Иная методическая точка зрения

Современная тенденция в преподавании математики состоит в том, чтобы включать в содержание образования не только «чисто математическую», но и методологическую составляющую: общие знания о математических объектах, явлениях, величинах и законах, знания о методах научного познания, о математической картине мира и др.

Учитель может включить в логику изложения тригонометрии знания совершенно нового методического характера (знания о знаниях). Каждую дисциплину можно разбить на четыре группы:

математические объекты;
математические явления;
математические величины;
математические законы.

Остановимся подробнее на каждой из перечисленных групп.

Математические объекты

Определение “Объект”. Объектами принято называть всё то, на что направлена познавательная или иная деятельность человека.

По сути, объект — то, что является предметом рассмотрения, изучения и воздействия.

Определение “Математический объект”. Математический объект — объект математического исследования и его применения на практике.

Так, число, график, треугольник, буква, пирамида, слово — математические объекты. Пожалуй, главной особенностью всех математических объектов является то, что они не реальны, то есть идеализированны.

Идеализированные объекты есть объекты, которых в природе не существуют. Понятия о таких объектах вводятся при создании соответствующей теории для описания множества реальных объектов, описываемых данной теорией.

Следовательно, помимо чисто «математических», можно назвать и другие — например, абсолютное твёрдое тело и материальная точка (механика), идеальный газ (молекулярно-кинетическая теория), географическая карта (картография), модельные организмы (биология).

В определении идеализированных объектов всегда указаны условия, при которых конкретный материальный объект может быть уподоблен идеализированному. Скажем, точка в геометрии — модель, или идеализация, тел (объектов), размерами которых можно пренебречь в условиях данной задачи.

В математике используют объекты, вводимые для математического описания явлений: натуральное число ‘результат счёта предметов’, матрица ‘прямоугольная таблица действительных чисел’, угол ‘фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной и одной из частей плоскости, ограниченной этими лучами’, график функции ‘множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которого пробегают все значения аргумента функции, а ординаты равны значениям функции при соответствующих значениях аргумента’ и т. п. В их определениях указано строение объекта, его конструкция либо способ получения объекта [условие]. Натуральное число можем получить лишь при попытке сосчитать окружающие нас предметы [это условие], а алгебраическая дробь — при записи определённым образом двух числовых или буквенных выражений с помощью черты (одно располагается над чертой, другое — под ней).

Математические явления

На вопрос „Что изучает математика?” можно кратко ответить — „Математические явления”. Недаром многие параграфы и темы любого учебника по математике содержат названия математических явлений: «Параллельность в пространстве» [явление параллельности], «Выпуклые многоугольники» [явление выпуклости], «Подобие фигур» [явление подобия], «Числовые последовательности» [явление последовательности], «Отношения и пропорции» [явление пропорции], «Уравнения с одной неизвестной» [явление уравнения], «Множества и операции над ними» [изучаются явления объединения, пересечения, дополнения, разбиения] и др.

Поясним смысл термина “математическое явление” и его связь с предыдущим термином “математический объект”. Математические объекты, образно говоря, могут взаимодействовать между собой. В результате этого взаимодействия устанавливается вполне определённое состояние этих объектов.

Например, прямая и плоскость между собой могут взаимодействовать, в результате чего мы говорим об их взаимном расположении относительно друг друга. Может так оказаться, что они пересекаются либо не пересекаются, в противном случае — прямая целиком и полностью лежит в указанной плоскости. Однако каждое из перечисленных состояний происходит не всегда, а только при определённых условиях. В частности, прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.

Определение “Математическое явление” (первое). Установление нового состояния взаимодействующих между собой математических объектов, происходящее при определённых условиях, называется математическим явлением.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример

Пример:

Функция — математическое явление, заключающееся в установлении соответствия (правила, закона) $y=f\left(x\right)$ между элементами двух множеств ( $X$ и $Y$ ). Устанавливается такая зависимость при условии, что каждому элементу множества $X$ ( $x\in X$ ) соответствует единственный элемент множества $Y$ ( $y\in Y$ ). Объясняется тем, что элементы $y$ множества $Y$ как переменные величины становятся зависимыми от элементов $x$ множества $X$ .

Это определение содержит информацию о математическом объекте, с которым происходят изменения (элемент множества $Y$ ), характере этих изменений (связь зависимостью/соответствием), воздействующем объекте (элемент множества $X$ ) и условиях взаимодействия (каждому элементу множества $X$ соответствует единственный элемент множества $Y$ ). Определение дополнено объяснением, которое базируется на моделях объекта (элемент $y$ рассматривается как переменная величина, которая принимает свои значения от значений другой величины) и моделях воздействующего объекта (элемент $x$ — тоже переменная величина, принимающая различные значения из заданного множества $X$ ).

Пример

Пример:

Уравнение — математическая задача, заключающаяся в составлении записи в виде равенства с переменной (переменными). Составляется такая задача при условии, что в ней требуется найти значение этой переменной (или переменных). Объясняется тем, что искомые значения переменной (переменных), которые нужно найти в задаче-уравнении, должны быть такими, чтобы, будучи подставлены вместо переменной (переменных) в уравнение, они обращали его в истинное высказывание (верное равенство).

Определение “Математическое явление” (второе). Изменение состояния математического объекта под воздействием другого объекта, происходящее при определённых условиях, называется математическим явлением.

В связи с этим в определении любого математического явления содержится информация об объекте, с которым происходят изменения, характере этих изменений (переходе объекта из начального состояния в новое), воздействующем объекте, и условиях взаимодействия.

Так, в приведённом выше примере с прямой и плоскостью описана параллельность прямой плоскости — математическое (точнее, геометрическое) явление, заключающееся в расположении прямой в пространстве относительно плоскости при отсутствии общих точек с ней [плоскостью].

С понятием математического явления тесно связано понятие математического процесса. Термин «процесс» (от лат. processos — продвижение) означает последовательную смену состояний объекта. Для процесса существенным фактором является время. Одной из характеристик процесса может быть длительность его.

Пример

Пример:

Решение математической задачи — деятельность человека (процесс), направленная на отыскание такой последовательности общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче — её ответ. Процесс решения задачи зависит в первую очередь от характером самой задачи и, конечно, от того, какими знаниями и умениями обладает решающий задачу.

Пример: счёт предметов — процесс установления количества этих предметов посредством их нумерации (т. е. путём определения порядка их следования). Арифметическое вычисление — процесс перехода / изменения математического объекта (напр., выражения, величины) от ... к ... путём выполнения арифметических преобразований. Измерение тоже процесс по установлению количественной оценки некоторой величины; нахождению значения физической величины опытны путём. Измерить физ. величину означает сравнить её с однородной физ. величиной, принятой за единицу (меры), т. е. эталон. Так, измерить массу тела означает сравнить её с другой массой, которая принята за единицу (напр., 1 кг).

Математические величины

Математические объекты различаются по своим свойствам. При этом одно и то же свойство может быть выражено в разной степени. Например, рассматривая любое множество как математический объект, ему свойственная количественной характеристикой, указывающая число элементов; но одни множества содержат много элементов, другие — мало. Для того чтобы описать то или иное свойство количественно, вводят понятие о математической величине.

Например: мощность — величина, показывающая число элементов множества; объём — величина, показывающая расположение (заполняемость) фигуры в пространстве; разность — величина удалённости одного числа от другого в определённом направлении; длина — величина протяжённости предмета; скорость — величина, показывающая быстроту изменения (смену расположения) предмета в пространстве; температура — величина нагретости тела; величина, показывающая чем придётся жертвовать (уплачивать) и есть цена того, что мы хотим получить; время — величина, характеризующая длительность процесса.

Определение “Математическая величина”. Математическая величина — свойство, общее в качественном отношении многим объектам, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них.

Различают скалярные и векторные математические величины.

Математические законы

Математические суждения, полученные экспериментальным или теоретическим путём, как правило, представляют собой математические законы или научные факты.

Экспериментальные или теоретические исследования математических явлений позволяют выявить устойчивые связи и отношения между математическими величинами.

Определение “Математический закон”. Суждения, в которых содержится обобщённая информация об устойчивых связях и отношениях между математическими величинами, называется математическим законом.

Познание математических законов составляет основную задачу математики.

Определение “Научный факт”. Научным фактом называют суждение, в котором содержится информация о некотором общем свойстве множества объектов или отношениях между ними.

Например, «арифметическая прогрессия является числовой последовательностью», «значения тригонометрических функций зависят только от угла и не зависят от выбора прямоугольного треугольника (т. е. от его размеров и расположения)» и др.

Пример

Математические объекты, изучаемые в теме

Математические объекты, изучаемые в теме
Математические объекты	Идеализированные объекты	Объекты, вводимые для математического описания
Треугольник	Точка, прямая, плоскость	Сторона, вершина треугольника; катеты, гипотенуза

Математические явления

Изучается одно математическое явление — равенство геометрических фигур.

Треугольник называется равным другому треугольнику, если стороны одного соответственно равны сторонам другого и углы, заключённые между соответственно равными сторонами, равны.

Раздел «ТРЕУГОЛЬНИКИ» Тема «РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ»
Математические ОБЪЕКТЫ	Математические ЯВЛЕНИЯ	Математические ВЕЛИЧИНЫ	Математические ЗАКОНЫ
Треугольник