффициентами имеется по крайней мере один действительный корень (в данном случае
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
), следовательно:
x
n
+
1
=
{
∏
l
=
0
n
−
1
(
x
−
x
l
)
=
∏
l
=
0
k
(
x
2
−
2
a
l
x
+
1
)
,
n
=
2
k
;
∏
l
=
0
n
−
1
(
x
−
x
l
)
=
(
x
+
1
)
∏
l
=
0
k
(
x
2
+
2
a
l
x
+
1
)
,
n
=
2
k
+
1.
{\displaystyle x^{n}+1={\begin{cases}\displaystyle {\prod _{l=0}^{n-1}(x-x_{l})=\prod _{l=0}^{k}(x^{2}-2a_{l}x+1),}&n=2k;\\\displaystyle {\prod _{l=0}^{n-1}(x-x_{l})=(x+1)\prod _{l=0}^{k}(x^{2}+2a_{l}x+1),}&n=2k+1.\end{cases}}}
(6.28)
Значит выражение (6.24 ) имеет следующее разложение на простые дроби:
1
x
n
+
1
=
{
∑
l
=
0
k
−
1
A
l
x
+
B
l
x
2
−
2
a
l
x
+
1
,
n
=
2
k
;
A
n
x
+
1
+
∑
l
=
0
k
−
1
A
l
x
+
B
l
x
2
−
2
a
l
x
+
1
,
n
=
2
k
+
1
,
{\displaystyle {\frac {1}{x^{n}+1}}={\begin{cases}\displaystyle {\sum _{l=0}^{k-1}{\frac {A_{l}x+B_{l}}{x^{2}-2a_{l}x+1}},}&n=2k;\\\displaystyle {{\frac {A_{n}}{x+1}}+\sum _{l=0}^{k-1}{\frac {A_{l}x+B_{l}}{x^{2}-2a_{l}x+1}},}&n=2k+1,\end{cases}}}
(6.29)
где
a
l
=
cos
(
π
+
2
π
l
n
)
.
{\displaystyle a_{l}=\cos \left({\dfrac {\pi +2\pi l}{n}}\right).}
Теперь останется только методом неопределённых коэффициентов найти
A
l
{\displaystyle A_{l}}
,
B
l
{\displaystyle B_{l}}
и
A
n
{\displaystyle A_{n}}
.
Например, для
n
=
3
{\displaystyle n=3}
по формуле (6.29 ) в общем виде получаем:
1
x
3
+
1
=
C
x
+
1
+
A
x
+
B
x
2
−
x
+
1
.
{\displaystyle {\frac {1}{x^{3}+1}}={\frac {C}{x+1}}+{\frac {Ax+B}{x^{2}-x+1}}.}
(6.30)
После необходимых преобразований и решения системы относительно неизвестных коэффициентов будем иметь следующее разложение:
1
x
3
+
1
=
1
3
⋅
1
x
+
1
−
1
3
x
−
2
x
2
−
x
+
1
.
{\displaystyle {\frac {1}{x^{3}+1}}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{x+1}}-{\frac {1}{3}}{\frac {x-2}{x^{2}-x+1}}.}
(6.31)
Для
n
=
4
{\displaystyle n=4}
:
1
x
4
+
1
=
A
x
+
B
x
2
+
2
x
+
1
+
C
x
+
D
x
2
−
2
x
+
1
{\displaystyle {\frac {1}{x^{4}+1}}={\frac {Ax+B}{x^{2}+{\sqrt {2}}x+1}}+{\frac {Cx+D}{x^{2}-{\sqrt {2}}x+1}}}
(6.32)
или после соответствующих манипуляций:
1
x
4
+
1
=
1
4
⋅
2
x
+
2
x
2
+
2
x
+
1
−
1
4
⋅
2
x
−
2
x
2
−
2
x
+
1
.
{\displaystyle {\frac {1}{x^{4}+1}}={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {{\sqrt {2}}x+2}{x^{2}+{\sqrt {2}}x+1}}-{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {{\sqrt {2}}x-2}{x^{2}-{\sqrt {2}}x+1}}.}
(6.33)
Иногда при взятии интеграла от рациональной функции, нет нужды разбивать её на простейшие дроби, это, например, происходит, если числитель является производной знаменателя (или основания степенного выражения, стоящего в знаменателе) или если возможно сокращение числителя или знаменателя дроби.
Пример 6.6 Найти интеграл
∫
2
x
3
+
6
x
2
+
7
x
+
3
(
x
4
+
4
x
3
+
7
x
2
+
6
x
+
2
)
2
d
x
.
{\displaystyle \int {\frac {2x^{3}+6x^{2}+7x+3}{(x^{4}+4x^{3}+7x^{2}+6x+2)^{2}}}\,dx.}
(6.34)
Решение. Замечая, что числитель представляет собой производную основания степенного выражения, стоящего в знаменателе (только производная умножена на
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
), не разлагая на простейшие дроби, сразу же получаем:
∫
2
x
3
+
6
x
2
+
7
x
+
3
(
x
4
+
4
x
3
+
7
x
2
+
6
x
+
2
)
2
d
x
=
1
2
∫
d
(
x
4
+
4
x
3
+
7
x
2
+
6
x
+
2
)
(
x
4
+
4
x
3
+
7
x
2
+
6
x
+
2
)
2
=
{\displaystyle \int {\frac {2x^{3}+6x^{2}+7x+3}{(x^{4}+4x^{3}+7x^{2}+6x+2)^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}\int {\frac {d(x^{4}+4x^{3}+7x^{2}+6x+2)}{(x^{4}+4x^{3}+7x^{2}+6x+2)^{2}}}=}
(6.35)
=
−
1
2
1
x
4
+
4
x
3
+
7
x
2
+
6
x
+
2
+
C
.
{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{x^{4}+4x^{3}+7x^{2}+6x+2}}+C.}
Пример 6.7 Найти интеграл
∫
x
3
−
6
x
2
+
12
x
−
8
x
−
2
d
x
.
{\displaystyle \int {\frac {x^{3}-6x^{2}+12x-8}{x-2}}\,dx.}
(6.36)
Решение. Можно заметить, что числитель представляет собой куб разности:
∫
x
3
−
6
x
2
+
12
x
−
8
x
−
2
d
x
=
∫
(
x
−
2
)
3
x
−
2
,
d
x
.
{\displaystyle \int {\frac {x^{3}-6x^{2}+12x-8}{x-2}}\,dx=\int {\frac {(x-2)^{3}}{x-2}},\;dx.}
(6.37)
Сократим дробь:
∫
(
x
−
2
)
3
x
−
2
,
d
x
=
∫
(
x
−
2
)
2
d
x
.
{\displaystyle \int {\frac {(x-2)^{3}}{x-2}},\;dx=\int (x-2)^{2}\,dx.}
(6.38)
Теперь вычислить интеграл не составит труда:
∫
x
3
−
6
x
2
+
12
x
−
8
x
−
2
d
x
=
∫
(
x
−
2
)
2
d
x
=
∫
(
x
−
2
)
2
d
(
x
−
2
)
=
(
x
−
2
)
3
3
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {x^{3}-6x^{2}+12x-8}{x-2}}\,dx=\int (x-2)^{2}\,dx=\int (x-2)^{2}\,d(x-2)={\frac {(x-2)^{3}}{3}}+C.}
(6.39)
Интегрирование простых дробей
править
Как мы видели из предыдущего пункта, интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию суммы простых дробей вида:
A
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle {\frac {A}{(x-a)^{n}}}}
и
M
x
+
N
(
x
2
+
p
x
+
q
)
m
,
n
,
m
∈
N
,
{\displaystyle {\frac {Mx+N}{(x^{2}+px+q)^{m}}},\quad n,\;m\in \mathbb {N} ,}
(6.40)
а в случае неправильной дроби ещё и к интегрированию многочлена (см. пункт «Интегрирование многочленов » этой главы).
Возьмём интеграл от дроби первого типа:
∫
A
(
x
−
a
)
n
d
x
=
A
∫
d
(
x
−
a
)
(
x
−
a
)
n
=
{
−
A
n
−
1
1
(
x
−
a
)
n
−
1
+
C
,
n
≠
1
;
A
ln
|
x
−
a
|
+
C
,
n
=
1.
{\displaystyle \int {\frac {A}{(x-a)^{n}}}\,dx=A\int {\frac {d(x-a)}{(x-a)^{n}}}={\begin{cases}-{\dfrac {A}{n-1}}{\dfrac {1}{(x-a)^{n-1}}}+C,&n\neq 1;\\A\ln |x-a|+C,&n=1.\end{cases}}}
(6.41)
Исследуем интегралы от дробей второго типа. Сначала рассмотрим следующий интеграл:
∫
d
x
a
x
2
+
b
x
+
c
,
{\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}},}
(6.42)
где
a
,
b
,
c
∈
R
{\displaystyle a,\;b,\;c\in \mathbb {R} }
;
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
, иначе мы бы имели в знаменателе линейный двучлен, интеграл от которого рассмотрен выше.
Постоянную
a
{\displaystyle a}
можно вынести за знак интеграла и получить в знаменателе приведённый квадратный трёхчлен:
∫
d
x
a
x
2
+
b
x
+
c
=
1
a
∫
d
x
x
2
+
p
x
+
q
,
{\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}={\frac {1}{a}}\int {\frac {dx}{x^{2}+px+q}},}
(6.43)
где
p
=
b
a
,
q
=
c
a
{\displaystyle p={\frac {b}{a}},\;q={\frac {c}{a}}}
.
Выделим в квадратном трёхчлена полный квадрат:
1
a
∫
d
x
x
2
+
p
x
+
q
=
1
a
∫
d
x
x
2
+
2
⋅
p
2
⋅
x
+
(
p
2
)
2
+
q
−
(
p
2
)
2
=
1
a
∫
d
x
(
x
+
p
2
)
2
+
q
−
p
2
4
.
{\displaystyle {\frac {1}{a}}\int {\frac {dx}{x^{2}+px+q}}={\frac {1}{a}}\int {\frac {dx}{x^{2}+2\cdot {\dfrac {p}{2}}\cdot x+\left({\dfrac {p}{2}}\right)^{2}+q-\left({\dfrac {p}{2}}\right)^{2}}}={\frac {1}{a}}\int {\frac {dx}{\left(x+{\dfrac {p}{2}}\right)^{2}+q-{\dfrac {p^{2}}{4}}}}.}
(6.44)
Исследуем выражение в зависимости от знака
q
−
p
2
4
{\displaystyle q-{\frac {p^{2}}{4}}}
. Если
q
−
p
2
4
>
0
{\displaystyle q-{\frac {p^{2}}{4}}>0}
, то можно написать, что
q
−
p
2
4
=
s
2
{\displaystyle q-{\frac {p^{2}}{4}}=s^{2}}
и интеграл (6.44 ) запишется в виде:
1
a
∫
d
x
(
x
+
p
2
)
2
+
q
−
p
2
4
=
1
a
∫
d
x
(
x
+
p
2
)
2
+
s
2
=
1
a
∫
d
(
x
+
p
2
)
(
x
+
p
2
)
2
+
s
2
=
1
a
1
s
a
r
c
t
g
x
+
p
2
s
+
C
{\displaystyle {\frac {1}{a}}\int {\frac {dx}{\left(x+{\dfrac {p}{2}}\right)^{2}+q-{\dfrac {p^{2}}{4}}}}={\frac {1}{a}}\int {\frac {dx}{\left(x+{\dfrac {p}{2}}\right)^{2}+s^{2}}}={\frac {1}{a}}\int {\frac {d\left(x+{\dfrac {p}{2}}\right)}{\left(x+{\dfrac {p}{2}}\right)^{2}+s^{2}}}={\frac {1}{a}}{\frac {1}{s}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x+{\dfrac {p}{2}}}{s}}+C}
(6.45)
или возвращаясь к
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,\;b,\;c}
:
∫
d
x
a
x
2
+
b
x
+
c
=
2
4
a
c
−
b
2
a
r
c
t
g
2
a
x
+
b
4
a
c
−
b
2
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}+C.}
(6.46)
Допустим теперь, что
q
−
p
2
4
<
0
{\displaystyle q-{\frac {p^{2}}{4}}<0}
, тогда
q
−
p
2
4
=
−
s
2
{\displaystyle q-{\frac {p^{2}}{4}}=-s^{2}}
:
1
a
∫
d
x
(
x
+
p
2
)
2
+
q
−
p
2
4
=
1
a
∫
d
x
(
x
+
p
2
)
2
−
s
2
=
1
a
∫
d
(
x
+
p
2
)
(
x
+
p
2
)
2
−
s
2
=
{\displaystyle {\frac {1}{a}}\int {\frac {dx}{\left(x+{\dfrac {p}{2}}\right)^{2}+q-{\dfrac {p^{2}}{4}}}}={\frac {1}{a}}\int {\frac {dx}{\left(x+{\dfrac {p}{2}}\right)^{2}-s^{2}}}={\frac {1}{a}}\int {\frac {d\left(x+{\dfrac {p}{2}}\right)}{\left(x+{\dfrac {p}{2}}\right)^{2}-s^{2}}}=}
(6.47)
=
1
a
1
2
s
ln
|
x
+
p
2
−
s
x
+
p
2
+
s
|
+
C
=
1
b
2
−
4
a
c
ln
|
2
a
x
+
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
x
+
b
+
b
2
−
4
a
c
|
+
C
.
{\displaystyle ={\frac {1}{a}}{\frac {1}{2s}}\ln \left|{\frac {x+{\dfrac {p}{2}}-s}{x+{\dfrac {p}{2}}+s}}\right|+C={\frac {1}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\ln \left|{\frac {2ax+b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2ax+b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}\right|+C.}
Если же
q
−
p
2
4
=
0
{\displaystyle q-{\frac {p^{2}}{4}}=0}
, то
1
a
∫
d
x
x
2
+
p
x
+
q
=
1
a
∫
d
x
(
x
+
p
2
)
2
=
1
a
∫
d
(
x
+
p
2
)
(
x
+
p
2
)
2
=
−
1
a
1
x
+
p
2
+
C
=
−
2
2
a
x
+
b
+
C
.
{\displaystyle {\frac {1}{a}}\int {\frac {dx}{x^{2}+px+q}}={\frac {1}{a}}\int {\frac {dx}{\left(x+{\dfrac {p}{2}}\right)^{2}}}={\frac {1}{a}}\int {\frac {d\left(x+{\dfrac {p}{2}}\right)}{\left(x+{\dfrac {p}{2}}\right)^{2}}}=-{\frac {1}{a}}{\frac {1}{x+{\dfrac {p}{2}}}}+C=-{\frac {2}{2ax+b}}+C.}
(6.48)
Подведём итог:
∫
d
x
a
x
2
+
b
x
+
c
=
{
2
4
a
c
−
b
2
a
r
c
t
g
2
a
x
+
b
4
a
c
−
b
2
+
C
,
b
2
−
4
a
c
<
0
;
1
b
2
−
4
a
c
ln
|
2
a
x
+
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
x
+
b
+
b
2
−
4
a
c
|
+
C
,
b
2
−
4
a
c
>
0
;
−
2
2
a
x
+
b
+
C
,
b
2
−
4
a
c
=
0.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}={\begin{cases}{\dfrac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\,\mathrm {arctg} \,{\dfrac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}+C,&b^{2}-4ac<0;\\{\dfrac {1}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\ln \left|{\dfrac {2ax+b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2ax+b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}\right|+C,&b^{2}-4ac>0;\\-{\dfrac {2}{2ax+b}}+C,&b^{2}-4ac=0.\end{cases}}}
(6.49)
Хочется отметить, что в случае
b
2
−
4
a
c
>
0
{\displaystyle b^{2}-4ac>0}
, дробь (6.42 ) не считается простой [так как может быть разложена на дроби вида (6.41 )], но в образовательных целях здесь приведён её полный анализ.
Пример 6.8. Решить интеграл
∫
d
x
x
2
−
8
x
+
25
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-8x+25}}.}
(6.50)
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:
∫
d
x
x
2
−
8
x
+
25
=
∫
d
x
x
2
−
2
⋅
4
⋅
x
+
16
+
25
−
16
=
∫
d
x
(
x
−
4
)
2
+
9
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-8x+25}}=\int {\frac {dx}{x^{2}-2\cdot 4\cdot x+16+25-16}}=\int {\frac {dx}{(x-4)^{2}+9}}.}
(6.51)
Теперь можно взять интеграл:
∫
d
x
(
x
−
4
)
2
+
9
=
∫
d
(
x
−
4
)
(
x
−
4
)
2
+
3
2
=
1
3
a
r
c
t
g
x
−
4
3
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(x-4)^{2}+9}}=\int {\frac {d(x-4)}{(x-4)^{2}+3^{2}}}={\frac {1}{3}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x-4}{3}}+C.}
(6.52)
Рассмотрим теперь интеграл вида:
∫
d
x
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
n
,
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}},}
(6.53)
где
n
>
1
{\displaystyle n>1}
.
Как и в случае интеграла (6.42 ) выделим в знаменателе полный квадрат:
∫
d
x
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
n
=
∫
d
x
a
n
(
x
2
+
2
⋅
b
2
a
⋅
x
+
(
b
2
a
)
2
+
c
a
−
(
b
2
a
)
2
)
n
=
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}=\int {\frac {dx}{a^{n}\left(x^{2}+2\cdot {\dfrac {b}{2a}}\cdot x+\left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}+{\dfrac {c}{a}}-\left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}\right)^{n}}}=}
(6.53)
=
1
a
n
∫
d
x
(
(
x
+
b
2
a
)
2
+
c
a
−
b
2
4
a
2
)
n
.
{\displaystyle ={\frac {1}{a^{n}}}\int {\frac {dx}{\left(\left(x+{\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}+{\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)^{n}}}.}
Будем считать, что
c
a
−
b
2
4
a
2
>
0
{\displaystyle {\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {b^{2}}{4a^{2}}}>0}
, иначе мы могли бы разложить дробь на простые. Сделаем замену
t
=
x
+
b
2
a
{\displaystyle t=x+{\frac {b}{2a}}}
и обозначим
c
a
−
b
2
4
a
2
=
s
2
{\displaystyle {\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {b^{2}}{4a^{2}}}=s^{2}}
, тогда выражение (6.53 ) преобразуется к виду:
1
a
n
∫
d
x
(
(
x
+
b
2
a
)
2
+
c
a
−
b
2
4
a
2
)
n
=
1
a
n
∫
d
t
(
t
2
+
s
2
)
n
.
{\displaystyle {\frac {1}{a^{n}}}\int {\frac {dx}{\left(\left(x+{\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}+{\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}\int {\frac {dt}{(t^{2}+s^{2})^{n}}}.}
(6.54)
В примере 5.9 нами уже была получена рекуррентная формула для нахождения интеграла в зависимости от
n
{\displaystyle n}
. Покажем ещё один способ. Преобразуем правый интеграл в выражении (6.54 ) следующим образом:
∫
d
t
(
t
2
+
s
2
)
n
=
1
s
2
∫
t
2
+
s
2
−
t
2
(
t
2
+
s
2
)
n
d
t
=
1
s
2
∫
t
2
+
s
2
(
t
2
+
s
2
)
n
d
t
−
1
s
2
∫
t
2
d
t
(
t
2
+
s
2
)
n
.
{\displaystyle \int {\frac {dt}{(t^{2}+s^{2})^{n}}}={\frac {1}{s^{2}}}\int {\frac {t^{2}+s^{2}-t^{2}}{(t^{2}+s^{2})^{n}}}\,dt={\frac {1}{s^{2}}}\int {\frac {t^{2}+s^{2}}{(t^{2}+s^{2})^{n}}}\,dt-{\frac {1}{s^{2}}}\int {\frac {t^{2}\,dt}{(t^{2}+s^{2})^{n}}}.}
(6.55)
В первом слагаемом после сокращения на
t
2
+
s
2
{\displaystyle t^{2}+s^{2}}
получается исходный интеграл только степени
n
−
1
{\displaystyle n-1}
; второе слагаемое можно вычислить взятием по частям:
∫
t
2
d
t
(
t
2
+
s
2
)
n
[
u
=
t
d
u
=
d
t
d
v
=
t
d
t
(
t
2
+
s
2
)
n
v
=
∫
t
d
t
(
t
2
+
s
2
)
n
=
1
2
∫
d
(
t
2
+
s
2
)
(
t
2
+
s
2
)
n
=
=
−
1
2
1
n
−
1
1
(
t
2
+
s
2
)
n
−
1
]
=
{\displaystyle \int {\frac {t^{2}\,dt}{(t^{2}+s^{2})^{n}}}\left[{\begin{array}{ll}u=t&du=dt\\dv={\dfrac {t\,dt}{(t^{2}+s^{2})^{n}}}&\displaystyle {v=\int {\frac {t\,dt}{(t^{2}+s^{2})^{n}}}={\dfrac {1}{2}}\int {\frac {d(t^{2}+s^{2})}{(t^{2}+s^{2})^{n}}}=}\\&\displaystyle {=-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{n-1}}{\frac {1}{(t^{2}+s^{2})^{n-1}}}}\end{array}}\right]=}
(6.56)
=
−
1
2
1
n
−
1
t
(
t
2
+
s
2
)
n
−
1
+
1
2
1
n
−
1
∫
d
t
(
t
2
+
s
2
)
n
−
1
.
{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{n-1}}{\frac {t}{(t^{2}+s^{2})^{n-1}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dt}{(t^{2}+s^{2})^{n-1}}}.}
Здесь мы снова пришли к интересующему нас интегралу, но в меньшей степени. Подставим найденные выражения в (6.55 ):
∫
d
t
(
t
2
+
s
2
)
n
=
1
s
2
∫
d
t
(
t
2
+
s
2
)
n
−
1
+
1
2
s
2
1
n
−
1
t
(
t
2
+
s
2
)
n
−
1
−
1
2
s
2
1
n
−
1
∫
d
t
(
t
2
+
s
2
)
n
−
1
.
{\displaystyle \int {\frac {dt}{(t^{2}+s^{2})^{n}}}={\frac {1}{s^{2}}}\int {\frac {dt}{(t^{2}+s^{2})^{n-1}}}+{\frac {1}{2s^{2}}}{\frac {1}{n-1}}{\frac {t}{(t^{2}+s^{2})^{n-1}}}-{\frac {1}{2s^{2}}}{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dt}{(t^{2}+s^{2})^{n-1}}}.}
(6.57)
Приведём подобные:
∫
d
t
(
t
2
+
s
2
)
n
=
1
2
s
2
(
n
−
1
)
t
(
t
2
+
s
2
)
n
−
1
+
2
n
−
3
2
s
2
(
n
−
1
)
∫
d
t
(
t
2
+
s
2
)
n
−
1
.
{\displaystyle \int {\frac {dt}{(t^{2}+s^{2})^{n}}}={\frac {1}{2s^{2}(n-1)}}{\frac {t}{(t^{2}+s^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2s^{2}(n-1)}}\int {\frac {dt}{(t^{2}+s^{2})^{n-1}}}.}
(6.58)
Вернёмся снова к переменной
x
{\displaystyle x}
и коэффициентам
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,\;b,\;c}
:
1
a
n
∫
d
t
(
t
2
+
s
2
)
n
=
1
2
(
c
a
−
b
2
4
a
2
)
(
n
−
1
)
a
n
x
+
b
2
a
(
(
x
+
b
2
a
)
2
+
c
a
−
b
2
4
a
2
)
n
−
1
+
{\displaystyle {\frac {1}{a^{n}}}\int {\frac {dt}{(t^{2}+s^{2})^{n}}}={\frac {1}{2\left({\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)(n-1)a^{n}}}{\frac {x+{\dfrac {b}{2a}}}{\left(\left(x+{\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}+{\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)^{n-1}}}+}
(6.59)
+
2
n
−
3
2
(
c
a
−
b
2
4
a
2
)
(
n
−
1
)
a
n
∫
d
x
(
(
x
+
b
2
a
)
2
+
c
a
−
b
2
4
a
2
)
n
−
1
.
{\displaystyle +{\frac {2n-3}{2\left({\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)(n-1)a^{n}}}\int {\frac {dx}{\left(\left(x+{\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}+{\dfrac {c}{a}}-{\dfrac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)^{n-1}}}.}
Проведя упрощения, окончательно получим:
∫
d
x
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
n
=
2
a
x
+
b
(
n
−
1
)
(
4
a
c
−
b
2
)
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
n
−
1
+
2
a
(
2
n
−
3
)
(
n
−
1
)
(
4
a
c
−
b
2
)
∫
d
x
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
n
−
1
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}={\frac {2ax+b}{(n-1)(4ac-b^{2})(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}+{\frac {2a(2n-3)}{(n-1)(4ac-b^{2})}}\int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}}
(6.60)
Сейчас приступим непосредственно к рассмотрению интегралов вида:
∫
M
x
+
N
x
2
+
p
x
+
q
d
x
,
{\displaystyle \int {\frac {Mx+N}{x^{2}+px+q}}\,dx,}
(6.61)
где знаменатель не приводим на
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
.
Как и прежде дополним квадратный трёхчлен в знаменателе до полного квадрата:
∫
M
x
+
N
x
2
+
p
x
+
q
d
x
=
∫
M
x
+
N
(
x
+
p
2
)
2
+
q
−
p
2
4
d
x
.
{\displaystyle \int {\frac {Mx+N}{x^{2}+px+q}}\,dx=\int {\frac {Mx+N}{\left(x+{\dfrac {p}{2}}\right)^{2}+q-{\dfrac {p^{2}}{4}}}}\,dx.}
(6.62)
Сделаем подстановку
t
=
x
+
p
2
{\displaystyle t=x+{\frac {p}{2}}}
. Так как
q
−
p
2
4
>
0
{\displaystyle q-{\frac {p^{2}}{4}}>0}
, введём обозначение
q
−
p
2
4
=
a
2
{\displaystyle q-{\frac {p^{2}}{4}}=a^{2}}
. Получаем:
∫
M
x
+
N
(
x
+
p
2
)
2
+
q
−
p
2
4
d
x
=
∫
M
t
+
N
−
M
p
2
t
2
+
a
2
d
t
.
{\displaystyle \int {\frac {Mx+N}{\left(x+{\dfrac {p}{2}}\right)^{2}+q-{\dfrac {p^{2}}{4}}}}\,dx=\int {\frac {Mt+N-{\dfrac {Mp}{2}}}{t^{2}+a^{2}}}\,dt.}
(6.63)
Разобьём сумму на два интеграла:
∫
M
t
+
N
−
M
p
2
t
2
+
a
2
d
t
=
M
∫
t
d
t
t
2
+
a
2
+
(
N
−
M
p
2
)
∫
d
t
t
2
+
a
2
.
{\displaystyle \int {\frac {Mt+N-{\dfrac {Mp}{2}}}{t^{2}+a^{2}}}\,dt=M\int {\frac {t\,dt}{t^{2}+a^{2}}}+\left(N-{\frac {Mp}{2}}\right)\int {\frac {dt}{t^{2}+a^{2}}}.}
(6.64)
Вычислим первый интеграл:
M
∫
t
d
t
t
2
+
a
2
=
M
2
∫
d
(
t
2
+
a
2
)
t
2
+
a
2
=
M
2
ln
|
t
2
+
a
2
|
+
C
.
{\displaystyle M\int {\frac {t\,dt}{t^{2}+a^{2}}}={\frac {M}{2}}\int {\frac {d(t^{2}+a^{2})}{t^{2}+a^{2}}}={\frac {M}{2}}\ln |t^{2}+a^{2}|+C.}
(6.65)
Второй интеграл табличный:
(
N
−
M
p
2
)
∫
d
t
t
2
+
a
2
=
1
a
(
N
−
M
p
2
)
a
r
c
t
g
t
a
+
C
.
{\displaystyle \left(N-{\frac {Mp}{2}}\right)\int {\frac {dt}{t^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\left(N-{\frac {Mp}{2}}\right)\,\mathrm {arctg} \,{\frac {t}{a}}+C.}
(6.66)
Подставляя два последних выражения в (6.64 ) и возвращаясь к переменной
x
{\displaystyle x}
и постоянным
p
{\displaystyle p}
и
q
{\displaystyle q}
, для интеграла (6.61 ) будем иметь следующее общее решение:
∫
M
x
+
N
x
2
+
p
x
+
q
d
x
=
M
2
ln
(
x
2
+
p
x
+
q
)
+
2
N
−
M
p
4
q
−
p
2
a
r
c
t
g
2
x
+
p
4
q
−
p
2
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {Mx+N}{x^{2}+px+q}}\,dx={\frac {M}{2}}\ln(x^{2}+px+q)+{\frac {2N-Mp}{\sqrt {4q-p^{2}}}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {2x+p}{\sqrt {4q-p^{2}}}}+C.}
(6.67)
Рассмотрим интеграл вида:
∫
M
x
+
N
(
x
2
+
p
x
+
q
)
m
d
x
,
{\displaystyle \int {\frac {Mx+N}{(x^{2}+px+q)^{m}}}\,dx,}
(6.68)
где
m
>
1
{\displaystyle m>1}
.
Дополняя до полного квадрата и применяя подстановку
t
=
x
+
p
2
{\displaystyle t=x+{\frac {p}{2}}}
, как и в случае, описанном выше, интеграл можно разбить на два:
∫
M
x
+
N
(
x
2
+
p
x
+
q
)
m
d
x
=
M
∫
t
d
t
(
t
2
+
a
2
)
m
+
(
N
−
M
p
2
)
∫
d
t
(
t
2
+
a
2
)
m
.
{\displaystyle \int {\frac {Mx+N}{(x^{2}+px+q)^{m}}}\,dx=M\int {\frac {t\,dt}{(t^{2}+a^{2})^{m}}}+\left(N-{\frac {Mp}{2}}\right)\int {\frac {dt}{(t^{2}+a^{2})^{m}}}.}
(6.69)
Для первого интеграла получаем:
M
∫
t
d
t
(
t
2
+
a
2
)
m
=
M
2
∫
d
(
t
2
+
a
2
)
(
t
2
+
a
2
)
m
=
−
M
2
1
m
−
1
1
(
t
2
+
a
2
)
m
−
1
+
C
.
{\displaystyle M\int {\frac {t\,dt}{(t^{2}+a^{2})^{m}}}={\frac {M}{2}}\int {\frac {d(t^{2}+a^{2})}{(t^{2}+a^{2})^{m}}}=-{\frac {M}{2}}{\frac {1}{m-1}}{\frac {1}{(t^{2}+a^{2})^{m-1}}}+C.}
(6.70)
Ко второму интегралу можно применить формулу приведения (6.58 ):
(
N
−
M
p
2
)
∫
d
t
(
t
2
+
a
2
)
m
=
1
2
a
2
(
m
−
1
)
(
N
−
M
p
2
)
t
(
t
2
+
a
2
)
m
−
1
+
2
m
−
3
2
a
2
(
m
−
1
)
(
N
−
M
p
2
)
∫
d
t
(
t
2
+
a
2
)
m
−
1
.
{\displaystyle \left(N-{\frac {Mp}{2}}\right)\int {\frac {dt}{(t^{2}+a^{2})^{m}}}={\frac {1}{2a^{2}(m-1)}}\left(N-{\frac {Mp}{2}}\right){\frac {t}{(t^{2}+a^{2})^{m-1}}}+{\frac {2m-3}{2a^{2}(m-1)}}\left(N-{\frac {Mp}{2}}\right)\int {\frac {dt}{(t^{2}+a^{2})^{m-1}}}.}
(6.71)
После соответствующих подстановок и преобразований окончательно получим следующую формулу:
∫
M
x
+
N
(
x
2
+
p
x
+
q
)
m
d
x
=
(
2
N
−
M
p
)
x
+
N
p
−
2
M
q
(
m
−
1
)
(
4
q
−
p
2
)
(
x
2
+
p
x
+
q
)
m
−
1
+
(
2
m
−
3
)
(
2
N
−
M
p
)
(
m
−
1
)
(
4
q
−
p
2
)
∫
d
x
(
x
2
+
p
x
+
q
)
m
−
1
.
{\displaystyle \int {\frac {Mx+N}{(x^{2}+px+q)^{m}}}\,dx={\frac {(2N-Mp)x+Np-2Mq}{(m-1)(4q-p^{2})(x^{2}+px+q)^{m-1}}}+{\frac {(2m-3)(2N-Mp)}{(m-1)(4q-p^{2})}}\int {\frac {dx}{(x^{2}+px+q)^{m-1}}}.}
(6.72)
Пример 6.9. Решить интеграл
∫
3
x
−
1
(
x
2
−
x
+
1
)
2
d
x
.
{\displaystyle \int {\frac {3x-1}{(x^{2}-x+1)^{2}}}\,dx.}
(6.73)
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:
∫
3
x
−
1
(
x
2
−
x
+
1
)
2
d
x
=
∫
(
3
x
−
1
)
d
x
(
x
2
−
2
⋅
x
1
2
+
(
1
2
)
2
+
1
−
(
1
2
)
2
)
2
=
∫
(
3
x
−
1
)
d
x
(
(
x
−
1
2
)
2
+
3
4
)
2
.
{\displaystyle \int {\frac {3x-1}{(x^{2}-x+1)^{2}}}\,dx=\int {\frac {(3x-1)\,dx}{\left(x^{2}-2\cdot x{\dfrac {1}{2}}+\left({\dfrac {1}{2}}\right)^{2}+1-\left({\dfrac {1}{2}}\right)^{2}\right)^{2}}}=\int {\frac {(3x-1)\,dx}{\left(\left(x-{\dfrac {1}{2}}\right)^{2}+{\dfrac {3}{4}}\right)^{2}}}.}
(6.74)
Применим подстановку
t
=
x
−
1
2
{\displaystyle t=x-{\frac {1}{2}}}
:
∫
(
3
x
−
1
)
d
x
(
(
x
−
1
2
)
2
+
3
4
)
2
=
∫
3
(
t
+
1
2
)
−
1
(
t
2
+
3
4
)
2
d
t
=
3
∫
t
d
t
(
t
2
+
3
4
)
2
+
1
2
∫
d
t
(
t
2
+
3
4
)
2
.
{\displaystyle \int {\frac {(3x-1)\,dx}{\left(\left(x-{\dfrac {1}{2}}\right)^{2}+{\dfrac {3}{4}}\right)^{2}}}=\int {\frac {3\left(t+{\dfrac {1}{2}}\right)-1}{\left(t^{2}+{\dfrac {3}{4}}\right)^{2}}}\,dt=3\int {\frac {t\,dt}{\left(t^{2}+{\dfrac {3}{4}}\right)^{2}}}+{\frac {1}{2}}\int {\frac {dt}{\left(t^{2}+{\dfrac {3}{4}}\right)^{2}}}.}
(6.75)
Вычислим интеграл в первом слагаемом:
3
∫
t
d
t
(
t
2
+
3
4
)
2
=
3
2
∫
d
(
t
2
+
3
4
)
(
t
2
+
3
4
)
2
=
−
3
2
1
t
2
+
3
4
+
C
.
{\displaystyle 3\int {\frac {t\,dt}{\left(t^{2}+{\dfrac {3}{4}}\right)^{2}}}={\frac {3}{2}}\int {\frac {d\left(t^{2}+{\dfrac {3}{4}}\right)}{\left(t^{2}+{\dfrac {3}{4}}\right)^{2}}}=-{\frac {3}{2}}{\frac {1}{t^{2}+{\dfrac {3}{4}}}}+C.}
(6.76)
Для нахождения интеграла во втором слагаемом преобразуем его:
1
2
∫
d
t
(
t
2
+
3
4
)
2
=
1
2
⋅
4
3
∫
t
2
+
3
4
−
t
2
(
t
2
+
3
4
)
2
d
t
=
2
3
∫
t
2
+
3
4
(
t
2
+
3
4
)
2
d
t
−
2
3
∫
t
2
d
t
(
t
2
+
3
4
)
2
=
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {dt}{\left(t^{2}+{\dfrac {3}{4}}\right)^{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}\int {\frac {t^{2}+{\dfrac {3}{4}}-t^{2}}{\left(t^{2}+{\dfrac {3}{4}}\right)^{2}}}\,dt={\frac {2}{3}}\int {\frac {t^{2}+{\dfrac {3}{4}}}{\left(t^{2}+{\dfrac {3}{4}}\right)^{2}}}\,dt-{\frac {2}{3}}\int {\frac {t^{2}\,dt}{\left(t^{2}+{\dfrac {3}{4}}\right)^{2}}}=}
(6.77)
=
2
3
∫
d
t
t
2
+
3
4
−
2
3
∫
t
2
d
t
(
t
2
+
3
4
)
2
.
{\displaystyle ={\frac {2}{3}}\int {\frac {dt}{t^{2}+{\dfrac {3}{4}}}}-{\frac {2}{3}}\int {\frac {t^{2}\,dt}{\left(t^{2}+{\dfrac {3}{4}}\right)^{2}}}.}
Первый интеграл в сумме является табличным:
2
3
∫
d
t
t
2
+
3
4
=
2
3
∫
d
t
t
2
+
(
3
2
)
2
=
2
3
⋅
2
3
a
r
c
t
g
t
3
2
+
C
=
4
3
9
a
r
c
t
g
2
3
3
t
+
C
.
{\displaystyle {\frac {2}{3}}\int {\frac {dt}{t^{2}+{\dfrac {3}{4}}}}={\frac {2}{3}}\int {\frac {dt}{t^{2}+\left({\dfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}}}={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {3}}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {t}{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}+C={\frac {4{\sqrt {3}}}{9}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}t+C.}
(6.78)
Ко второму слагаемому применим интегрирование по частям:
−
2
3
∫
t
2
d
t
(
t
2
+
3
4
)
2
[
u
=
t
d
u
=
d
t
d
v
=
−
2
3
t
d
t
(
t
2
+
3
4
)
2
v
=
−
2
3
∫
t
d
t
(
t
2
+
3
4
)
2
=
−
1
3
∫
d
(
t
2
+
3
4
)
(
t
2
+
3
4
)
2
=
=
1
3
1
t
2
+
3
4
]
=
{\displaystyle -{\frac {2}{3}}\int {\frac {t^{2}\,dt}{\left(t^{2}+{\dfrac {3}{4}}\right)^{2}}}\left[{\begin{array}{ll}u=t&du=dt\\\displaystyle {dv=-{\frac {2}{3}}{\frac {t\,dt}{\left(t^{2}+{\dfrac {3}{4}}\right)^{2}}}}&\displaystyle {v=-{\frac {2}{3}}\int {\frac {t\,dt}{\left(t^{2}+{\dfrac {3}{4}}\right)^{2}}}=-{\frac {1}{3}}\int {\frac {d\left(t^{2}+{\dfrac {3}{4}}\right)}{\left(t^{2}+{\dfrac {3}{4}}\right)^{2}}}=}\\&={\dfrac {1}{3}}{\dfrac {1}{t^{2}+{\dfrac {3}{4}}}}\end{array}}\right]=}
(6.79)
=
1
3
t
t
2
+
3
4
−
1
3
∫
d
t
t
2
+
3
4
=
1
3
t
t
2
+
3
4
−
2
3
9
a
r
c
t
g
2
3
3
t
+
C
.
{\displaystyle ={\frac {1}{3}}{\frac {t}{t^{2}+{\dfrac {3}{4}}}}-{\frac {1}{3}}\int {\frac {dt}{t^{2}+{\dfrac {3}{4}}}}={\frac {1}{3}}{\frac {t}{t^{2}+{\dfrac {3}{4}}}}-{\frac {2{\sqrt {3}}}{9}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}t+C.}
Подставим найденные интегралы в (6.75 ):
3
∫
t
d
t
(
t
2
+
3
4
)
2
+
1
2
∫
d
t
(
t
2
+
3
4
)
2
=
−
3
2
1
t
2
+
3
4
+
4
3
9
a
r
c
t
g
2
3
3
t
+
1
3
t
t
2
+
3
4
−
2
3
9
a
r
c
t
g
2
3
3
t
+
C
=
{\displaystyle 3\int {\frac {t\,dt}{\left(t^{2}+{\dfrac {3}{4}}\right)^{2}}}+{\frac {1}{2}}\int {\frac {dt}{\left(t^{2}+{\dfrac {3}{4}}\right)^{2}}}=-{\frac {3}{2}}{\frac {1}{t^{2}+{\dfrac {3}{4}}}}+{\frac {4{\sqrt {3}}}{9}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}t+{\frac {1}{3}}{\frac {t}{t^{2}+{\dfrac {3}{4}}}}-{\frac {2{\sqrt {3}}}{9}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}t+C=}
(6.80)
=
1
6
2
t
−
9
t
2
+
3
4
+
2
3
9
a
r
c
t
g
2
3
3
t
+
C
.
{\displaystyle ={\frac {1}{6}}{\frac {2t-9}{t^{2}+{\dfrac {3}{4}}}}+{\frac {2{\sqrt {3}}}{9}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}t+C.}
Вернёмся к исходной переменной:
∫
3
x
−
1
(
x
2
−
x
+
1
)
2
d
x
=
1
6
2
(
x
−
1
2
)
−
9
x
2
−
x
+
1
+
2
3
9
a
r
c
t
g
(
2
3
3
(
x
−
1
2
)
)
+
C
=
{\displaystyle \int {\frac {3x-1}{(x^{2}-x+1)^{2}}}\,dx={\frac {1}{6}}{\frac {2\left(x-{\dfrac {1}{2}}\right)-9}{x^{2}-x+1}}+{\frac {2{\sqrt {3}}}{9}}\,\mathrm {arctg} \,\left({\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\left(x-{\dfrac {1}{2}}\right)\right)+C=}
(6.81)
=
1
3
x
−
5
x
2
−
x
+
1
+
2
3
9
a
r
c
t
g
(
2
3
x
−
3
3
)
+
C
.
{\displaystyle ={\frac {1}{3}}{\frac {x-5}{x^{2}-x+1}}+{\frac {2{\sqrt {3}}}{9}}\,\mathrm {arctg} \,\left({\frac {2{\sqrt {3}}x-{\sqrt {3}}}{3}}\right)+C.}
Как мы видели, при интегрировании дробей
M
x
+
N
(
x
2
+
p
x
+
q
)
m
{\displaystyle {\frac {Mx+N}{(x^{2}+px+q)^{m}}}}
исходный интеграл разбивался на два: содержащий переменную интегрирования в числителе и не содержащий. В методе, изложенном выше, это достигалось за счёт применения соответствующей подстановки. Укажем другой способ разбиения на слагаемые. Выражение, стоящее в числителе дроби, лишь значением коэффициентов отличается от производной трёхчлена в знаменателе. Этот факт является предпосылкой сведения выражения к такому виду, чтобы можно было воспользоваться методом заведения под дифференциал .
Итак, преобразуем интеграл (6.68 ):
∫
M
x
+
N
(
x
2
+
p
x
+
q
)
m
d
x
=
∫
M
2
(
2
x
+
p
)
+
N
−
M
p
2
(
x
2
+
p
x
+
q
)
m
d
x
=
{\displaystyle \int {\frac {Mx+N}{(x^{2}+px+q)^{m}}}\,dx=\int {\frac {{\dfrac {M}{2}}(2x+p)+N-{\dfrac {Mp}{2}}}{(x^{2}+px+q)^{m}}}\,dx=}
(6.82)
=
M
2
∫
d
(
x
2
+
p
x
+
q
)
(
x
2
+
p
x
+
q
)
m
+
(
N
−
M
p
2
)
∫
d
x
(
x
2
+
p
x
+
q
)
m
.
{\displaystyle ={\frac {M}{2}}\int {\frac {d(x^{2}+px+q)}{(x^{2}+px+q)^{m}}}+\left(N-{\frac {Mp}{2}}\right)\int {\frac {dx}{(x^{2}+px+q)^{m}}}.}
Интегралом первого слагаемого в зависимости от показателя
m
{\displaystyle m}
может являться либо степенная функция, либо натуральный логарифм. Для второго слагаемого применимы методы, описанные при исследовании интеграла (6.53 ). Этим способом преобразования можно пользоваться и в том случае, когда
m
{\displaystyle m}
— рациональное число, главное чтобы интеграл
∫
d
x
(
x
2
+
p
x
+
q
)
m
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(x^{2}+px+q)^{m}}}}
при данном показателе был интегрируем в квадратурах. Какой способ преобразований выбирать — дело вкуса, потому что всё равно в интегралах в конечном счёте приходится выделять полный квадрат.
Пример 6.10. Решить интеграл
∫
5
x
−
3
x
2
−
2
x
+
3
d
x
.
{\displaystyle \int {\frac {5x-3}{x^{2}-2x+3}}\,dx.}
(6.83)
Решение. Преобразуем интеграл к виду (6.82 ):
∫
5
x
−
3
x
2
−
2
x
+
3
d
x
=
∫
5
2
(
2
x
−
2
)
−
3
+
5
x
2
−
2
x
+
3
d
x
=
5
2
∫
(
2
x
−
2
)
d
x
x
2
−
2
x
+
3
+
2
∫
d
x
x
2
−
2
x
+
3
.
{\displaystyle \int {\frac {5x-3}{x^{2}-2x+3}}\,dx=\int {\frac {{\dfrac {5}{2}}(2x-2)-3+5}{x^{2}-2x+3}}\,dx={\frac {5}{2}}\int {\frac {(2x-2)\,dx}{x^{2}-2x+3}}+2\int {\frac {dx}{x^{2}-2x+3}}.}
(6.84)
Теперь найти интеграл от первого слагаемого не составит труда:
5
2
∫
(
2
x
−
2
)
d
x
x
2
−
2
x
+
3
=
5
2
∫
d
(
x
2
−
2
x
+
3
)
x
2
−
2
x
+
3
=
5
2
ln
(
x
2
−
2
x
+
3
)
+
C
.
{\displaystyle {\frac {5}{2}}\int {\frac {(2x-2)\,dx}{x^{2}-2x+3}}={\frac {5}{2}}\int {\frac {d(x^{2}-2x+3)}{x^{2}-2x+3}}={\frac {5}{2}}\ln(x^{2}-2x+3)+C.}
(6.85)
Во втором слагаемом выделим полный квадрат:
2
∫
d
x
x
2
−
2
x
+
3
=
2
∫
d
x
x
2
−
2
x
+
1
+
2
=
2
∫
d
x
(
x
−
1
)
2
+
2
=
2
∫
d
(
x
−
1
)
(
x
−
1
)
2
+
(
2
)
2
=
{\displaystyle 2\int {\frac {dx}{x^{2}-2x+3}}=2\int {\frac {dx}{x^{2}-2x+1+2}}=2\int {\frac {dx}{(x-1)^{2}+2}}=2\int {\frac {d(x-1)}{(x-1)^{2}+\left({\sqrt {2}}\right)^{2}}}=}
(6.86)
=
2
2
a
r
c
t
g
x
−
1
2
+
C
=
2
a
r
c
t
g
x
−
1
2
+
C
.
{\displaystyle ={\frac {2}{\sqrt {2}}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x-1}{\sqrt {2}}}+C={\sqrt {2}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x-1}{\sqrt {2}}}+C.}
В итоге имеем следующий ответ:
∫
5
x
−
3
x
2
−
2
x
+
3
d
x
=
5
2
ln
(
x
2
−
2
x
+
3
)
+
2
a
r
c
t
g
x
−
1
2
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {5x-3}{x^{2}-2x+3}}\,dx={\frac {5}{2}}\ln(x^{2}-2x+3)+{\sqrt {2}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x-1}{\sqrt {2}}}+C.}
(6.87)
Как мы видели из предыдущих пунктов, результатом интегрирования любой рациональной функции может быть другая рациональная функция, логарифм или арктангенс, то есть может представлять собой линейную комбинацию алгебраической и трансцендентной функций . При этом из рассмотрения методов интегрирования простых дробей можно сделать вывод, что одни трансцендентные функции (логарифм и арктангенс) появляются только в том случае, когда знаменатель дроби имеет только простые нули, в противном случае, при наличие кратных нулей появляется ещё и алгебраическая часть.
Так как по теореме Абеля — Руффини уравнение со степенью, выше четвёртой, не разрешимо в радикалах, то разложение знаменателя на неприводимые множители сопряжено со значительными трудностями. Если все коэффициенты многочлена, стоящего в знаменатели дроби, целые[ 1] , то существуют алгоритмы нахождения корней методом перебора делителей старшего и свободного члена. Этот процесс трудоёмкий, особенно если делителей очень много. Позднее появился так называемый полиномиальный LLL-алгоритм (алгоритм Ленстры — Ленстры — Ловаса ).
Из-за вычислительных трудностей хотелось бы иметь некий метод, позволяющий сразу получить разбиение исходной дроби на алгебраическую часть и трансцендентную без нахождения нулей знаменателя. Таким метод стал метод, предложенный М. В. Остроградским. В 1844 году он доказал следующую теорему.
Доказательство теоремы 6.1
Как уже известно, любой многочлен на
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
может быть представлен в виде
[ 2] :
Q
m
(
x
)
=
∏
i
=
1
g
(
x
−
x
i
)
u
i
∏
j
=
1
h
(
x
2
+
p
j
x
+
q
j
)
v
j
,
{\displaystyle Q_{m}(x)=\prod _{i=1}^{g}(x-x_{i})^{u_{i}}\prod _{j=1}^{h}(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{v_{j}},}
(6.89)
где
x
i
{\displaystyle x_{i}}
— действительный корень кратности
u
i
{\displaystyle u_{i}}
(
i
=
1
,
2
,
…
,
g
{\displaystyle i=1,\;2,\;\ldots ,\;g}
);
x
2
+
p
j
x
+
q
j
{\displaystyle x^{2}+p_{j}x+q_{j}}
(
p
j
,
q
j
∈
R
{\displaystyle p_{j},\;q_{j}\in \mathbb {R} }
) — неприводимый на множестве действительных чисел квадратный трёхчлен. Он представляет собой произведение двух комплексно сопряжённых корней многочлена
Q
m
(
x
)
{\displaystyle Q_{m}(x)}
кратности
v
j
{\displaystyle v_{j}}
(
j
=
1
,
2
,
…
,
h
{\displaystyle j=1,\;2,\;\ldots ,\;h}
);
∑
i
=
1
g
u
i
+
2
∑
j
=
1
h
v
j
=
m
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{g}u_{i}+2\sum _{j=1}^{h}v_{j}=m.}
В разложении
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
{\displaystyle {\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}}
на простые дроби каждому действительному корню
x
i
{\displaystyle x_{i}}
кратности
u
i
{\displaystyle u_{i}}
будут соответствовать слагаемые:
A
1
(
i
)
x
−
x
i
+
A
2
(
i
)
(
x
−
x
i
)
2
+
…
+
A
u
i
(
i
)
(
x
−
x
i
)
u
i
,
{\displaystyle {\frac {A_{1}^{(i)}}{x-x_{i}}}+{\frac {A_{2}^{(i)}}{(x-x_{i})^{2}}}+\ldots +{\frac {A_{u_{i}}^{(i)}}{(x-x_{i})^{u_{i}}}},}
(6.90)
а каждой паре комплексно сопряжённых корней (соответственно, неприводимому квадратному трёхчлену) — слагаемые:
M
1
(
j
)
x
+
N
1
(
j
)
x
2
+
p
j
x
+
q
j
+
M
2
(
j
)
x
+
N
2
(
j
)
(
x
2
+
p
j
x
+
q
j
)
2
+
…
+
M
v
j
(
j
)
x
+
N
v
j
(
j
)
(
x
2
+
p
j
x
+
q
j
)
v
j
,
{\displaystyle {\frac {M_{1}^{(j)}x+N_{1}^{(j)}}{x^{2}+p_{j}x+q_{j}}}+{\frac {M_{2}^{(j)}x+N_{2}^{(j)}}{(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{2}}}+\ldots +{\frac {M_{v_{j}}^{(j)}x+N_{v_{j}}^{(j)}}{(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{v_{j}}}},}
(6.91)
где все
A
u
i
(
i
)
,
M
v
j
(
j
)
,
N
v
j
(
j
)
{\displaystyle A_{u_{i}}^{(i)},\;M_{v_{j}}^{(j)},\;N_{v_{j}}^{(j)}}
— действительные постоянные.
При интегрировании от первых слагаемых в (6.90 ) и (6.91 ) согласно (6.41 ) (случай
n
=
1
{\displaystyle n=1}
) и (6.49 ) (при
4
q
−
p
2
>
0
{\displaystyle 4q-p^{2}>0}
) является трансцендентной функцией. Интегралы от каждой из всех последующих слагаемых (6.90 ) — правильная дробь, степень знаменателя которой на единицу меньше степени этой же дроби. Интеграл от каждого слагаемого, начиная со второго, в выражении (6.91 ) представляет собой сумму правильной рациональной дроби и арктангенса.
Объединим рациональные части интегралов от (6.90 ) и (6.91 ), в результате получим правильную рациональную дробь
K
s
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
{\displaystyle {\frac {K_{s}(x)}{L_{m-k}(x)}}}
(
s
<
m
−
k
{\displaystyle s<m-k}
), знаменатель которой
L
m
−
k
(
x
)
=
∏
i
=
1
g
(
x
−
x
i
)
u
i
−
1
∏
j
=
1
h
(
x
2
+
p
j
x
+
q
j
)
v
j
−
1
{\displaystyle L_{m-k}(x)=\prod _{i=1}^{g}(x-x_{i})^{u_{i}-1}\prod _{j=1}^{h}(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{v_{j}-1}}
(6.92)
является многочленом степени
m
−
k
{\displaystyle m-k}
, где
k
=
g
+
2
h
{\displaystyle k=g+2h}
.
Как уже сказано выше, трансцендентную часть интеграла от дроби
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
{\displaystyle {\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}}
можно представить как алгебраическую сумму дробей вида:
E
i
x
−
x
i
{\displaystyle {\frac {E_{i}}{x-x_{i}}}}
и
F
j
(
2
x
+
p
j
)
x
2
+
p
j
x
+
q
j
{\displaystyle {\frac {F_{j}(2x+p_{j})}{x^{2}+p_{j}x+q_{j}}}}
,(6.93)
где
E
i
,
F
j
∈
R
{\displaystyle E_{i},\;F_{j}\in \mathbb {R} }
— константы.
Приведя эту сумму к общему знаменателю, получим правильную рациональную дробь
U
t
(
x
)
V
k
(
x
)
{\displaystyle {\frac {U_{t}(x)}{V_{k}(x)}}}
(
t
<
k
{\displaystyle t<k}
) со знаменателем
V
k
(
x
)
=
∏
i
=
1
g
(
x
−
x
i
)
∏
j
=
1
h
(
x
2
+
p
j
x
+
q
j
)
,
{\displaystyle V_{k}(x)=\prod _{i=1}^{g}(x-x_{i})\prod _{j=1}^{h}(x^{2}+p_{j}x+q_{j}),}
(6.94)
где
k
=
g
+
2
h
{\displaystyle k=g+2h}
. Как мы видим, этот многочлен имеет только простые нули.
Из (6.92 ) и (6.94 ) следует, что
Q
m
(
x
)
=
L
m
−
k
(
x
)
V
k
(
x
)
.
{\displaystyle Q_{m}(x)=L_{m-k}(x)V_{k}(x).}
(6.95)
Таким образом мы доказали верность формулы (6.88 ).
Теперь покажем, что для нахождения
L
m
−
k
(
x
)
{\displaystyle L_{m-k}(x)}
не обязательно знать нули знаменателя дроби
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
{\displaystyle {\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}}
. По теореме о корнях производной многочлена (доказательство см. в Дополнении) следует, что
Q
m
′
(
x
)
{\displaystyle Q'_{m}(x)}
имеет те же корни, что и
Q
m
(
x
)
{\displaystyle Q_{m}(x)}
, только их кратность на единицу меньше, а как мы видели из построения многочлена
L
m
−
k
(
x
)
{\displaystyle L_{m-k}(x)}
, он и будет наибольшим общим делителем многочленов
Q
m
(
x
)
{\displaystyle Q_{m}(x)}
и
Q
m
′
(
x
)
{\displaystyle Q'_{m}(x)}
, так как в него входят те же корни, что и в
Q
m
(
x
)
{\displaystyle Q_{m}(x)}
, их степень на единицу меньше и при этом простые корни отсутствуют.
Итак, мы установили, что имеет место тождество (6.88 ). Многочлен
L
m
−
k
(
x
)
{\displaystyle L_{m-k}(x)}
является наибольшим общим делителем многочленов
Q
m
(
x
)
{\displaystyle Q_{m}(x)}
и
Q
m
′
(
x
)
{\displaystyle Q'_{m}(x)}
. Его можно получить, используя алгоритм последовательного деления, или алгоритм Евклида . Вычислить многочлен
V
k
(
x
)
=
Q
m
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
{\displaystyle V_{k}(x)={\frac {Q_{m}(x)}{L_{m-k}(x)}}}
также не составит труда. Значит остаётся только получить многочлены
K
s
(
x
)
{\displaystyle K_{s}(x)}
и
U
t
(
x
)
{\displaystyle U_{t}(x)}
. Для этого продифференцируем по
x
{\displaystyle x}
правую и левую части выражения (6.88 ):
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
=
(
K
s
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
)
′
+
U
t
(
x
)
V
k
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}=\left({\frac {K_{s}(x)}{L_{m-k}(x)}}\right)'+{\frac {U_{t}(x)}{V_{k}(x)}}.}
(6.96)
Применим формулу производной от частного:
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
=
K
s
′
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
−
K
s
(
x
)
L
m
−
k
′
(
x
)
L
m
−
k
2
(
x
)
+
U
t
(
x
)
V
k
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}={\frac {K'_{s}(x)L_{m-k}(x)-K_{s}(x)L'_{m-k}(x)}{L_{m-k}^{2}(x)}}+{\frac {U_{t}(x)}{V_{k}(x)}}.}
(6.97)
Разобьём дробь в правой части:
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
=
K
s
′
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
−
K
s
(
x
)
L
m
−
k
′
(
x
)
L
m
−
k
2
(
x
)
+
U
t
(
x
)
V
k
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}={\frac {K'_{s}(x)}{L_{m-k}(x)}}-{\frac {K_{s}(x)L'_{m-k}(x)}{L_{m-k}^{2}(x)}}+{\frac {U_{t}(x)}{V_{k}(x)}}.}
(6.98)
Домножим обе части равенства (6.98 ) на многочлен
Q
m
(
x
)
{\displaystyle Q_{m}(x)}
:
P
n
(
x
)
=
K
s
′
(
x
)
Q
m
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
−
K
s
(
x
)
L
m
−
k
′
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
Q
m
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
+
U
t
(
x
)
Q
m
(
x
)
V
k
(
x
)
.
{\displaystyle P_{n}(x)=K'_{s}(x){\frac {Q_{m}(x)}{L_{m-k}(x)}}-K_{s}(x){\frac {L'_{m-k}(x)}{L_{m-k}(x)}}{\frac {Q_{m}(x)}{L_{m-k}(x)}}+U_{t}(x){\frac {Q_{m}(x)}{V_{k}(x)}}.}
(6.99)
Так как в первом слагаемом отношение
Q
m
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
{\displaystyle {\frac {Q_{m}(x)}{L_{m-k}(x)}}}
равно
V
k
(
x
)
{\displaystyle V_{k}(x)}
, то первое слагаемое представляет собой многочлен. В последнем слагаемом мы также имеем многочлен, потому что
Q
m
(
x
)
V
k
(
x
)
=
L
m
−
k
(
x
)
{\displaystyle {\frac {Q_{m}(x)}{V_{k}(x)}}=L_{m-k}(x)}
[это следует из равенства (6.95 )]. Исследуем теперь второе слагаемое. Отношение
Q
m
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
{\displaystyle {\frac {Q_{m}(x)}{L_{m-k}(x)}}}
равно
V
k
(
x
)
{\displaystyle V_{k}(x)}
:
K
s
(
x
)
L
m
−
k
′
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
Q
m
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
=
K
s
(
x
)
L
m
−
k
′
(
x
)
V
k
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
.
{\displaystyle K_{s}(x){\frac {L'_{m-k}(x)}{L_{m-k}(x)}}{\frac {Q_{m}(x)}{L_{m-k}(x)}}=K_{s}(x){\frac {L'_{m-k}(x)V_{k}(x)}{L_{m-k}(x)}}.}
(6.100)
Продифференцируем теперь равенство (6.95 ):
Q
m
′
(
x
)
=
(
L
m
−
k
(
x
)
V
k
(
x
)
)
′
=
L
m
−
k
′
(
x
)
V
k
(
x
)
+
L
m
−
k
(
x
)
V
k
′
(
x
)
.
{\displaystyle Q'_{m}(x)=(L_{m-k}(x)V_{k}(x))'=L'_{m-k}(x)V_{k}(x)+L_{m-k}(x)V'_{k}(x).}
(6.101)
Выразим из (6.101 )
L
m
−
k
′
(
x
)
V
k
(
x
)
{\displaystyle L'_{m-k}(x)V_{k}(x)}
и подставим в (6.100 ):
K
s
(
x
)
L
m
−
k
′
(
x
)
V
k
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
=
K
s
(
x
)
Q
m
′
(
x
)
−
V
k
′
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
.
{\displaystyle K_{s}(x){\frac {L'_{m-k}(x)V_{k}(x)}{L_{m-k}(x)}}=K_{s}(x){\frac {Q'_{m}(x)-V'_{k}(x)L_{m-k}(x)}{L_{m-k}(x)}}.}
(6.102)
Снова разобьём на две дроби:
K
s
(
x
)
Q
m
′
(
x
)
−
V
k
′
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
=
K
s
(
x
)
(
Q
m
′
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
−
V
k
′
(
x
)
)
.
{\displaystyle K_{s}(x){\frac {Q'_{m}(x)-V'_{k}(x)L_{m-k}(x)}{L_{m-k}(x)}}=K_{s}(x)\left({\frac {Q'_{m}(x)}{L_{m-k}(x)}}-V'_{k}(x)\right).}
(6.103)
Дробь
Q
m
′
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
{\displaystyle {\frac {Q'_{m}(x)}{L_{m-k}(x)}}}
является многочленом, потому что
L
m
−
k
(
x
)
{\displaystyle L_{m-k}(x)}
как наибольший общий делитель многочленов
Q
m
(
x
)
{\displaystyle Q_{m}(x)}
и
Q
m
′
(
x
)
{\displaystyle Q'_{m}(x)}
делит последний нацело.
Обобщая исследование правой части (6.99 ), можно записать следующее выражение:
P
n
(
x
)
=
K
s
′
(
x
)
V
k
(
x
)
−
K
s
(
x
)
W
k
−
1
(
x
)
+
U
t
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
,
{\displaystyle P_{n}(x)=K'_{s}(x)V_{k}(x)-K_{s}(x)W_{k-1}(x)+U_{t}(x)L_{m-k}(x),}
(6.104)
где
W
k
−
1
(
x
)
=
Q
m
′
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
−
V
k
′
(
x
)
{\displaystyle W_{k-1}(x)={\frac {Q'_{m}(x)}{L_{m-k}(x)}}-V'_{k}(x)}
(6.105)
многочлен степени
k
−
1
{\displaystyle k-1}
[ 3] .
Теперь, воспользовавшись методом неопределённых коэффициентов, можно получить выражения для
K
s
(
x
)
{\displaystyle K_{s}(x)}
и
U
t
(
x
)
{\displaystyle U_{t}(x)}
. Интеграл
∫
U
t
(
x
)
V
k
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int {\frac {U_{t}(x)}{V_{k}(x)}}\,dx}
взять уже гораздо проще: в знаменателе будут только простые корни и, следовательно, можно воспользоваться специальным методом разложения, упрощающим вычисления (подробности см. в Дополнении).
Рассмотрим пример на применение метода Остроградского.
Пример 6.11. Найти интеграл:
∫
x
2
−
3
x
+
5
(
x
−
1
)
2
(
x
−
2
)
(
x
2
−
x
+
1
)
2
d
x
.
{\displaystyle \int {\frac {x^{2}-3x+5}{(x-1)^{2}(x-2)(x^{2}-x+1)^{2}}}\,dx.}
(6.106)
Решение. Для нахождения этого интеграла воспользуемся методом Остроградского. Здесь мы имеем
Q
7
(
x
)
=
(
x
−
1
)
2
(
x
−
2
)
(
x
2
−
x
+
1
)
2
=
x
7
−
6
x
6
+
16
x
5
−
26
x
4
+
28
x
3
−
20
x
2
+
9
x
−
2
{\displaystyle Q_{7}(x)=(x-1)^{2}(x-2)(x^{2}-x+1)^{2}=x^{7}-6x^{6}+16x^{5}-26x^{4}+28x^{3}-20x^{2}+9x-2}
,
P
2
(
x
)
=
x
2
−
3
x
+
5
{\displaystyle P_{2}(x)=x^{2}-3x+5}
. Найдём производную от знаменателя:
Q
7
′
(
x
)
=
7
x
6
−
36
x
5
+
80
x
4
−
104
x
3
+
84
x
2
−
40
x
+
9.
{\displaystyle Q'_{7}(x)=7x^{6}-36x^{5}+80x^{4}-104x^{3}+84x^{2}-40x+9.}
(6.107)
Теперь найдём НОД
Q
7
(
x
)
{\displaystyle Q_{7}(x)}
и
Q
7
′
(
x
)
{\displaystyle Q'_{7}(x)}
. Для этого «столбиком» разделим
Q
7
(
x
)
{\displaystyle Q_{7}(x)}
на
Q
7
′
(
x
)
{\displaystyle Q'_{7}(x)}
, получим
1
7
x
−
6
49
{\displaystyle {\frac {1}{7}}x-{\frac {6}{49}}}
как целую часть и
1
49
(
8
x
5
−
66
x
4
+
160
x
3
−
196
x
2
+
138
x
−
44
)
{\displaystyle {\frac {1}{49}}(8x^{5}-66x^{4}+160x^{3}-196x^{2}+138x-44)}
в остатке. Поделим теперь
Q
7
′
(
x
)
{\displaystyle Q'_{7}(x)}
на первый остаток, получим целую часть —
343
8
x
+
4263
32
{\displaystyle {\frac {343}{8}}x+{\frac {4263}{32}}}
и второй остаток —
1
16
(
1911
x
4
−
5880
x
3
+
7938
x
2
−
6027
x
+
2058
)
{\displaystyle {\frac {1}{16}}(1911x^{4}-5880x^{3}+7938x^{2}-6027x+2058)}
. Теперь поделим первый остаток на второй: целая часть —
128
93
639
x
−
8
608
1
217
307
{\displaystyle {\frac {128}{93\,639}}x-{\frac {8\,608}{1\,217\,307}}}
и третий остаток —
−
96
8
281
(
x
3
+
2
x
2
−
2
x
+
1
)
{\displaystyle -{\frac {96}{8\,281}}(x^{3}+2x^{2}-2x+1)}
. Поделив второй остаток на третий, получим только целую часть —
−
5
274
997
512
x
+
2
840
383
256
{\displaystyle -{\frac {5\,274\,997}{512}}x+{\frac {2\,840\,383}{256}}}
, следовательно, по алгоритму Евклида многочлен
L
3
(
x
)
=
−
96
8
281
(
x
3
+
2
x
2
−
2
x
+
1
)
=
−
96
8
281
(
x
−
1
)
(
x
2
−
x
+
1
)
{\displaystyle L_{3}(x)=-{\frac {96}{8\,281}}(x^{3}+2x^{2}-2x+1)=-{\frac {96}{8\,281}}(x-1)(x^{2}-x+1)}
(6.108)
является кубическим многочленом. Значит в трансцендентную часть входят логарифмы и арктангенс.
Поделив
Q
7
(
x
)
{\displaystyle Q_{7}(x)}
на
L
3
(
x
)
{\displaystyle L_{3}(x)}
, получим:
V
4
(
x
)
=
−
8
281
96
(
x
4
−
4
x
3
+
6
x
2
−
5
x
+
2
)
=
−
8
281
96
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
(
x
2
−
x
+
1
)
.
{\displaystyle V_{4}(x)=-{\frac {8\,281}{96}}(x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-5x+2)=-{\frac {8\,281}{96}}(x-1)(x-2)(x^{2}-x+1).}
(6.109)
Таким образом, мы имеем всё, что нужно для определения коэффициентов у
K
2
(
x
)
{\displaystyle K_{2}(x)}
и
U
3
(
x
)
{\displaystyle U_{3}(x)}
, причём из-за того, что в трансцендентной части легко получить разложение на простые дроби, то в принципе
U
3
(
x
)
{\displaystyle U_{3}(x)}
можно не искать, а сразу определять коэффициенты при простых дробях.
Итак, согласно (6.88 ) мы имеем[ 4] :
∫
x
2
−
3
x
+
5
(
x
−
1
)
2
(
x
−
2
)
(
x
2
−
x
+
1
)
2
d
x
=
A
x
2
+
B
x
+
C
(
x
−
1
)
(
x
2
−
x
+
1
)
+
∫
U
3
(
x
)
d
x
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
(
x
2
−
x
+
1
)
.
{\displaystyle \int {\frac {x^{2}-3x+5}{(x-1)^{2}(x-2)(x^{2}-x+1)^{2}}}\,dx={\frac {Ax^{2}+Bx+C}{(x-1)(x^{2}-x+1)}}+\int {\frac {U_{3}(x)\,dx}{(x-1)(x-2)(x^{2}-x+1)}}.}
(6.110)
В свою очереди интеграл от трансцендентной части можно разбить на простые дроби с неизвестными коэффициентами:
∫
x
2
−
3
x
+
5
(
x
−
1
)
2
(
x
−
2
)
(
x
2
−
x
+
1
)
2
d
x
=
A
x
2
+
B
x
+
C
(
x
−
1
)
(
x
2
−
x
+
1
)
+
∫
E
d
x
x
−
1
+
∫
F
d
x
x
−
2
+
∫
M
x
+
N
x
2
−
x
+
1
d
x
.
{\displaystyle \int {\frac {x^{2}-3x+5}{(x-1)^{2}(x-2)(x^{2}-x+1)^{2}}}\,dx={\frac {Ax^{2}+Bx+C}{(x-1)(x^{2}-x+1)}}+\int {\frac {E\,dx}{x-1}}+\int {\frac {F\,dx}{x-2}}+\int {\frac {Mx+N}{x^{2}-x+1}}\,dx.}
(6.111)
Продифференцируем равенство (6.111 ):
x
2
−
3
x
+
5
(
x
−
1
)
2
(
x
−
2
)
(
x
2
−
x
+
1
)
2
d
x
=
{\displaystyle {\frac {x^{2}-3x+5}{(x-1)^{2}(x-2)(x^{2}-x+1)^{2}}}\,dx=}
(6.112)
=
−
A
x
4
−
2
B
x
3
+
(
2
A
+
2
B
−
3
C
)
x
2
+
(
−
2
A
+
4
C
)
x
−
B
−
2
C
(
x
−
1
)
2
(
x
2
−
x
+
1
)
2
+
{\displaystyle ={\frac {-Ax^{4}-2Bx^{3}+(2A+2B-3C)x^{2}+(-2A+4C)x-B-2C}{(x-1)^{2}(x^{2}-x+1)^{2}}}+}
+
E
x
−
1
+
F
x
−
2
+
M
x
+
N
x
2
−
x
+
1
.
{\displaystyle +{\frac {E}{x-1}}+{\frac {F}{x-2}}+{\frac {Mx+N}{x^{2}-x+1}}.}
Теперь умножим на
(
x
−
1
)
2
(
x
−
2
)
(
x
2
−
x
+
1
)
2
{\displaystyle (x-1)^{2}(x-2)(x^{2}-x+1)^{2}}
, раскроем скобки и приведём подобные. После этого приравняем коэффициенты при равных степенях, получим систему линейных уравнений относительно интересующих нас коэффициентов:
x
6
:
x
5
:
x
4
:
x
3
:
x
2
:
x
1
:
x
0
:
{
E
+
F
+
M
=
0
;
−
5
M
−
5
E
−
4
F
−
A
+
N
=
0
;
−
2
B
+
2
A
+
11
E
−
5
N
+
8
F
+
10
M
=
0
;
10
N
−
10
F
−
3
C
+
2
A
+
6
B
−
11
M
−
15
E
=
0
;
10
C
+
7
M
+
13
E
−
4
B
−
11
N
−
6
A
+
8
F
=
1
;
−
2
M
+
4
A
−
10
C
−
B
+
7
N
−
7
E
−
4
F
=
−
3
;
−
2
N
+
2
E
+
F
+
2
B
+
4
C
=
5
;
{\displaystyle {\begin{array}{r}x^{6}:\\x^{5}:\\x^{4}:\\x^{3}:\\x^{2}:\\x^{1}:\\x^{0}:\end{array}}\;\;\left\{{\begin{array}{l}E+F+M=0;\\-5M-5E-4F-A+N=0;\\-2B+2A+11E-5N+8F+10M=0;\\10N-10F-3C+2A+6B-11M-15E=0;\\10C+7M+13E-4B-11N-6A+8F=1;\\-2M+4A-10C-B+7N-7E-4F=-3;\\-2N+2E+F+2B+4C=5;\end{array}}\right.}
(6.112)
Решая это систему линейных уравнений, найдём:
A
=
11
3
,
B
=
−
3
,
C
=
7
3
,
E
=
4
,
F
=
1
3
,
M
=
−
13
3
,
N
=
10
3
.
{\displaystyle A={\frac {11}{3}},\;B=-3,\;C={\frac {7}{3}},\;E=4,\;F={\frac {1}{3}},\;M=-{\frac {13}{3}},\;N={\frac {10}{3}}.}
(6.113)
Подставляя эти значения в (6.111 ), будем иметь:
∫
x
2
−
3
x
+
5
(
x
−
1
)
2
(
x
−
2
)
(
x
2
−
x
+
1
)
2
d
x
=
{\displaystyle \int {\frac {x^{2}-3x+5}{(x-1)^{2}(x-2)(x^{2}-x+1)^{2}}}\,dx=}
(6.114)
=
1
3
11
x
2
−
9
x
+
7
(
x
−
1
)
(
x
2
−
x
+
1
)
+
4
∫
d
x
x
−
1
+
1
3
∫
d
x
x
−
2
−
1
3
∫
13
x
−
10
x
2
−
x
+
1
d
x
.
{\displaystyle ={\frac {1}{3}}{\frac {11x^{2}-9x+7}{(x-1)(x^{2}-x+1)}}+4\int {\frac {dx}{x-1}}+{\frac {1}{3}}\int {\frac {dx}{x-2}}-{\frac {1}{3}}\int {\frac {13x-10}{x^{2}-x+1}}\,dx.}
Теперь можно взять интегралы в правой части известными методами:
4
∫
d
x
x
−
1
=
4
ln
|
x
−
1
|
+
C
;
1
3
∫
d
x
x
−
2
=
1
3
ln
|
x
−
2
|
+
C
;
{\displaystyle 4\int {\frac {dx}{x-1}}=4\ln |x-1|+C;\quad {\frac {1}{3}}\int {\frac {dx}{x-2}}={\frac {1}{3}}\ln |x-2|+C;}
(6.115)
−
1
3
∫
−
13
x
+
10
x
2
−
x
+
1
d
x
=
−
13
6
ln
(
x
2
−
x
+
1
)
+
7
3
9
a
r
c
t
g
3
3
(
2
x
−
1
)
+
C
.
{\displaystyle -{\frac {1}{3}}\int {\frac {-13x+10}{x^{2}-x+1}}\,dx=-{\frac {13}{6}}\ln(x^{2}-x+1)+{\frac {7{\sqrt {3}}}{9}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {\sqrt {3}}{3}}(2x-1)+C.}
Окончательно получим[ 5] :
∫
x
2
−
3
x
+
5
(
x
−
1
)
2
(
x
−
2
)
(
x
2
−
x
+
1
)
2
d
x
=
{\displaystyle \int {\frac {x^{2}-3x+5}{(x-1)^{2}(x-2)(x^{2}-x+1)^{2}}}\,dx=}
(6.116)
=
1
3
11
x
2
−
9
x
+
7
(
x
−
1
)
(
x
2
−
x
+
1
)
+
4
ln
|
x
−
1
|
+
1
3
ln
|
x
−
2
|
−
13
6
ln
(
x
2
−
x
+
1
)
+
7
3
9
a
r
c
t
g
3
3
(
2
x
−
1
)
+
C
.
{\displaystyle ={\frac {1}{3}}{\frac {11x^{2}-9x+7}{(x-1)(x^{2}-x+1)}}+4\ln |x-1|+{\frac {1}{3}}\ln |x-2|-{\frac {13}{6}}\ln(x^{2}-x+1)+{\frac {7{\sqrt {3}}}{9}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {\sqrt {3}}{3}}(2x-1)+C.}
Приведём теперь описание ещё одного метода выделения алгебраической части интеграла от правильной рациональной дроби. Этот метод был предложен Ш. Эрмитом (1822—1901).
Пусть
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
{\displaystyle {\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}}
(
n
<
m
{\displaystyle n<m}
) — правильная рациональная дробь. Считаем, что дробь несократимая, то есть многочлены
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
и
Q
m
(
x
)
{\displaystyle Q_{m}(x)}
взаимно простые. Также положим, что коэффициенты при старших степенях равны единице.
Вновь рассмотрим представление вещественного многочлена в виде произведения линейных полиномов:
Q
m
(
x
)
=
∏
i
=
1
m
(
x
−
x
i
)
,
{\displaystyle Q_{m}(x)=\prod _{i=1}^{m}(x-x_{i}),}
(6.117)
где
x
i
∈
C
{\displaystyle x_{i}\in \mathbb {C} }
— корень многочлена (если он кратный, то считаем его несколько раз).
Если перегруппировать в представлении (6.117 ) сомножители, то это выражение можно переписать так:
Q
m
(
x
)
=
V
1
(
x
)
V
2
2
(
x
)
V
3
3
(
x
)
…
V
k
k
(
x
)
,
{\displaystyle Q_{m}(x)=V_{1}(x)V_{2}^{2}(x)V_{3}^{3}(x)\ldots V_{k}^{k}(x),}
(6.118)
где
V
1
(
x
)
,
V
2
(
x
)
,
…
,
V
k
(
x
)
{\displaystyle V_{1}(x),\;V_{2}(x),\;\ldots ,\;V_{k}(x)}
— многочлены, содержащие линейные множители и не имеющие попарно никаких общих множителей. На множестве действительных чисел
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
эти многочлены могут содержать множители вида
x
2
+
p
x
+
q
{\displaystyle x^{2}+px+q}
, где
4
q
−
p
2
>
0
{\displaystyle 4q-p^{2}>0}
.
Значит дробь
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
{\displaystyle {\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}}
можно представить в виде:
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
=
P
n
(
x
)
V
1
(
x
)
V
2
2
(
x
)
V
3
3
(
x
)
…
V
k
k
(
x
)
=
U
1
(
x
)
V
1
(
x
)
+
U
2
(
x
)
V
2
2
(
x
)
+
…
+
U
k
(
x
)
V
k
k
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}={\frac {P_{n}(x)}{V_{1}(x)V_{2}^{2}(x)V_{3}^{3}(x)\ldots V_{k}^{k}(x)}}={\frac {U_{1}(x)}{V_{1}(x)}}+{\frac {U_{2}(x)}{V_{2}^{2}(x)}}+\ldots +{\frac {U_{k}(x)}{V_{k}^{k}(x)}},}
(6.119)
где многочлены
U
i
(
x
)
{\displaystyle U_{i}(x)}
взаимно просты с
V
i
(
x
)
{\displaystyle V_{i}(x)}
(
i
=
1
,
2
,
…
,
k
{\displaystyle i=1,\;2,\;\ldots ,\;k}
).
Докажем это.
Доказательство формулы (6.119)
Многочлены
V
1
(
x
)
{\displaystyle V_{1}(x)}
и
V
2
2
(
x
)
V
3
3
(
x
)
…
V
k
k
(
x
)
{\displaystyle V_{2}^{2}(x)V_{3}^{3}(x)\ldots V_{k}^{k}(x)}
взаимно просты, так как все они попарно взаимно просты, и произведение простых множителей также взаимно просто. Воспользуемся
соотношением Безу для этих полиномов. Так как полиномы взаимно просты, то имеет место следующее равенство:
W
(
x
)
V
1
(
x
)
+
U
1
(
x
)
V
2
2
(
x
)
V
3
3
(
x
)
…
V
k
k
(
x
)
=
P
n
(
x
)
,
{\displaystyle W(x)V_{1}(x)+U_{1}(x)V_{2}^{2}(x)V_{3}^{3}(x)\ldots V_{k}^{k}(x)=P_{n}(x),}
(6.120)
где
W
(
x
)
,
U
1
(
x
)
{\displaystyle W(x),\;U_{1}(x)}
— многочлены, степени которых меньше
V
2
2
(
x
)
V
3
3
(
x
)
…
V
k
k
(
x
)
{\displaystyle V_{2}^{2}(x)V_{3}^{3}(x)\ldots V_{k}^{k}(x)}
и
V
1
(
x
)
{\displaystyle V_{1}(x)}
соответственно. Для поиска этих многочленов можно использовать метод неопределённых коэффициентов.
Теперь поделим на
Q
m
(
x
)
=
V
1
(
x
)
V
2
2
(
x
)
V
3
3
(
x
)
…
V
k
k
(
x
)
{\displaystyle Q_{m}(x)=V_{1}(x)V_{2}^{2}(x)V_{3}^{3}(x)\ldots V_{k}^{k}(x)}
:
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
=
W
(
x
)
V
1
(
x
)
V
1
(
x
)
V
2
2
(
x
)
V
3
3
(
x
)
…
V
k
k
(
x
)
+
U
1
(
x
)
V
2
2
(
x
)
V
3
3
(
x
)
…
V
k
k
(
x
)
V
1
(
x
)
V
2
2
(
x
)
V
3
3
(
x
)
…
V
k
k
(
x
)
=
{\displaystyle {\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}={\frac {W(x)V_{1}(x)}{V_{1}(x)V_{2}^{2}(x)V_{3}^{3}(x)\ldots V_{k}^{k}(x)}}+{\frac {U_{1}(x)V_{2}^{2}(x)V_{3}^{3}(x)\ldots V_{k}^{k}(x)}{V_{1}(x)V_{2}^{2}(x)V_{3}^{3}(x)\ldots V_{k}^{k}(x)}}=}
(6.121)
=
W
(
x
)
V
2
2
(
x
)
V
3
3
(
x
)
…
V
k
k
(
x
)
+
U
1
(
x
)
V
1
(
x
)
.
{\displaystyle ={\frac {W(x)}{V_{2}^{2}(x)V_{3}^{3}(x)\ldots V_{k}^{k}(x)}}+{\frac {U_{1}(x)}{V_{1}(x)}}.}
Многочлен
U
1
(
x
)
{\displaystyle U_{1}(x)}
имеет степень, меньшую, чем у
V
1
(
x
)
{\displaystyle V_{1}(x)}
, а
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
— меньшую, чем у
V
2
2
(
x
)
V
3
3
(
x
)
…
V
k
k
(
x
)
{\displaystyle V_{2}^{2}(x)V_{3}^{3}(x)\ldots V_{k}^{k}(x)}
, при этом
U
1
(
x
)
{\displaystyle U_{1}(x)}
и
V
1
(
x
)
{\displaystyle V_{1}(x)}
взаимно просты, аналогично,
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
и
V
2
2
(
x
)
V
3
3
(
x
)
…
V
k
k
(
x
)
{\displaystyle V_{2}^{2}(x)V_{3}^{3}(x)\ldots V_{k}^{k}(x)}
взаимно просты.
Применяя те же рассуждения к
V
2
2
(
x
)
{\displaystyle V_{2}^{2}(x)}
и
V
3
3
(
x
)
…
V
k
k
(
x
)
{\displaystyle V_{3}^{3}(x)\ldots V_{k}^{k}(x)}
, получим формулу (
6.119 ).
Из разложения (6.119 ) следует, что нам нужно научиться выделять рациональную часть у интегралов вида:
∫
U
(
x
)
[
V
(
x
)
]
k
d
x
,
{\displaystyle \int {\frac {U(x)}{[V(x)]^{k}}}\,dx,}
(6.122)
где степень
U
(
x
)
{\displaystyle U(x)}
меньше степени
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
и они взаимно просты. Так как у многочлена
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
все корни различны, то он и его производная будут взаимно просты[ 6] . Если
k
=
1
{\displaystyle k=1}
, то интеграл берётся непосредственно разложением на простые дроби. Это легко сделать, потому что у
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
все корни простые. Исследуем случай, когда
k
>
1
{\displaystyle k>1}
.
Применим снова соотношение Безу к
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
и его производной
V
′
(
x
)
{\displaystyle V'(x)}
:
M
(
x
)
V
(
x
)
+
N
(
x
)
V
′
(
x
)
=
U
(
x
)
{\displaystyle M(x)V(x)+N(x)V'(x)=U(x)}
[ 7] (6.123)
и подставим его в (6.122 ):
∫
U
(
x
)
[
V
(
x
)
]
k
d
x
=
∫
M
(
x
)
V
(
x
)
+
N
(
x
)
V
′
(
x
)
[
V
(
x
)
]
k
d
x
=
∫
M
(
x
)
[
V
(
x
)
]
k
−
1
d
x
+
∫
N
(
x
)
V
′
(
x
)
[
V
(
x
)
]
k
d
x
.
{\displaystyle \int {\frac {U(x)}{[V(x)]^{k}}}\,dx=\int {\frac {M(x)V(x)+N(x)V'(x)}{[V(x)]^{k}}}\,dx=\int {\frac {M(x)}{[V(x)]^{k-1}}}\,dx+\int {\frac {N(x)V'(x)}{[V(x)]^{k}}}\,dx.}
(6.124)
Проинтегрируем по частям для второе слагаемое, положив
u
=
N
(
x
)
{\displaystyle u=N(x)}
и
d
v
=
V
′
(
x
)
[
V
(
x
)
]
k
d
x
{\displaystyle dv={\frac {V'(x)}{[V(x)]^{k}}}\,dx}
, тогда
d
u
=
N
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle du=N'(x)\,dx}
, а
v
=
∫
V
′
(
x
)
[
V
(
x
)
]
k
d
x
=
d
[
V
(
x
)
]
[
V
(
x
)
]
k
=
−
1
(
k
−
1
)
[
V
(
x
)
]
k
−
1
{\displaystyle v=\int {\frac {V'(x)}{[V(x)]^{k}}}\,dx={\frac {d[V(x)]}{[V(x)]^{k}}}=-{\frac {1}{(k-1)[V(x)]^{k-1}}}}
. Подставив эти выражения в (6.124 ), будем иметь:
∫
M
(
x
)
[
V
(
x
)
]
k
−
1
d
x
+
∫
N
(
x
)
V
′
(
x
)
[
V
(
x
)
]
k
d
x
=
∫
M
(
x
)
[
V
(
x
)
]
k
−
1
d
x
−
N
(
x
)
(
k
−
1
)
[
V
(
x
)
]
k
−
1
+
1
k
−
1
∫
N
′
(
x
)
[
V
(
x
)
]
k
−
1
d
x
.
{\displaystyle \int {\frac {M(x)}{[V(x)]^{k-1}}}\,dx+\int {\frac {N(x)V'(x)}{[V(x)]^{k}}}\,dx=\int {\frac {M(x)}{[V(x)]^{k-1}}}\,dx-{\frac {N(x)}{(k-1)[V(x)]^{k-1}}}+{\frac {1}{k-1}}\int {\frac {N'(x)}{[V(x)]^{k-1}}}\,dx.}
(6.125)
Объединяя первое и третье слагаемое в один интеграл, получим:
∫
U
(
x
)
[
V
(
x
)
]
k
d
x
=
−
N
(
x
)
(
k
−
1
)
[
V
(
x
)
]
k
−
1
+
∫
T
(
x
)
[
V
(
x
)
]
k
−
1
d
x
,
{\displaystyle \int {\frac {U(x)}{[V(x)]^{k}}}\,dx=-{\frac {N(x)}{(k-1)[V(x)]^{k-1}}}+\int {\frac {T(x)}{[V(x)]^{k-1}}}\,dx,}
(6.126)
где
T
(
x
)
=
M
(
x
)
+
N
′
(
x
)
k
−
1
{\displaystyle T(x)=M(x)+{\frac {N'(x)}{k-1}}}
.
Если
k
>
2
{\displaystyle k>2}
, то к интегралу
∫
T
(
x
)
[
V
(
x
)
]
k
−
1
d
x
{\displaystyle \int {\frac {T(x)}{[V(x)]^{k-1}}}\,dx}
можно снова применить описанный, выше метод. Продолжая дальше, мы в конечном итоге получим:
∫
U
(
x
)
[
V
(
x
)
]
k
d
x
=
R
(
x
)
+
∫
φ
(
x
)
V
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle \int {\frac {U(x)}{[V(x)]^{k}}}\,dx=R(x)+\int {\frac {\varphi (x)}{V(x)}}\,dx,}
(6.127)
где
R
(
x
)
{\displaystyle R(x)}
— рациональная функция,
φ
(
x
)
{\displaystyle \varphi (x)}
— многочлен, степень которого меньше степени
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
, при этом он может быть и не взаимно простым с
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
. Интеграл в правой части вычислить уже легче, так как он содержит только простые корни.
Рассмотрим теперь пример.
Пример 6.12. Найти интеграл:
∫
x
5
+
35
x
4
−
234
x
3
+
566
x
2
−
511
x
+
63
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
2
(
x
2
−
2
x
+
5
)
2
d
x
.
{\displaystyle \int {\frac {x^{5}+35x^{4}-234x^{3}+566x^{2}-511x+63}{(x-2)(x+1)^{2}(x^{2}-2x+5)^{2}}}\,dx.}
(6.128)
Решение. В соответствии с методом Эрмита представим знаменатель дроби в виде:
Q
(
x
)
=
V
1
(
x
)
⋅
V
2
2
(
x
)
,
{\displaystyle Q(x)=V_{1}(x)\cdot V_{2}^{2}(x),}
(6.129)
где
V
1
(
x
)
=
x
−
2
,
V
2
(
x
)
=
(
x
+
1
)
(
x
2
−
2
x
+
5
)
{\displaystyle V_{1}(x)=x-2,\;V_{2}(x)=(x+1)(x^{2}-2x+5)}
.
Значит, подынтегральное выражение можно разбить на две дроби:
x
5
+
35
x
4
−
234
x
3
+
566
x
2
−
511
x
+
63
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
2
(
x
2
−
2
x
+
5
)
2
=
A
x
−
2
+
B
5
x
5
+
B
4
x
4
+
B
3
x
3
+
B
2
x
2
+
B
1
x
+
B
0
[
(
x
+
1
)
(
x
2
−
2
x
+
5
)
]
2
.
{\displaystyle {\frac {x^{5}+35x^{4}-234x^{3}+566x^{2}-511x+63}{(x-2)(x+1)^{2}(x^{2}-2x+5)^{2}}}={\frac {A}{x-2}}+{\frac {B_{5}x^{5}+B_{4}x^{4}+B_{3}x^{3}+B_{2}x^{2}+B_{1}x+B_{0}}{[(x+1)(x^{2}-2x+5)]^{2}}}.}
(6.130)
Методом неопределённых коэффициентов найдём:
A
=
1
9
,
B
5
=
−
1
9
,
B
4
=
1
,
B
3
=
326
9
,
B
2
=
162
,
B
1
=
2
179
9
,
B
0
=
271
9
.
{\displaystyle A={\frac {1}{9}},\;B_{5}=-{\frac {1}{9}},\;B_{4}=1,\;B_{3}={\frac {326}{9}},\;B_{2}=162,\;B_{1}={\frac {2\,179}{9}},\;B_{0}={\frac {271}{9}}.}
(6.131)
Итак, исходный интеграл можно представить в виде суммы двух:
∫
x
5
+
35
x
4
−
234
x
3
+
566
x
2
−
511
x
+
63
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
2
(
x
2
−
2
x
+
5
)
2
d
x
=
{\displaystyle \int {\frac {x^{5}+35x^{4}-234x^{3}+566x^{2}-511x+63}{(x-2)(x+1)^{2}(x^{2}-2x+5)^{2}}}\,dx=}
(6.132)
1
9
∫
d
x
x
−
2
−
1
9
∫
x
5
−
9
x
4
−
326
x
3
+
1
458
x
2
−
2
179
x
+
271
[
(
x
+
1
)
(
x
2
−
2
x
+
5
)
]
2
d
x
.
{\displaystyle {\frac {1}{9}}\int {\frac {dx}{x-2}}-{\frac {1}{9}}\int {\frac {x^{5}-9x^{4}-326x^{3}+1\,458x^{2}-2\,179x+271}{[(x+1)(x^{2}-2x+5)]^{2}}}\,dx.}
Первое слагаемое легко интегрируется:
1
9
∫
d
x
x
−
2
=
1
9
ln
|
x
−
2
|
+
C
.
{\displaystyle {\frac {1}{9}}\int {\frac {dx}{x-2}}={\frac {1}{9}}\ln |x-2|+C.}
(6.133)
Для второго интеграла будем использовать метод Эрмита. Найдём производную многочлена
V
2
(
x
)
{\displaystyle V_{2}(x)}
:
V
2
′
(
x
)
=
3
x
2
−
2
x
+
3.
{\displaystyle V'_{2}(x)=3x^{2}-2x+3.}
(6.134)
Подберём два таких многочлена, чтобы выполнялось соотношение Безу (6.123 ):
N
(
x
)
V
2
(
x
)
+
M
(
x
)
V
2
′
(
x
)
=
W
(
x
)
;
{\displaystyle N(x)V_{2}(x)+M(x)V'_{2}(x)=W(x);}
(6.135)
(
N
1
x
+
N
0
)
(
x
3
−
x
2
+
3
x
+
5
)
+
(
M
2
x
2
+
M
1
x
+
M
0
)
(
3
x
2
−
2
x
+
3
)
=
x
5
−
9
x
4
−
326
x
3
+
1
458
x
2
−
2
179
x
+
271.
{\displaystyle (N_{1}x+N_{0})(x^{3}-x^{2}+3x+5)+(M_{2}x^{2}+M_{1}x+M_{0})(3x^{2}-2x+3)=x^{5}-9x^{4}-326x^{3}+1\,458x^{2}-2\,179x+271.}
Так как степень многочлена, стоящего справа выше стоящего слева, то для определения неизвестных коэффициентов мы получаем переопределённую систему линейных уравнений, чтобы это исправить разделим многочлен
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
на произведение
V
2
(
x
)
V
2
′
(
x
)
{\displaystyle V_{2}(x)V'_{2}(x)}
, в результате получим, что
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
можно записать как:
W
(
x
)
=
Q
(
x
)
V
2
(
x
)
V
2
′
(
x
)
+
R
(
x
)
;
{\displaystyle W(x)=Q(x)V_{2}(x)V'_{2}(x)+R(x);}
(6.136)
W
(
x
)
=
1
3
(
x
3
−
x
2
+
3
x
+
5
)
(
3
x
2
−
2
x
+
3
)
−
2
3
(
11
x
4
+
496
x
3
−
2184
x
2
+
3268
x
−
399
)
.
{\displaystyle W(x)={\frac {1}{3}}(x^{3}-x^{2}+3x+5)(3x^{2}-2x+3)-{\frac {2}{3}}(11x^{4}+496x^{3}-2184x^{2}+3268x-399).}
Рассмотрим теперь новое соотношение:
(
N
1
′
x
+
N
0
′
)
(
x
3
−
x
2
+
3
x
+
5
)
+
(
M
2
x
2
+
M
1
x
+
M
0
)
(
3
x
2
−
2
x
+
3
)
=
−
2
3
(
11
x
4
+
496
x
3
−
2184
x
2
+
3268
x
−
399
)
,
{\displaystyle (N'_{1}x+N'_{0})(x^{3}-x^{2}+3x+5)+(M_{2}x^{2}+M_{1}x+M_{0})(3x^{2}-2x+3)=-{\frac {2}{3}}(11x^{4}+496x^{3}-2184x^{2}+3268x-399),}
(6.137)
где
N
′
(
x
)
=
N
1
′
x
+
N
0
′
{\displaystyle N'(x)=N'_{1}x+N'_{0}}
— новые многочлен с неизвестными коэффициентами.
Таким образом, мы пришли к линейной системе, где количество неизвестных равно количеству уравнений, относительно этих неизвестных.
Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим следующую систему линейных уравнений:
x
4
:
x
3
:
x
2
:
x
1
:
x
0
:
{
N
1
′
+
3
M
2
=
−
22
3
;
−
N
1
′
+
N
0
′
−
2
M
2
+
3
M
1
=
−
992
3
;
3
N
1
′
−
N
0
′
+
3
M
2
−
2
M
1
+
3
M
0
=
1
456
;
5
N
1
′
+
3
N
0
′
+
3
M
1
−
2
M
0
=
−
6
536
3
;
5
N
0
′
+
3
M
0
=
266
;
{\displaystyle {\begin{array}{r}x^{4}:\\x^{3}:\\x^{2}:\\x^{1}:\\x^{0}:\end{array}}\;\;\left\{{\begin{array}{l}N'_{1}+3M_{2}=-{\frac {22}{3}};\\-N'_{1}+N'_{0}-2M_{2}+3M_{1}=-{\frac {992}{3}};\\3N'_{1}-N'_{0}+3M_{2}-2M_{1}+3M_{0}=1\,456;\\5N'_{1}+3N'_{0}+3M_{1}-2M_{0}=-{\frac {6\,536}{3}};\\5N'_{0}+3M_{0}=266;\end{array}}\right.}
(6.138)
Решением системы будут следующие коэффициенты:
N
1
′
=
−
292
3
,
N
0
′
=
−
215
,
M
2
=
30
,
M
1
=
−
51
,
M
0
=
447.
{\displaystyle N'_{1}=-{\frac {292}{3}},\;N'_{0}=-215,\;M_{2}=30,\;M_{1}=-51,\;M_{0}=447.}
(6.139)
Теперь нужно вернуться к выражению (6.135 ). Для этого сделаем замену
N
(
x
)
=
N
′
(
x
)
+
Q
(
x
)
V
2
′
(
x
)
{\displaystyle N(x)=N'(x)+Q(x)V'_{2}(x)}
. Таким образом, получаем, что:
N
(
x
)
=
x
2
−
98
x
−
214
,
M
(
x
)
=
30
x
2
−
51
x
+
447.
{\displaystyle N(x)=x^{2}-98x-214,\quad M(x)=30x^{2}-51x+447.}
(6.140)
Итак, по методу Эрмита второй интеграл в правой части выражения (6.132 ) можно разбить на два интеграла следующим образом:
−
1
9
∫
x
5
−
9
x
4
−
326
x
3
+
1
458
x
2
−
2
179
x
+
271
[
(
x
+
1
)
(
x
2
−
2
x
+
5
)
]
2
d
x
=
{\displaystyle -{\frac {1}{9}}\int {\frac {x^{5}-9x^{4}-326x^{3}+1\,458x^{2}-2\,179x+271}{[(x+1)(x^{2}-2x+5)]^{2}}}\,dx=}
(6.141)
=
−
1
9
∫
x
2
−
98
x
−
214
(
x
+
1
)
(
x
2
−
2
x
+
5
)
d
x
−
1
9
∫
(
30
x
2
−
51
x
+
447
)
(
3
x
2
−
2
x
+
3
)
[
(
x
+
1
)
(
x
2
−
2
x
+
5
)
]
2
d
x
.
{\displaystyle =-{\frac {1}{9}}\int {\frac {x^{2}-98x-214}{(x+1)(x^{2}-2x+5)}}\,dx-{\frac {1}{9}}\int {\frac {(30x^{2}-51x+447)(3x^{2}-2x+3)}{[(x+1)(x^{2}-2x+5)]^{2}}}\,dx.}
Разбивая интеграл в первом слагаемом на части получим:
−
1
9
∫
x
2
−
98
x
−
214
(
x
+
1
)
(
x
2
−
2
x
+
5
)
d
x
=
115
72
∫
d
x
x
+
1
−
1
24
∫
41
x
−
379
x
2
−
2
x
+
5
d
x
.
{\displaystyle -{\frac {1}{9}}\int {\frac {x^{2}-98x-214}{(x+1)(x^{2}-2x+5)}}\,dx={\frac {115}{72}}\int {\frac {dx}{x+1}}-{\frac {1}{24}}\int {\frac {41x-379}{x^{2}-2x+5}}\,dx.}
(6.142)
Беря интегралы, получаем:
−
1
9
∫
x
2
−
98
x
−
214
(
x
+
1
)
(
x
2
−
2
x
+
5
)
d
x
=
115
72
ln
|
x
+
1
|
−
41
48
ln
(
x
2
−
2
x
+
5
)
+
169
24
a
r
c
t
g
x
−
1
2
+
C
.
{\displaystyle -{\frac {1}{9}}\int {\frac {x^{2}-98x-214}{(x+1)(x^{2}-2x+5)}}\,dx={\frac {115}{72}}\ln |x+1|-{\frac {41}{48}}\ln(x^{2}-2x+5)+{\frac {169}{24}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x-1}{2}}+C.}
(6.143)
Ко второму слагаемому в (6.141 ) применим интегрирование по частям:
−
1
9
∫
(
30
x
2
−
51
x
+
447
)
(
3
x
2
−
2
x
+
3
)
[
(
x
+
1
)
(
x
2
−
2
x
+
5
)
]
2
d
x
=
{\displaystyle -{\frac {1}{9}}\int {\frac {(30x^{2}-51x+447)(3x^{2}-2x+3)}{[(x+1)(x^{2}-2x+5)]^{2}}}\,dx=}
(6.144)
=
1
9
30
x
2
−
51
x
+
447
(
x
+
1
)
(
x
2
−
2
x
+
5
)
−
1
9
∫
60
x
−
51
(
x
+
1
)
(
x
2
−
2
x
+
5
)
d
x
.
{\displaystyle ={\frac {1}{9}}{\frac {30x^{2}-51x+447}{(x+1)(x^{2}-2x+5)}}-{\frac {1}{9}}\int {\frac {60x-51}{(x+1)(x^{2}-2x+5)}}\,dx.}
Второе слагаемое можно разбить на простые дроби:
−
1
3
∫
20
x
−
17
(
x
+
1
)
(
x
2
−
2
x
+
5
)
d
x
=
37
24
∫
d
x
x
+
1
−
1
24
∫
37
x
+
49
(
x
+
1
)
(
x
2
−
2
x
+
5
)
d
x
.
{\displaystyle -{\frac {1}{3}}\int {\frac {20x-17}{(x+1)(x^{2}-2x+5)}}\,dx={\frac {37}{24}}\int {\frac {dx}{x+1}}-{\frac {1}{24}}\int {\frac {37x+49}{(x+1)(x^{2}-2x+5)}}\,dx.}
(6.145)
Вычислим интегралы:
−
1
3
∫
20
x
−
17
(
x
+
1
)
(
x
2
−
2
x
+
5
)
d
x
=
37
24
ln
|
x
+
1
|
−
37
48
ln
(
x
2
−
2
x
+
5
)
−
43
24
a
r
c
t
g
x
−
1
2
+
C
.
{\displaystyle -{\frac {1}{3}}\int {\frac {20x-17}{(x+1)(x^{2}-2x+5)}}\,dx={\frac {37}{24}}\ln |x+1|-{\frac {37}{48}}\ln(x^{2}-2x+5)-{\frac {43}{24}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x-1}{2}}+C.}
(6.146)
Чтобы получить окончательный ответ, сложим результаты интегрирования отдельных слагаемых тем, самым получая:
∫
x
5
+
35
x
4
−
234
x
3
+
566
x
2
−
511
x
+
63
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
2
(
x
2
−
2
x
+
5
)
2
d
x
=
1
9
ln
|
x
−
2
|
+
115
72
ln
|
x
+
1
|
−
41
48
ln
(
x
2
−
2
x
+
5
)
+
{\displaystyle \int {\frac {x^{5}+35x^{4}-234x^{3}+566x^{2}-511x+63}{(x-2)(x+1)^{2}(x^{2}-2x+5)^{2}}}\,dx={\frac {1}{9}}\ln |x-2|+{\frac {115}{72}}\ln |x+1|-{\frac {41}{48}}\ln(x^{2}-2x+5)+}
(6.147)
+
169
24
a
r
c
t
g
x
−
1
2
+
1
3
10
x
2
−
17
x
+
149
(
x
+
1
)
(
x
2
−
2
x
+
5
)
+
37
24
ln
|
x
+
1
|
−
37
48
ln
(
x
2
−
2
x
+
5
)
−
43
24
a
r
c
t
g
x
−
1
2
+
C
.
{\displaystyle +{\frac {169}{24}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x-1}{2}}+{\frac {1}{3}}{\frac {10x^{2}-17x+149}{(x+1)(x^{2}-2x+5)}}+{\frac {37}{24}}\ln |x+1|-{\frac {37}{48}}\ln(x^{2}-2x+5)-{\frac {43}{24}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x-1}{2}}+C.}
Приведя подобные, получим окончательный ответ:
∫
x
5
+
35
x
4
−
234
x
3
+
566
x
2
−
511
x
+
63
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
2
(
x
2
−
2
x
+
5
)
2
d
x
=
{\displaystyle \int {\frac {x^{5}+35x^{4}-234x^{3}+566x^{2}-511x+63}{(x-2)(x+1)^{2}(x^{2}-2x+5)^{2}}}\,dx=}
(6.148)
=
1
3
10
x
2
−
17
x
+
149
(
x
+
1
)
(
x
2
−
2
x
+
5
)
+
1
9
ln
|
x
−
2
|
+
113
36
ln
|
x
+
1
|
−
13
8
ln
(
x
2
−
2
x
+
5
)
+
21
24
a
r
c
t
g
x
−
1
2
+
C
.
{\displaystyle ={\frac {1}{3}}{\frac {10x^{2}-17x+149}{(x+1)(x^{2}-2x+5)}}+{\frac {1}{9}}\ln |x-2|+{\frac {113}{36}}\ln |x+1|-{\frac {13}{8}}\ln(x^{2}-2x+5)+{\frac {21}{24}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x-1}{2}}+C.}
Интегрирование рациональных дробей специального вида
править
Рациональные дроби специального вида можно интегрировать, применяя методы, основанные на специфичности данного интеграла. Рассмотри некоторые из них.
Интегрирование дробей вида:
∫
φ
(
x
)
x
n
d
x
,
n
∈
N
{\displaystyle \int {\frac {\varphi (x)}{x^{n}}}\,dx,\quad n\in \mathbb {N} }
(6.149)
где
φ
(
x
)
{\displaystyle \varphi (x)}
— многочлен (в общем случае, в его состав могут входить одночлены не только с натуральными показателями), проще проинтегрировать его как алгебраическую сумму после почленного деления:
∫
φ
(
x
)
x
n
d
x
=
∫
∑
i
=
1
m
a
i
x
s
i
d
x
x
n
=
∑
i
=
1
m
(
a
i
∫
x
s
i
−
n
d
x
)
=
∑
i
=
1
m
a
i
x
s
i
−
n
+
1
s
i
−
n
+
1
+
C
,
{\displaystyle \int {\frac {\varphi (x)}{x^{n}}}\,dx=\int \sum _{i=1}^{m}a_{i}x^{s_{i}}{\frac {dx}{x^{n}}}=\sum _{i=1}^{m}\left(a_{i}\int x^{s_{i}-n}\,dx\right)=\sum _{i=1}^{m}{\frac {a_{i}x^{s_{i}-n+1}}{s_{i}-n+1}}+C,}
(6.150)
где
a
i
∈
R
{\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} }
— действительный коэффициент,
s
i
{\displaystyle s_{i}}
— показатель степени одночлена (в общем случае,
s
i
∈
R
{\displaystyle s_{i}\in \mathbb {R} }
).
Очень часто при интегрировании таких выражений появляются члены вида
(
a
x
+
b
)
n
{\displaystyle (ax+b)^{n}}
(
a
,
b
∈
R
,
n
∈
N
{\displaystyle a,\;b\in \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N} }
). Их раскрывают, используя формулу бинома Ньютона .
Пример 6.12. Найти интеграл
∫
x
3
−
7
x
+
10
x
2
3
x
5
d
x
.
{\displaystyle \int {\frac {x^{3}-7{\sqrt {x}}+10{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}{x^{5}}}\,dx.}
(6.151)
Решение. Произведя почленное деление под знаком интеграла, получим:
∫
x
3
−
7
x
+
10
x
2
3
x
5
d
x
=
∫
x
3
−
7
x
1
2
+
10
x
2
3
x
5
d
x
=
∫
x
−
2
d
x
−
7
∫
x
−
9
2
d
x
+
10
∫
x
−
13
3
d
x
=
{\displaystyle \int {\frac {x^{3}-7{\sqrt {x}}+10{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}{x^{5}}}\,dx=\int {\frac {x^{3}-7x^{\frac {1}{2}}+10x^{\frac {2}{3}}}{x^{5}}}\,dx=\int x^{-2}\,dx-7\int x^{-{\frac {9}{2}}}\,dx+10\int x^{-{\frac {13}{3}}}\,dx=}
(6.152)
=
−
1
x
+
7
⋅
2
7
x
−
7
2
−
10
⋅
3
10
x
−
10
3
+
C
=
−
1
x
+
2
x
7
−
3
x
10
3
+
C
.
{\displaystyle =-{\frac {1}{x}}+7\cdot {\frac {2}{7}}x^{-{\frac {7}{2}}}-10\cdot {\frac {3}{10}}x^{-{\frac {10}{3}}}+C=-{\frac {1}{x}}+{\frac {2}{\sqrt {x^{7}}}}-{\frac {3}{\sqrt[{3}]{x^{10}}}}+C.}
Интегралы вида:
∫
φ
(
x
)
(
a
x
+
b
)
n
d
x
,
{\displaystyle \int {\frac {\varphi (x)}{(ax+b)^{n}}}\,dx,}
(6.153)
где
φ
(
x
)
{\displaystyle \varphi (x)}
— многочлен c натуральными показателями,
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,\;b\in \mathbb {R} }
— действительные коэффициенты, не равные нулю;
сводятся к предыдущему случаю с использованием подстановки
z
=
a
x
+
b
{\displaystyle z=ax+b}
. В этом случае мы имеем:
x
=
z
−
b
a
,
d
x
=
d
z
a
{\displaystyle x={\frac {z-b}{a}},\;dx={\frac {dz}{a}}}
. Сделаем замену:
∫
φ
(
x
)
(
a
x
+
b
)
n
d
x
=
1
a
∫
φ
(
z
−
b
a
)
d
z
z
n
.
{\displaystyle \int {\frac {\varphi (x)}{(ax+b)^{n}}}\,dx={\frac {1}{a}}\int \varphi \left({\frac {z-b}{a}}\right){\frac {dz}{z^{n}}}.}
(6.154)
Этим интеграл преобразуется к интегралу (6.149 ).
Пример 6.13. Найти интеграл
∫
x
2
+
1
(
x
−
1
)
3
d
x
.
{\displaystyle \int {\frac {x^{2}+1}{(x-1)^{3}}}\,dx.}
(6.155)
Решение. Сделаем замену
z
=
x
−
1
{\displaystyle z=x-1}
, тогда
x
=
z
+
1
{\displaystyle x=z+1}
и
d
x
=
d
z
{\displaystyle dx=dz}
:
∫
x
2
+
1
(
x
−
1
)
3
d
x
=
∫
(
z
+
1
)
2
+
1
z
3
d
z
=
∫
z
2
+
2
z
+
2
z
3
d
z
=
{\displaystyle \int {\frac {x^{2}+1}{(x-1)^{3}}}\,dx=\int {\frac {(z+1)^{2}+1}{z^{3}}}\,dz=\int {\frac {z^{2}+2z+2}{z^{3}}}\,dz=}
(6.156)
=
∫
(
1
z
+
2
z
2
+
2
z
3
)
d
z
=
∫
d
z
z
+
2
∫
d
z
z
2
+
2
∫
d
z
z
2
=
ln
|
z
|
−
1
z
2
−
2
z
+
C
.
{\displaystyle =\int \left({\frac {1}{z}}+{\frac {2}{z^{2}}}+{\frac {2}{z^{3}}}\right)\,dz=\int {\frac {dz}{z}}+2\int {\frac {dz}{z^{2}}}+2\int {\frac {dz}{z^{2}}}=\ln |z|-{\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {2}{z}}+C.}
Вернувшись обратно к переменной
x
{\displaystyle x}
, найдём ответ:
∫
x
2
+
1
(
x
−
1
)
3
d
x
=
ln
|
x
−
1
|
−
1
(
x
−
1
)
2
−
2
x
−
1
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {x^{2}+1}{(x-1)^{3}}}\,dx=\ln |x-1|-{\frac {1}{(x-1)^{2}}}-{\frac {2}{x-1}}+C.}
(6.157)
Пример 6.14. Найти интеграл
∫
x
4
d
x
(
x
3
+
1
)
2
.
{\displaystyle \int {\frac {x^{4}\,dx}{(x^{3}+1)^{2}}}.}
(6.158)
Решение. Применим интегрирование по частям:
∫
x
4
d
x
(
x
3
+
1
)
2
[
u
=
x
2
d
u
=
2
x
d
x
d
v
=
x
2
d
x
(
x
3
+
1
)
2
v
=
∫
x
2
d
x
(
x
3
+
1
)
2
=
1
3
∫
d
(
x
3
+
1
)
(
x
3
+
1
)
2
=
=
−
1
3
1
x
3
+
1
]
=
{\displaystyle \int {\frac {x^{4}\,dx}{(x^{3}+1)^{2}}}\left[{\begin{array}{ll}u=x^{2}&du=2x\,dx\\dv={\dfrac {x^{2}\,dx}{(x^{3}+1)^{2}}}&\displaystyle {v=\int {\dfrac {x^{2}\,dx}{(x^{3}+1)^{2}}}={\frac {1}{3}}\int {\frac {d(x^{3}+1)}{(x^{3}+1)^{2}}}}=\\&=-{\dfrac {1}{3}}{\dfrac {1}{x^{3}+1}}\end{array}}\right]=}
(6.159)
=
−
1
3
x
2
x
3
+
1
+
2
3
∫
x
d
x
x
3
+
1
.
{\displaystyle =-{\frac {1}{3}}{\frac {x^{2}}{x^{3}+1}}+{\frac {2}{3}}\int {\frac {x\,dx}{x^{3}+1}}.}
Подынтегральное выражение второго слагаемого разобьём на простые дроби. Так как
x
3
+
1
=
(
x
+
1
)
(
x
2
−
x
+
1
)
{\displaystyle x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1)}
, то
2
3
x
x
3
+
1
=
2
3
x
(
x
+
1
)
(
x
2
−
x
+
1
)
=
A
x
+
1
+
B
x
+
C
x
2
−
x
+
1
.
{\displaystyle {\frac {2}{3}}{\frac {x}{x^{3}+1}}={\frac {2}{3}}{\frac {x}{(x+1)(x^{2}-x+1)}}={\frac {A}{x+1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}-x+1}}.}
(6.160)
Методом неопределённых коэффициентов устанавливаем, что
A
=
−
2
9
,
B
=
2
9
,
C
=
2
9
.
{\displaystyle A=-{\frac {2}{9}},\quad B={\frac {2}{9}},\quad C={\frac {2}{9}}.}
(6.161)
Таким образом, интеграл (6.158 ) можно представить как:
∫
x
4
d
x
(
x
3
+
1
)
2
=
−
1
3
x
2
x
3
+
1
−
2
9
∫
d
x
x
+
1
+
2
9
∫
(
x
+
1
)
d
x
x
2
−
x
+
1
.
{\displaystyle \int {\frac {x^{4}\,dx}{(x^{3}+1)^{2}}}=-{\frac {1}{3}}{\frac {x^{2}}{x^{3}+1}}-{\frac {2}{9}}\int {\frac {dx}{x+1}}+{\frac {2}{9}}\int {\frac {(x+1)\,dx}{x^{2}-x+1}}.}
(6.162)
После взятия интегралов ответом будет служить следующее выражение:
∫
x
4
d
x
(
x
3
+
1
)
2
=
−
1
3
x
2
x
3
+
1
−
2
9
ln
|
x
+
1
|
+
1
9
ln
(
x
2
−
x
+
1
)
+
2
3
9
a
r
c
t
g
(
3
3
(
2
x
−
1
)
)
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {x^{4}\,dx}{(x^{3}+1)^{2}}}=-{\frac {1}{3}}{\frac {x^{2}}{x^{3}+1}}-{\frac {2}{9}}\ln |x+1|+{\frac {1}{9}}\ln(x^{2}-x+1)+{\frac {2{\sqrt {3}}}{9}}\,\mathrm {arctg} \,\left({\frac {\sqrt {3}}{3}}(2x-1)\right)+C.}
(6.163)
Интегралы
∫
φ
(
x
n
)
x
n
−
1
x
n
+
a
d
x
,
{\displaystyle \int {\frac {\varphi (x^{n})x^{n-1}}{x^{n}+a}}\,dx,}
(6.164)
где
φ
(
x
)
{\displaystyle \varphi (x)}
— полином,
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
;
интегрируются следующим образом: сделаем подстановку
z
=
x
n
{\displaystyle z=x^{n}}
, тогда
x
=
z
n
,
d
x
=
d
z
n
{\displaystyle x={\sqrt[{n}]{z}},\;dx={\frac {dz}{n}}}
:
∫
φ
(
x
n
)
x
n
−
1
x
n
+
a
d
x
=
1
n
∫
φ
(
z
)
d
z
z
+
a
.
{\displaystyle \int {\frac {\varphi (x^{n})x^{n-1}}{x^{n}+a}}\,dx={\frac {1}{n}}\int {\frac {\varphi (z)\,dz}{z+a}}.}
(6.165)
Если сделать подстановку
t
=
z
+
a
{\displaystyle t=z+a}
(
z
=
t
−
a
,
d
z
=
d
t
{\displaystyle z=t-a,\;dz=dt}
), можно получить интеграл вида (6.149 ):
1
n
∫
φ
(
z
)
d
z
z
+
a
=
1
n
∫
φ
(
t
−
a
)
t
d
(
t
−
a
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{n}}\int {\frac {\varphi (z)\,dz}{z+a}}={\frac {1}{n}}\int {\frac {\varphi (t-a)}{t}}\,d(t-a).}
(6.166)
Пример 6.15. Найти интеграл
∫
x
5
−
4
x
3
+
6
x
x
2
−
2
d
x
{\displaystyle \int {\frac {x^{5}-4x^{3}+6x}{x^{2}-2}}\,dx}
(6.167)
Решение. Вынесем в числителе
x
{\displaystyle x}
за скобку:
∫
x
5
−
4
x
3
+
6
x
x
2
−
2
d
x
=
∫
(
x
4
−
4
x
2
+
6
)
x
x
2
−
2
d
x
.
{\displaystyle \int {\frac {x^{5}-4x^{3}+6x}{x^{2}-2}}\,dx=\int {\frac {(x^{4}-4x^{2}+6)x}{x^{2}-2}}\,dx.}
(6.168)
Сделаем подстановку
z
=
x
2
,
d
x
=
d
z
2
{\displaystyle z=x^{2},\;dx={\frac {dz}{2}}}
:
∫
(
x
4
−
4
x
2
+
6
)
x
x
2
−
2
d
x
=
1
2
∫
z
2
−
4
z
+
6
z
−
2
d
z
.
{\displaystyle \int {\frac {(x^{4}-4x^{2}+6)x}{x^{2}-2}}\,dx={\frac {1}{2}}\int {\frac {z^{2}-4z+6}{z-2}}\,dz.}
(6.169)
Сделаем ещё одну подстановку:
t
=
z
−
2
,
z
=
t
+
2
,
d
z
=
d
t
{\displaystyle t=z-2,\;z=t+2,\;dz=dt}
:
1
2
∫
z
2
−
4
z
+
6
z
−
2
d
z
=
1
2
∫
(
t
+
2
)
2
−
4
(
t
+
2
)
+
6
t
d
t
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {z^{2}-4z+6}{z-2}}\,dz={\frac {1}{2}}\int {\frac {(t+2)^{2}-4(t+2)+6}{t}}\,dt.}
(6.170)
Раскрывая скобки в числителе и приводя подобные, получим:
1
2
∫
(
t
+
2
)
2
−
4
(
t
+
2
)
+
6
t
d
t
=
1
2
∫
t
2
+
2
t
d
t
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {(t+2)^{2}-4(t+2)+6}{t}}\,dt={\frac {1}{2}}\int {\frac {t^{2}+2}{t}}\,dt.}
(6.171)
Почленно поделим:
1
2
∫
t
2
+
2
t
d
t
=
1
2
∫
t
d
t
+
2
2
∫
d
t
t
=
1
2
t
2
2
+
ln
|
t
|
+
C
=
t
2
4
+
ln
|
t
|
+
C
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {t^{2}+2}{t}}\,dt={\frac {1}{2}}\int t\,dt+{\frac {2}{2}}\int {\frac {dt}{t}}={\frac {1}{2}}{\frac {t^{2}}{2}}+\ln |t|+C={\frac {t^{2}}{4}}+\ln |t|+C.}
(6.172)
Вернёмся сначала к переменной
z
{\displaystyle z}
:
1
2
∫
t
2
+
2
t
d
t
=
t
2
4
+
ln
|
t
|
+
C
=
(
z
−
2
)
2
4
+
ln
|
z
−
2
|
+
C
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {t^{2}+2}{t}}\,dt={\frac {t^{2}}{4}}+\ln |t|+C={\frac {(z-2)^{2}}{4}}+\ln |z-2|+C.}
(6.173)
Окончательно получим:
∫
x
5
−
4
x
3
+
6
x
x
2
−
2
d
x
=
(
x
2
−
2
)
2
4
+
ln
|
x
2
−
2
|
+
C
=
1
4
x
4
−
x
2
+
ln
|
x
2
−
2
|
+
C
′
,
{\displaystyle \int {\frac {x^{5}-4x^{3}+6x}{x^{2}-2}}\,dx={\frac {(x^{2}-2)^{2}}{4}}+\ln |x^{2}-2|+C={\frac {1}{4}}x^{4}-x^{2}+\ln |x^{2}-2|+C',}
(6.174)
где
C
′
=
C
+
1
{\displaystyle C'=C+1}
.
Исследуем интеграл вида:
∫
(
c
x
+
d
)
n
(
a
x
+
b
)
m
d
x
,
{\displaystyle \int {\frac {(cx+d)^{n}}{(ax+b)^{m}}}\,dx,}
(6.175)
где
a
,
b
,
c
,
d
∈
R
;
n
,
m
∈
N
{\displaystyle a,\;b,\;c,\;d\in \mathbb {R} ;\;n,\;m\in \mathbb {N} }
.
Если
c
a
=
d
b
{\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {d}{b}}}
, то линейные двучлены в числителе и знаменателе подобны, следовательно, можно вынести коэффициент подобия и сократить дробь. В этом случае мы получим интеграл
A
∫
(
α
x
+
β
)
n
−
m
d
x
,
{\displaystyle A\int (\alpha x+\beta )^{n-m}\,dx,}
(6.176)
который берётся заведением под дифференциал.
Случай, когда
c
d
≠
d
b
{\displaystyle {\frac {c}{d}}\neq {\frac {d}{b}}}
, более интересен. Сделаем подстановку
z
=
a
x
+
b
{\displaystyle z=ax+b}
; интеграл преобразуется к виду (6.149 ):
1
a
n
+
1
∫
[
c
z
+
a
d
−
c
b
]
n
z
m
d
z
.
{\displaystyle {\frac {1}{a^{n+1}}}\int {\frac {[cz+ad-cb]^{n}}{z^{m}}}\,dz.}
(6.177)
Вычислим следующий интеграл:
∫
d
x
(
x
−
a
)
n
(
x
−
b
)
m
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(x-a)^{n}(x-b)^{m}}}.}
(6.178)
Сделаем подстановку
z
=
x
−
a
x
−
b
{\displaystyle z={\frac {x-a}{x-b}}}
, отсюда
x
=
a
−
b
z
1
−
z
,
x
−
a
=
(
a
−
b
)
x
1
−
z
,
x
−
b
=
a
−
b
1
−
z
,
d
x
=
a
−
b
(
1
−
z
)
2
d
z
.
{\displaystyle x={\frac {a-bz}{1-z}},\quad x-a={\frac {(a-b)x}{1-z}},\quad x-b={\frac {a-b}{1-z}},\quad dx={\frac {a-b}{(1-z)^{2}}}\,dz.}
(6.179)
Интеграл (6.178 ) примет вид:
∫
d
x
(
x
−
a
)
n
(
x
−
b
)
m
=
1
(
a
−
b
)
n
+
m
−
1
∫
(
1
−
z
)
m
+
n
−
2
z
n
d
z
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(x-a)^{n}(x-b)^{m}}}={\frac {1}{(a-b)^{n+m-1}}}\int {\frac {(1-z)^{m+n-2}}{z^{n}}}\,dz.}
(6.180)
Если
m
+
n
⩾
2
{\displaystyle m+n\geqslant 2}
, то мы получаем интеграл вида (6.149 ).
Описанным выше способом можно брать интегралы вида
∫
d
x
(
x
2
+
p
x
+
q
)
k
,
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(x^{2}+px+q)^{k}}},}
(6.181)
где
p
2
−
4
q
>
0
{\displaystyle p^{2}-4q>0}
.
В этом случае квадратный трёхчлен обладает двумя различными вещественными корнями
x
1
{\displaystyle x_{1}}
и
x
2
{\displaystyle x_{2}}
. Полагая в интеграле (6.178 )
a
=
x
1
,
b
=
x
2
{\displaystyle a=x_{1},\;b=x_{2}}
и
n
=
m
=
k
{\displaystyle n=m=k}
, преобразуем интеграл (6.181 ) к виду:
1
(
x
1
−
x
2
)
2
k
−
1
∫
(
1
−
z
)
2
k
−
2
z
k
d
z
.
{\displaystyle {\frac {1}{(x_{1}-x_{2})^{2k-1}}}\int {\frac {(1-z)^{2k-2}}{z^{k}}}\,dz.}
(6.182)
Формула, в принципе действительна и при
p
2
−
4
q
<
0
{\displaystyle p^{2}-4q<0}
, но при этом корни будут комплексными, но, так как они сопряжённые, то их разность
x
1
−
x
2
{\displaystyle x_{1}-x_{2}}
будет действительным числом. Если в разложении появится логарифм от комплексного числа, то его легко свести к арктангенсу.
Остановимся на интегралах вида
∫
x
m
d
x
b
±
a
x
n
,
m
,
n
∈
N
,
m
<
n
,
a
,
b
∈
R
+
{\displaystyle \int {\frac {x^{m}\,dx}{b\pm ax^{n}}},\quad m,\;n\in \mathbb {N} ,\;m<n,\quad a,\;b\in \mathbb {R} _{+}}
(6.183)
более подробно.
Вводя подстановку
x
=
z
b
a
n
{\displaystyle x=z{\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}}
, интеграл (6.183 ) можно представить как:
b
m
−
n
+
1
a
m
+
1
n
∫
z
m
d
z
1
±
z
n
.
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {b^{m-n+1}}{a^{m+1}}}}\int {\frac {z^{m}\,dz}{1\pm z^{n}}}.}
(6.184)
Рассмотрим несколько случаев значений показателей
m
{\displaystyle m}
и
n
{\displaystyle n}
и знака в знаменателе.
В знаменателе стоит знак «плюс».
Случай 1.
m
=
0
{\displaystyle m=0}
,
n
{\displaystyle n}
— чётный. При чётном
n
{\displaystyle n}
функция
1
+
x
n
{\displaystyle 1+x^{n}}
имеет комплексно сопряжённые корни вида:
x
k
=
cos
2
k
+
1
n
π
±
i
sin
2
k
+
1
n
π
,
{\displaystyle x_{k}=\cos {\frac {2k+1}{n}}\pi \pm i\sin {\frac {2k+1}{n}}\pi ,}
(6.185)
где
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
−
2
2
{\displaystyle k=0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;{\frac {n-2}{2}}}
.
Следовательно, разложение имеет следующий вид:
1
1
+
x
n
=
∑
k
=
0
n
−
2
2
[
A
k
x
−
(
cos
2
k
+
1
n
π
+
i
sin
2
k
+
1
n
π
)
+
B
k
x
−
(
cos
2
k
+
1
n
π
−
i
sin
2
k
+
1
n
π
)
]
,
{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{n}}}=\sum _{k=0}^{\frac {n-2}{2}}\left[{\frac {A_{k}}{x-\left(\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi +i\sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi \right)}}+{\frac {B_{k}}{x-\left(\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi -i\sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi \right)}}\right],}
(6.186)
где
A
k
,
B
k
{\displaystyle A_{k},\;B_{k}}
— неизвестные коэффициенты.
Так как все корни (6.185 ) простые, то для нахождения коэффициентов
A
k
,
B
k
{\displaystyle A_{k},\;B_{k}}
можно воспользоваться методом вычисления производной (см. Дополнение). По этому методу дробь
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
{\displaystyle {\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}}
имеет разложение:
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
=
∑
i
=
1
m
P
n
(
x
i
)
Q
m
′
(
x
i
)
1
x
−
x
i
,
{\displaystyle {\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}=\sum _{i=1}^{m}{\frac {P_{n}(x_{i})}{Q'_{m}(x_{i})}}{\frac {1}{x-x_{i}}},}
(6.187)
где все
x
i
{\displaystyle x_{i}}
— простые корни
Q
m
(
x
)
{\displaystyle Q_{m}(x)}
.
Конкретно для нашего случая:
A
k
=
1
n
x
n
−
1
|
x
=
cos
2
k
+
1
n
π
+
i
sin
2
k
+
1
n
π
=
1
n
1
(
cos
2
k
+
1
n
π
+
i
sin
2
k
+
1
n
π
)
n
−
1
.
{\displaystyle A_{k}=\left.{\frac {1}{nx^{n-1}}}\right|_{x=\cos {\frac {2k+1}{n}}\pi +i\sin {\frac {2k+1}{n}}\pi }={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\left(\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi +i\sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi \right)^{n-1}}}.}
(6.188)
По формуле Муавра имеем:
A
k
=
1
n
1
cos
(
2
k
+
1
)
(
n
−
1
)
n
π
+
i
sin
(
2
k
+
1
)
(
n
−
1
)
n
π
.
{\displaystyle A_{k}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\cos {\dfrac {(2k+1)(n-1)}{n}}\pi +i\sin {\dfrac {(2k+1)(n-1)}{n}}\pi }}.}
(6.189)
Раскрывая скобки в аргументах тригонометрических функций и вычисляя их, получим:
A
k
=
−
1
n
1
cos
2
k
+
1
n
π
−
i
sin
2
k
+
1
n
π
.
{\displaystyle A_{k}=-{\frac {1}{n}}{\frac {1}{\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi -i\sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi }}.}
(6.190)
Аналогично для
B
k
{\displaystyle B_{k}}
:
B
k
=
−
1
n
1
cos
2
k
+
1
n
π
+
i
sin
2
k
+
1
n
π
.
{\displaystyle B_{k}=-{\frac {1}{n}}{\frac {1}{\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi +i\sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi }}.}
(6.191)
Таким образом,
∫
d
x
1
+
x
n
=
−
1
n
∫
∑
k
=
0
n
−
2
2
[
1
cos
2
k
+
1
n
π
−
i
sin
2
k
+
1
n
π
⋅
1
x
−
(
cos
2
k
+
1
n
π
+
i
sin
2
k
+
1
n
π
)
+
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{n}}}=-{\frac {1}{n}}\int \sum _{k=0}^{\frac {n-2}{2}}{\Bigg [}{\frac {1}{\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi -i\sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi }}\cdot {\frac {1}{x-\left(\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi +i\sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi \right)}}+}
(6.192)
+
1
cos
2
k
+
1
n
π
+
i
sin
2
k
+
1
n
π
⋅
1
x
−
(
cos
2
k
+
1
n
π
−
i
sin
2
k
+
1
n
π
)
]
d
x
.
{\displaystyle +{\frac {1}{\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi +i\sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi }}\cdot {\frac {1}{x-\left(\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi -i\sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi \right)}}{\Bigg ]}\,dx.}
После несложных преобразований будем иметь следующее выражение:
∫
d
x
1
+
x
n
=
−
1
n
∑
k
=
0
n
−
2
2
∫
2
x
cos
2
k
+
1
n
π
−
2
x
2
−
2
x
cos
2
k
+
1
n
π
+
1
d
x
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{n}}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{\frac {n-2}{2}}\int {\frac {2x\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi -2}{x^{2}-2x\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi +1}}\,dx.}
(6.193)
В этом интеграле
p
=
−
2
cos
2
k
+
1
n
π
,
q
=
1
{\displaystyle p=-2\cos {\frac {2k+1}{n}}\pi ,\;q=1}
, следовательно,
q
−
p
2
4
>
0
{\displaystyle q-{\frac {p^{2}}{4}}>0}
, значит можно воспользоваться формулой (6.67 ). Подставляя наши коэффициенты в эту формулу, после преобразований окончательно получаем, что при чётном
n
{\displaystyle n}
:
∫
d
x
1
+
x
n
=
−
1
n
∑
k
=
0
n
−
2
2
cos
2
k
+
1
n
ln
(
x
2
−
2
x
cos
2
k
+
1
n
π
+
1
)
+
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{n}}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{\frac {n-2}{2}}\cos {\frac {2k+1}{n}}\ln \left(x^{2}-2x\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi +1\right)+}
(6.194)
+
2
n
∑
k
=
0
n
−
2
2
sin
2
k
+
1
n
a
r
c
t
g
x
−
cos
2
k
+
1
n
sin
2
k
+
1
n
+
C
.
{\displaystyle +{\frac {2}{n}}\sum _{k=0}^{\frac {n-2}{2}}\sin {\frac {2k+1}{n}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x-\cos {\dfrac {2k+1}{n}}}{\sin {\dfrac {2k+1}{n}}}}+C.}
Случай 2.
n
{\displaystyle n}
— чётный,
0
<
m
<
n
{\displaystyle 0<m<n}
. В этом случае формула (6.188 ) будет иметь вид:
A
k
=
x
m
n
x
n
−
1
=
1
n
x
n
−
m
−
1
|
x
=
cos
2
k
+
1
n
π
+
i
sin
2
k
+
1
n
π
=
1
n
1
(
cos
2
k
+
1
n
π
+
i
sin
2
k
+
1
n
π
)
n
−
m
−
1
.
{\displaystyle A_{k}={\frac {x^{m}}{nx^{n-1}}}=\left.{\frac {1}{nx^{n-m-1}}}\right|_{x=\cos {\frac {2k+1}{n}}\pi +i\sin {\frac {2k+1}{n}}\pi }={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\left(\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi +i\sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi \right)^{n-m-1}}}.}
(6.195)
Выполняя аналогичные преобразования, для коэффициентов
A
k
{\displaystyle A_{k}}
и
B
k
{\displaystyle B_{k}}
, в конечном итоге, будем иметь такие выражения:
A
k
=
−
1
n
1
cos
(
2
k
+
1
)
(
m
+
1
)
n
π
−
i
sin
(
2
k
+
1
)
(
m
+
1
)
n
π
,
{\displaystyle A_{k}=-{\frac {1}{n}}{\frac {1}{\cos {\dfrac {(2k+1)(m+1)}{n}}\pi -i\sin {\dfrac {(2k+1)(m+1)}{n}}\pi }},}
(6.196)
B
k
=
−
1
n
1
cos
(
2
k
+
1
)
(
m
+
1
)
n
π
+
i
sin
(
2
k
+
1
)
(
m
+
1
)
n
π
.
{\displaystyle B_{k}=-{\frac {1}{n}}{\frac {1}{\cos {\dfrac {(2k+1)(m+1)}{n}}\pi +i\sin {\dfrac {(2k+1)(m+1)}{n}}\pi }}.}
Значит интеграл от дроби
x
m
1
+
x
n
{\displaystyle {\frac {x^{m}}{1+x^{n}}}}
будет иметь вид:
∫
x
m
d
x
1
+
x
n
=
−
1
n
∫
∑
k
=
0
n
−
2
2
[
1
cos
(
2
k
+
1
)
(
m
+
1
)
n
π
−
i
sin
(
2
k
+
1
)
(
m
+
1
)
n
π
×
{\displaystyle \int {\frac {x^{m}\,dx}{1+x^{n}}}=-{\frac {1}{n}}\int \sum _{k=0}^{\frac {n-2}{2}}{\Bigg [}{\frac {1}{\cos {\dfrac {(2k+1)(m+1)}{n}}\pi -i\sin {\dfrac {(2k+1)(m+1)}{n}}\pi }}\times }
(6.197)
×
1
x
−
(
cos
2
k
+
1
n
π
+
i
sin
2
k
+
1
n
π
)
+
{\displaystyle \times {\frac {1}{x-\left(\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi +i\sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi \right)}}+}
+
1
cos
(
2
k
+
1
)
(
m
+
1
)
n
π
+
i
sin
(
2
k
+
1
)
(
m
+
1
)
n
π
×
{\displaystyle +{\frac {1}{\cos {\dfrac {(2k+1)(m+1)}{n}}\pi +i\sin {\dfrac {(2k+1)(m+1)}{n}}\pi }}\times }
×
1
x
−
(
cos
2
k
+
1
n
π
−
i
sin
2
k
+
1
n
π
)
]
d
x
=
{\displaystyle \times {\frac {1}{x-\left(\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi -i\sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi \right)}}{\Bigg ]}\,dx=}
=
−
1
n
∑
k
=
0
n
−
2
2
∫
[
2
x
cos
(
2
k
+
1
)
(
m
+
1
)
n
π
−
2
cos
(
2
k
+
1
)
(
m
+
1
)
n
π
cos
2
k
+
1
n
π
x
2
−
2
x
cos
2
k
+
1
n
π
+
1
−
{\displaystyle =-{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{\frac {n-2}{2}}\int {\Bigg [}{\frac {2x\cos {\dfrac {(2k+1)(m+1)}{n}}\pi -2\cos {\dfrac {(2k+1)(m+1)}{n}}\pi \cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi }{x^{2}-2x\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi +1}}-}
−
2
sin
(
2
k
+
1
)
(
m
+
1
)
n
π
sin
2
k
+
1
n
π
x
2
−
2
x
cos
2
k
+
1
n
π
+
1
]
d
x
.
{\displaystyle -{\frac {2\sin {\dfrac {(2k+1)(m+1)}{n}}\pi \sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi }{x^{2}-2x\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi +1}}{\Bigg ]}\,dx.}
Теперь, если воспользоваться формулой (6.67 ), окончательно получим:
∫
x
m
d
x
1
+
x
n
=
−
1
n
∑
k
=
0
n
−
2
2
cos
(
2
k
+
1
)
(
m
+
1
)
n
ln
(
x
2
−
2
x
cos
2
k
+
1
n
π
+
1
)
+
{\displaystyle \int {\frac {x^{m}\,dx}{1+x^{n}}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{\frac {n-2}{2}}\cos {\frac {(2k+1)(m+1)}{n}}\ln \left(x^{2}-2x\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi +1\right)+}
(6.198)
+
2
n
∑
k
=
0
n
−
2
2
sin
(
2
k
+
1
)
(
m
+
1
)
n
a
r
c
t
g
x
−
cos
2
k
+
1
n
sin
2
k
+
1
n
+
C
.
{\displaystyle +{\frac {2}{n}}\sum _{k=0}^{\frac {n-2}{2}}\sin {\frac {(2k+1)(m+1)}{n}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x-\cos {\dfrac {2k+1}{n}}}{\sin {\dfrac {2k+1}{n}}}}+C.}
Как мы видим, формула (6.198 ) пригодна для
0
⩽
m
<
n
{\displaystyle 0\leqslant m<n}
.
Случай 3.
m
=
0
{\displaystyle m=0}
,
n
{\displaystyle n}
— нечётный, тогда двучлен
1
+
x
n
{\displaystyle 1+x^{n}}
имеет помимо комплексно сопряжённых корней ещё и действительный корень:
x
−
1
=
−
1
,
x
k
=
cos
2
k
+
1
n
π
±
i
sin
2
k
+
1
n
π
,
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
−
3
2
.
{\displaystyle x_{-1}=-1,\quad x_{k}=\cos {\frac {2k+1}{n}}\pi \pm i\sin {\frac {2k+1}{n}}\pi ,\quad k=0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;{\frac {n-3}{2}}.}
(6.199)
Разложение подынтегральной функции на простые дроби в этом случае будет:
1
1
+
x
n
=
C
x
+
1
+
∑
k
=
0
n
−
3
2
[
A
k
x
−
(
cos
2
k
+
1
n
π
+
i
sin
2
k
+
1
n
π
)
+
B
k
x
−
(
cos
2
k
+
1
n
π
−
i
sin
2
k
+
1
n
π
)
]
,
{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{n}}}={\frac {C}{x+1}}+\sum _{k=0}^{\frac {n-3}{2}}\left[{\frac {A_{k}}{x-\left(\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi +i\sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi \right)}}+{\frac {B_{k}}{x-\left(\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi -i\sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi \right)}}\right],}
(6.200)
где
A
k
,
B
k
,
C
{\displaystyle A_{k},\;B_{k},\;C}
— неизвестные коэффициенты.
Найдём коэффициенты:
C
=
1
n
,
{\displaystyle C={\frac {1}{n}},}
(6.201)
A
k
=
−
1
n
1
cos
2
k
+
1
n
π
−
i
sin
2
k
+
1
n
π
,
{\displaystyle A_{k}=-{\frac {1}{n}}{\frac {1}{\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi -i\sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi }},}
B
k
=
−
1
n
1
cos
2
k
+
1
n
π
+
i
sin
2
k
+
1
n
π
.
{\displaystyle B_{k}=-{\frac {1}{n}}{\frac {1}{\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi +i\sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi }}.}
Подставляя коэффициенты в (6.200 ) и интегрируя получившиеся дроби, получаем для нечётного
n
{\displaystyle n}
выражение, аналогичное (6.194 ):
∫
d
x
1
+
x
n
=
1
n
ln
|
x
+
1
|
−
1
n
∑
k
=
0
n
−
3
2
cos
2
k
+
1
n
ln
(
x
2
−
2
x
cos
2
k
+
1
n
π
+
1
)
+
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{n}}}={\frac {1}{n}}\ln |x+1|-{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{\frac {n-3}{2}}\cos {\frac {2k+1}{n}}\ln \left(x^{2}-2x\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi +1\right)+}
(6.202)
+
2
n
∑
k
=
0
n
−
3
2
sin
2
k
+
1
n
a
r
c
t
g
x
−
cos
2
k
+
1
n
sin
2
k
+
1
n
+
C
.
{\displaystyle +{\frac {2}{n}}\sum _{k=0}^{\frac {n-3}{2}}\sin {\frac {2k+1}{n}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x-\cos {\dfrac {2k+1}{n}}}{\sin {\dfrac {2k+1}{n}}}}+C.}
Случай 4.
n
{\displaystyle n}
— нечётный,
0
<
m
<
n
{\displaystyle 0<m<n}
. Производя уже известные преобразования, получаем следующую формулу:
∫
x
m
d
x
1
+
x
n
=
(
−
1
)
m
n
ln
|
x
+
1
|
−
1
n
∑
k
=
0
n
−
3
2
cos
(
2
k
+
1
)
(
m
+
1
)
n
ln
(
x
2
−
2
x
cos
2
k
+
1
n
π
+
1
)
+
{\displaystyle \int {\frac {x^{m}\,dx}{1+x^{n}}}={\frac {(-1)^{m}}{n}}\ln |x+1|-{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{\frac {n-3}{2}}\cos {\frac {(2k+1)(m+1)}{n}}\ln \left(x^{2}-2x\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi +1\right)+}
(6.203)
+
2
n
∑
k
=
0
n
−
3
2
sin
(
2
k
+
1
)
(
m
+
1
)
n
a
r
c
t
g
x
−
cos
2
k
+
1
n
sin
2
k
+
1
n
+
C
.
{\displaystyle +{\frac {2}{n}}\sum _{k=0}^{\frac {n-3}{2}}\sin {\frac {(2k+1)(m+1)}{n}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x-\cos {\dfrac {2k+1}{n}}}{\sin {\dfrac {2k+1}{n}}}}+C.}
Формулу (6.203 ) можно обобщить для
0
⩽
m
<
n
{\displaystyle 0\leqslant m<n}
.
Теперь рассмотрим выражения (6.184 ), когда в знаменателе стоит знак «минус».
Случай 5.
n
{\displaystyle n}
— чётный,
0
⩽
m
<
n
{\displaystyle 0\leqslant m<n}
. Двучлен
1
−
x
n
{\displaystyle 1-x^{n}}
имеет следующий набор корней:
x
0
=
±
1
,
x
k
=
cos
2
k
n
π
±
i
sin
2
k
n
π
,
k
=
1
,
2
,
…
,
n
−
2
2
.
{\displaystyle x_{0}=\pm 1,\quad x_{k}=\cos {\frac {2k}{n}}\pi \pm i\sin {\frac {2k}{n}}\pi ,\quad k=1,\;2,\;\ldots ,\;{\frac {n-2}{2}}.}
(6.204)
Разложение дроби
x
m
1
−
x
n
{\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x^{n}}}}
будет иметь вид:
x
m
1
−
x
n
=
C
1
1
+
x
+
C
2
1
−
x
+
∑
k
=
1
n
−
2
2
[
A
k
x
−
(
cos
2
k
n
π
+
i
sin
2
k
n
π
)
+
B
k
x
−
(
cos
2
k
n
π
−
i
sin
2
k
n
π
)
]
,
{\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x^{n}}}={\frac {C_{1}}{1+x}}+{\frac {C_{2}}{1-x}}+\sum _{k=1}^{\frac {n-2}{2}}\left[{\frac {A_{k}}{x-\left(\cos {\dfrac {2k}{n}}\pi +i\sin {\dfrac {2k}{n}}\pi \right)}}+{\frac {B_{k}}{x-\left(\cos {\dfrac {2k}{n}}\pi -i\sin {\dfrac {2k}{n}}\pi \right)}}\right],}
(6.205)
где
A
k
,
B
k
,
C
1
,
C
2
{\displaystyle A_{k},\;B_{k},\;C_{1},\;C_{2}}
— неизвестные коэффициенты, определяя которые и интегрируя после этого получившееся выражение, будет иметь:
∫
x
m
d
x
1
−
x
n
=
(
−
1
)
m
n
ln
|
1
+
x
|
−
1
n
ln
|
1
−
x
|
−
1
n
∑
k
=
1
n
−
2
2
cos
2
k
(
m
+
1
)
n
ln
(
x
2
−
2
x
cos
2
k
n
π
+
1
)
+
{\displaystyle \int {\frac {x^{m}\,dx}{1-x^{n}}}={\frac {(-1)^{m}}{n}}\ln |1+x|-{\frac {1}{n}}\ln |1-x|-{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{\frac {n-2}{2}}\cos {\frac {2k(m+1)}{n}}\ln \left(x^{2}-2x\cos {\dfrac {2k}{n}}\pi +1\right)+}
(6.206)
+
2
n
∑
k
=
1
n
−
2
2
sin
2
k
(
m
+
1
)
n
a
r
c
t
g
x
−
cos
2
k
n
sin
2
k
n
+
C
.
{\displaystyle +{\frac {2}{n}}\sum _{k=1}^{\frac {n-2}{2}}\sin {\frac {2k(m+1)}{n}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x-\cos {\dfrac {2k}{n}}}{\sin {\dfrac {2k}{n}}}}+C.}
Случай 6.
n
{\displaystyle n}
— нечётный,
0
⩽
m
<
n
{\displaystyle 0\leqslant m<n}
. При нечётном
n
{\displaystyle n}
квадратуру интеграла легко получить из формулы (6.203 ), заменяя в ней
x
{\displaystyle x}
на
(
−
x
)
{\displaystyle (-x)}
. В итоге получаем:
∫
x
m
d
x
1
−
x
n
=
−
1
n
ln
|
x
+
1
|
+
(
−
1
)
m
n
∑
k
=
0
n
−
3
2
cos
(
2
k
+
1
)
(
m
+
1
)
n
ln
(
x
2
+
2
x
cos
2
k
+
1
n
π
+
1
)
+
{\displaystyle \int {\frac {x^{m}\,dx}{1-x^{n}}}=-{\frac {1}{n}}\ln |x+1|+{\frac {(-1)^{m}}{n}}\sum _{k=0}^{\frac {n-3}{2}}\cos {\frac {(2k+1)(m+1)}{n}}\ln \left(x^{2}+2x\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi +1\right)+}
(6.207)
+
2
(
−
1
)
m
n
∑
k
=
0
n
−
3
2
sin
(
2
k
+
1
)
(
m
+
1
)
n
a
r
c
t
g
x
+
cos
2
k
+
1
n
sin
2
k
+
1
n
+
C
.
{\displaystyle +{\frac {2(-1)^{m}}{n}}\sum _{k=0}^{\frac {n-3}{2}}\sin {\frac {(2k+1)(m+1)}{n}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x+\cos {\dfrac {2k+1}{n}}}{\sin {\dfrac {2k+1}{n}}}}+C.}
Фактически во всех этих случаях можно считать, что
0
⩽
m
<
n
−
1
{\displaystyle 0\leqslant m<n-1}
, потому что при
m
=
n
−
1
{\displaystyle m=n-1}
интеграл берётся непосредственно:
∫
x
n
−
1
d
x
1
±
x
n
=
±
1
n
∫
d
(
1
±
x
n
)
1
±
x
n
=
±
1
n
ln
|
1
±
x
n
|
+
C
=
±
ln
|
1
±
x
n
|
n
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {x^{n-1}\,dx}{1\pm x^{n}}}=\pm {\frac {1}{n}}\int {\frac {d(1\pm x^{n})}{1\pm x^{n}}}=\pm {\frac {1}{n}}\ln |1\pm x^{n}|+C=\pm \ln {\sqrt[{n}]{|1\pm x^{n}|}}+C.}
(6.208)
Рассмотрим теперь интегралы вида:
∫
d
x
x
m
(
a
±
b
x
n
)
,
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{m}(a\pm bx^{n})}},}
(6.209)
где
m
>
0
{\displaystyle m>0}
.
Уже известная подстановка
x
=
z
b
a
n
{\displaystyle x=z{\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}}
позволяет перейти к интегралу вида:
b
m
−
n
+
1
a
m
+
1
n
∫
d
z
z
m
(
1
±
z
n
)
.
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {b^{m-n+1}}{a^{m+1}}}}\int {\frac {dz}{z^{m}(1\pm z^{n})}}.}
(6.210)
Если
m
=
1
{\displaystyle m=1}
, получим интеграл:
∫
d
x
x
(
1
±
x
n
)
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x(1\pm x^{n})}}.}
(6.211)
Чтобы его вычислить, преобразуем его следующим образом:
∫
d
x
x
(
1
±
x
n
)
=
∫
1
±
x
n
∓
x
n
x
(
1
±
x
n
)
d
x
=
∫
1
±
x
n
x
(
1
±
x
n
)
∓
∫
x
n
d
x
x
(
1
±
x
n
)
=
∫
d
x
x
∓
∫
x
n
−
1
d
x
1
±
x
n
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x(1\pm x^{n})}}=\int {\frac {1\pm x^{n}\mp x^{n}}{x(1\pm x^{n})}}\,dx=\int {\frac {1\pm x^{n}}{x(1\pm x^{n})}}\mp \int {\frac {x^{n}\,dx}{x(1\pm x^{n})}}=\int {\frac {dx}{x}}\mp \int {\frac {x^{n-1}\,dx}{1\pm x^{n}}}.}
(6.212)
Оба интеграла нам известны: первый — табличный, а второй мы можем найти по формуле (6.208 ):
∫
d
x
x
(
1
±
x
n
)
=
ln
|
x
|
−
ln
|
1
±
x
n
|
n
+
C
=
ln
|
x
|
|
1
±
x
n
n
|
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x(1\pm x^{n})}}=\ln |x|-\ln {\sqrt[{n}]{|1\pm x^{n}|}}+C=\ln {\frac {|x|}{{\sqrt[{n}]{|1\pm x^{n}}}|}}+C.}
(6.213)
Если
m
>
1
{\displaystyle m>1}
, то в интеграле (6.210 ) применим то же преобразование, что и в (6.212 ):
∫
d
x
x
m
(
1
±
x
n
)
=
∫
1
±
x
n
∓
x
n
x
m
(
1
±
x
n
)
d
x
=
∫
1
±
x
n
x
m
(
1
±
x
n
)
∓
∫
x
n
d
x
x
m
(
1
±
x
n
)
=
∫
d
x
x
m
∓
∫
x
n
−
m
d
x
1
±
x
n
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{m}(1\pm x^{n})}}=\int {\frac {1\pm x^{n}\mp x^{n}}{x^{m}(1\pm x^{n})}}\,dx=\int {\frac {1\pm x^{n}}{x^{m}(1\pm x^{n})}}\mp \int {\frac {x^{n}\,dx}{x^{m}(1\pm x^{n})}}=\int {\frac {dx}{x^{m}}}\mp \int {\frac {x^{n-m}\,dx}{1\pm x^{n}}}.}
(6.214)
Интеграл в первом слагаемом равен:
∫
d
x
x
m
=
−
1
(
m
−
1
)
x
m
−
1
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{m}}}=-{\frac {1}{(m-1)x^{m-1}}}.}
(6.215)
Значит
∫
d
x
x
m
(
1
±
x
n
)
=
−
1
(
m
−
1
)
x
m
−
1
∓
∫
x
n
−
m
d
x
1
±
x
n
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{m}(1\pm x^{n})}}=-{\frac {1}{(m-1)x^{m-1}}}\mp \int {\frac {x^{n-m}\,dx}{1\pm x^{n}}}.}
(6.216)
Если
m
⩽
n
{\displaystyle m\leqslant n}
, то мы приходим к одному из интегралов вида (6.184 ); при
m
>
n
{\displaystyle m>n}
, последовательно применяя (6.216 ), снова приходим к случаю
m
⩽
n
{\displaystyle m\leqslant n}
или к интегралу (6.211 ).
Приступим теперь исследованию интегралов более общего вида, чем (6.183 ):
∫
x
m
d
x
(
a
+
b
x
n
)
p
,
{\displaystyle \int {\frac {x^{m}\,dx}{(a+bx^{n})^{p}}},}
(6.217)
где
m
∈
Z
,
n
,
p
∈
N
{\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,\;n,\;p\in \mathbb {N} }
и
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,\;b\in \mathbb {R} }
. Считаем, что
p
>
1
{\displaystyle p>1}
, в противном случае, имеем случай (6.183 ), описанный выше.
Интеграл (6.217 ) является частным случаем, так называемого, биномиального дифференциала (см. соответствующую главу). Этот интеграл обычно берётся интегрированием по частям, выбирая функции
u
{\displaystyle u}
и
d
v
{\displaystyle dv}
таким образом, чтобы показатель
p
{\displaystyle p}
сводился к 1.
Если в выражении (6.217 )
m
=
n
−
1
{\displaystyle m=n-1}
, то интеграл можно вычислить непосредственно занесением под дифференциал:
∫
x
n
−
1
d
x
(
a
+
b
x
n
)
p
=
1
n
b
∫
d
(
a
+
b
x
n
)
(
a
+
b
x
n
)
p
=
−
1
b
n
(
p
−
1
)
(
a
+
b
x
n
)
p
−
1
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {x^{n-1}\,dx}{(a+bx^{n})^{p}}}={\frac {1}{nb}}\int {\frac {d(a+bx^{n})}{(a+bx^{n})^{p}}}=-{\frac {1}{bn(p-1)(a+bx^{n})^{p-1}}}+C.}
(6.218)
Если
m
≠
n
−
1
{\displaystyle m\neq n-1}
, то применим интегрирование по частям, приняв, что
u
=
x
m
−
n
+
1
{\displaystyle u=x^{m-n+1}}
и
d
v
=
x
n
−
1
(
a
+
b
x
n
)
p
{\displaystyle dv={\frac {x^{n-1}}{(a+bx^{n})^{p}}}}
, тогда
d
u
=
(
m
−
n
+
1
)
x
m
−
n
d
x
{\displaystyle du=(m-n+1)x^{m-n}\,dx}
, а
v
=
∫
x
n
−
1
d
x
(
a
+
b
x
n
)
p
=
−
1
b
n
(
p
−
1
)
(
a
+
b
x
n
)
p
−
1
{\displaystyle v=\int {\frac {x^{n-1}\,dx}{(a+bx^{n})^{p}}}=-{\frac {1}{bn(p-1)(a+bx^{n})^{p-1}}}}
. Подставляя эти значения в формулу интегрирования по частям (4.42 ), получаем:
∫
x
m
d
x
(
a
+
b
x
n
)
p
=
−
x
m
−
n
+
1
b
n
(
p
−
1
)
(
a
+
b
x
n
)
p
−
1
+
m
−
n
+
1
b
n
(
p
−
1
)
∫
x
m
−
n
d
x
(
a
+
b
x
n
)
p
−
1
.
{\displaystyle \int {\frac {x^{m}\,dx}{(a+bx^{n})^{p}}}=-{\frac {x^{m-n+1}}{bn(p-1)(a+bx^{n})^{p-1}}}+{\frac {m-n+1}{bn(p-1)}}\int {\frac {x^{m-n}\,dx}{(a+bx^{n})^{p-1}}}.}
(6.219)
Повторяя эту процедуру для интеграла в правой части, в конечном итоге мы придём к интегралу вида:
∫
x
m
−
(
p
−
1
)
n
a
+
b
x
n
d
x
,
{\displaystyle \int {\frac {x^{m-(p-1)n}}{a+bx^{n}}}\,dx,}
(6.220)
который в зависимости от знака показателя
m
−
(
p
−
1
)
n
{\displaystyle m-(p-1)n}
может иметь вид (6.183 ) или (6.209 ). Если
m
−
(
p
−
1
)
n
⩾
n
{\displaystyle m-(p-1)n\geqslant n}
, то для интегралов вида (6.183 ) дополнительно потребуется выделить целую часть.
Если
m
<
(
p
−
1
)
n
{\displaystyle m<(p-1)n}
, то мы имеем интеграл
∫
d
x
x
k
(
a
+
b
x
n
)
,
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{k}(a+bx^{n})}},}
(6.221)
где
k
=
(
p
−
1
)
n
−
m
{\displaystyle k=(p-1)n-m}
и
k
>
0
{\displaystyle k>0}
. Тогда можно также воспользоваться следующим преобразованием. Найдём такое наименьшее натуральное число
h
{\displaystyle h}
, чтобы
h
n
⩾
k
{\displaystyle hn\geqslant k}
и при этом, если
h
{\displaystyle h}
— чётное, тогда
a
h
−
b
h
x
h
n
{\displaystyle a^{h}-b^{h}x^{hn}}
, или, если
h
{\displaystyle h}
— нечётное, тогда
a
h
+
b
h
x
h
n
{\displaystyle a^{h}+b^{h}x^{hn}}
, делилось бы на
a
+
b
x
n
{\displaystyle a+bx^{n}}
.
В первом случае мы можем применить следующее преобразование:
∫
d
x
x
k
(
a
+
b
x
n
)
=
1
a
h
∫
a
h
−
b
h
x
h
n
x
k
(
a
+
b
x
n
)
d
x
+
b
h
a
h
∫
x
h
n
−
k
a
+
b
x
n
d
x
;
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{k}(a+bx^{n})}}={\frac {1}{a^{h}}}\int {\frac {a^{h}-b^{h}x^{hn}}{x^{k}(a+bx^{n})}}\,dx+{\frac {b^{h}}{a^{h}}}\int {\frac {x^{hn-k}}{a+bx^{n}}}\,dx;}
(6.222)
во втором:
∫
d
x
x
k
(
a
+
b
x
n
)
=
1
a
h
∫
a
h
+
b
h
x
h
n
x
k
(
a
+
b
x
n
)
d
x
−
b
h
a
h
∫
x
h
n
−
k
a
+
b
x
n
d
x
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{k}(a+bx^{n})}}={\frac {1}{a^{h}}}\int {\frac {a^{h}+b^{h}x^{hn}}{x^{k}(a+bx^{n})}}\,dx-{\frac {b^{h}}{a^{h}}}\int {\frac {x^{hn-k}}{a+bx^{n}}}\,dx.}
(6.223)
Так как, по условию, мы подбирали
h
{\displaystyle h}
так, чтобы
a
h
−
b
h
x
h
n
{\displaystyle a^{h}-b^{h}x^{hn}}
или
a
h
+
b
h
x
h
n
{\displaystyle a^{h}+b^{h}x^{hn}}
делились на
a
+
b
x
n
{\displaystyle a+bx^{n}}
нацело, то интегралы в первых слагаемых (6.222 ) и (6.223 ) будут интегралами от полиномов целых, положительных и отрицательных степеней
x
{\displaystyle x}
[случай (6.149 )]. Вторые интегралы будут интегралами вида (6.183 ), так как
h
n
⩾
k
{\displaystyle hn\geqslant k}
, а
h
{\displaystyle h}
— наименьшее число, удовлетворяющее этому условию, то, следовательно,
h
n
−
k
<
n
{\displaystyle hn-k<n}
.
Пример 6.16. Найти интеграл:
∫
d
x
x
(
x
2
+
4
)
2
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x(x^{2}+4)^{2}}}.}
(6.224)
Решение. Здесь мы имеем интеграл (6.217 ) при
m
=
−
1
,
n
=
2
,
p
=
2
{\displaystyle m=-1,\;n=2,\;p=2}
. Воспользуемся формулой интегрирования по частям (6.219 ):
∫
d
x
x
(
x
2
+
4
)
2
=
−
1
2
x
2
(
x
2
+
4
)
−
∫
d
x
x
3
(
x
2
+
4
)
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x(x^{2}+4)^{2}}}=-{\frac {1}{2x^{2}(x^{2}+4)}}-\int {\frac {dx}{x^{3}(x^{2}+4)}}.}
(6.225)
Для интеграла в правой части имеем
k
=
3
,
n
=
2
{\displaystyle k=3,\;n=2}
, подберём
h
{\displaystyle h}
, чтобы выполнялось неравенство
2
h
⩾
3
{\displaystyle 2h\geqslant 3}
; наименьшим натуральным будет
h
=
2
{\displaystyle h=2}
. Это чётное число, следовательно имеет место преобразование (6.222 ):
−
∫
d
x
x
3
(
x
2
+
4
)
=
1
16
∫
x
4
−
16
x
3
(
x
2
+
4
)
d
x
−
1
16
∫
x
4
d
x
x
3
(
x
2
+
4
)
.
{\displaystyle -\int {\frac {dx}{x^{3}(x^{2}+4)}}={\frac {1}{16}}\int {\frac {x^{4}-16}{x^{3}(x^{2}+4)}}\,dx-{\frac {1}{16}}\int {\frac {x^{4}\,dx}{x^{3}(x^{2}+4)}}.}
(6.226)
Сократим в первом интеграле на
x
2
+
4
{\displaystyle x^{2}+4}
и почленно поделим на
x
3
{\displaystyle x^{3}}
:
1
16
∫
x
4
−
16
x
3
(
x
2
+
4
)
d
x
=
1
16
∫
x
2
−
4
x
3
d
x
=
1
16
∫
d
x
x
−
1
4
∫
x
−
3
d
x
=
1
16
ln
|
x
|
+
1
4
1
2
x
2
+
C
=
1
16
ln
|
x
|
+
1
8
x
2
+
C
.
{\displaystyle {\frac {1}{16}}\int {\frac {x^{4}-16}{x^{3}(x^{2}+4)}}\,dx={\frac {1}{16}}\int {\frac {x^{2}-4}{x^{3}}}\,dx={\frac {1}{16}}\int {\frac {dx}{x}}-{\frac {1}{4}}\int x^{-3}\,dx={\frac {1}{16}}\ln |x|+{\frac {1}{4}}{\frac {1}{2x^{2}}}+C={\frac {1}{16}}\ln |x|+{\frac {1}{8x^{2}}}+C.}
(6.227)
Второй интеграл берётся заведением под дифференциал:
−
1
16
∫
x
4
d
x
x
3
(
x
2
+
4
)
=
−
1
16
∫
x
d
x
x
2
+
4
=
−
1
32
∫
d
(
x
2
+
4
)
x
2
+
4
=
−
1
32
ln
(
x
2
+
4
)
+
C
.
{\displaystyle -{\frac {1}{16}}\int {\frac {x^{4}\,dx}{x^{3}(x^{2}+4)}}=-{\frac {1}{16}}\int {\frac {x\,dx}{x^{2}+4}}=-{\frac {1}{32}}\int {\frac {d(x^{2}+4)}{x^{2}+4}}=-{\frac {1}{32}}\ln(x^{2}+4)+C.}
(6.228)
Объединяя найденные интегралы, получим ответ:
∫
d
x
x
(
x
2
+
4
)
2
=
−
1
2
x
2
(
x
2
+
4
)
+
1
16
ln
|
x
|
+
1
8
x
2
−
1
32
ln
(
x
2
+
4
)
+
C
=
1
16
ln
|
x
|
x
2
+
4
+
1
8
(
x
2
+
4
)
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x(x^{2}+4)^{2}}}=-{\frac {1}{2x^{2}(x^{2}+4)}}+{\frac {1}{16}}\ln |x|+{\frac {1}{8x^{2}}}-{\frac {1}{32}}\ln(x^{2}+4)+C={\frac {1}{16}}\ln {\frac {|x|}{\sqrt {x^{2}+4}}}+{\frac {1}{8(x^{2}+4)}}+C.}
(6.229)
↑ Коэффициенты могут быть и рациональными, суть от этого не меняется, так как всегда можно домножить многочлен на некую постоянную величину, чтобы сделать его коэффициенты целочисленными.
↑ Не нарушая общности, можно считать, что коэффициент при старшей степени равен 1, потому что на него всегда можно поделить и учесть уже при интегрировании.
↑ Такая степень получается из того, что
Q
m
′
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle {Q'_{m}(x)}}
имеет степень
m
−
1
{\displaystyle \scriptstyle {m-1}}
; отношение
Q
m
′
(
x
)
L
m
−
k
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle {\frac {Q'_{m}(x)}{L_{m-k}(x)}}}
— степень
m
−
1
−
(
m
−
k
)
=
k
−
1
{\displaystyle \scriptstyle {m-1-(m-k)=k-1}}
. Производная
V
k
′
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle {V'_{k}(x)}}
также имеет степень
k
−
1
{\displaystyle \scriptstyle {k-1}}
.
↑ Постоянный множитель
−
96
8
281
{\displaystyle \scriptstyle {-{\frac {96}{8\,281}}}}
мы сделали частью неопределённых коэффициентов.
↑ Можно ещё объединить все логарифмы в один.
↑ По теореме о корнях производной многочлена производная
V
′
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle {V'(x)}}
должна содержать те же корни, что и
V
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle {V(x)}}
, но меньшей кратности, а так как все корни
V
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle {V(x)}}
просты, то
V
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle {V(x)}}
и
V
′
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle {V'(x)}}
вообще не будут содержать общих корней.
↑ Многочлены
M
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle {M(x)}}
и
N
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle {N(x)}}
имеют степень на единицу меньше, чем
V
′
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle {V'(x)}}
и
V
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle {V(x)}}
соответственно, если степень многочлена
U
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle {U(x)}}
не превосходит суммарной степени
V
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle {V(x)}}
и
V
′
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle {V'(x)}}
; в противном случае, эти степени могут быть равны или быть больше.