Задачник/Новые задачи

На эту страницу добавляются новые задачи. Ежедневно запускется специальный бот, который переносит задачи с этой страницы в базу данных.

Добавить задачу.

Задача

Условие

Имеются три стержня, на один из них надета пирамидка из нескольких колец различного диаметра (меньшее кольцо лежит на большем), два других — пустые. Разрешается перекладывать кольца с одного стержня на другой по одному, так, чтобы большее кольцо никогда не лежало на меньшем. Докажите, что можно переместить всю пирамидку с исходного стержня на один из пустых, если в пирамидке n колец.

Решение

Пока нет решения

Дополнительные данные

• Название: Ханойские башни
• Класс: 6
• Сложность: 4
• Темы: Математическая индукция, рекурсия
• Номер на problems.ru: не помню
• Автор: Эдуард Люка
• Первоначально опубликовано: 1883 год.

класс 2

Комментарии

Можно давать эту задачу для конкретных небольших n (2, 3, 4, 5) и только потом в общем виде. Хорошая задача для введения в метод мат. индукции.

Задача

Условие

Доказать, что при любом натуральном n и положительном a справедливо неравенство: $(1+a)^{n}\geq 1+na$

Решение

Через бином Ньютона

$(1+a)^{n}=1+na+\ldots$,

поскольку $C_{n}^{1}=n$ (один элемент из n можно выбрать n способами).

С помощью математической индукции

1. База индукции. При n=1 утверждение очевидно верно.

2. Индукционный переход. $(1+a)^{n}=(1+a)^{n-1}\cdot (1+a)\geq (1+(n-1)\cdot a)\cdot (1+a)=1+(n-1)\cdot a+a+(n-1)\cdot a^{2}\geq 1+na$

Комментарии

Хорошая простая «вычислительная» задача на мат. индукцию.

Дополнительные данные

• Сложность: 4
• Класс: 7
• Предмет: математика
• Темы: математическая индукция, бином Ньютона

Задача

Условие

Докажите, что квадрат любого натурального числа при делении на 4 дает в остатке 0 или 1.

Решение

Если число четно, оно имеет вид 2n, а его квадрат — 4n² и в остатке, очевидно, будет 0. В противном случае, число имеет вид $2n+1$. Возводя в квадрат, получаем $4n^{2}+4n+1=4(n^{2}+n)+1$, что и требовалось доказать.

Дополнительные данные

• Сложность: 2
• Класс: 7
• Предмет: математика