Задачник/Новые задачи

На эту страницу добавляются новые задачи. Ежедневно запускется специальный бот, который переносит задачи с этой страницы в базу данных.

Добавить задачу.

ЗадачаПравить

УсловиеПравить

Имеются три стержня, на один из них надета пирамидка из нескольких колец различного диаметра (меньшее кольцо лежит на большем), два других — пустые. Разрешается перекладывать кольца с одного стержня на другой по одному, так, чтобы большее кольцо никогда не лежало на меньшем. Докажите, что можно переместить всю пирамидку с исходного стержня на один из пустых, если в пирамидке n колец.

РешениеПравить

Пока нет решения

Дополнительные данныеПравить

  • Название: Ханойские башни
  • Класс: 6
  • Сложность: 4
  • Темы: Математическая индукция, рекурсия
  • Номер на problems.ru: не помню
  • Автор: Эдуард Люка
  • Первоначально опубликовано: 1883 год.

класс 2

КомментарииПравить

Можно давать эту задачу для конкретных небольших n (2, 3, 4, 5) и только потом в общем виде. Хорошая задача для введения в метод мат. индукции.

ЗадачаПравить

УсловиеПравить

Доказать, что при любом натуральном n и положительном a справедливо неравенство:  

РешениеПравить

Через бином НьютонаПравить

 ,

поскольку   (один элемент из n можно выбрать n способами).

С помощью математической индукцииПравить

1. База индукции. При n=1 утверждение очевидно верно.

2. Индукционный переход.  

КомментарииПравить

Хорошая простая «вычислительная» задача на мат. индукцию.

Дополнительные данныеПравить

  • Сложность: 4
  • Класс: 7
  • Предмет: математика
  • Темы: математическая индукция, бином Ньютона

ЗадачаПравить

УсловиеПравить

Докажите, что квадрат любого натурального числа при делении на 4 дает в остатке 0 или 1.

РешениеПравить

Если число четно, оно имеет вид 2n, а его квадрат — 4n² и в остатке, очевидно, будет 0. В противном случае, число имеет вид  . Возводя в квадрат, получаем  , что и требовалось доказать.

Дополнительные данныеПравить

  • Сложность: 2
  • Класс: 7
  • Предмет: математика