Задачник/Задача тест

Автор	тестовый автор
Впервые опубликовано	Сборник «Тестовые задачи», 2012 год.
Сложность	4
Класс	7

Доказать, что при любом натуральном n и положительном a справедливо неравенство: $(1+a)^{n}\geq 1+na$

Решение

Через бином Ньютона

$(1+a)^{n}=1+na+\ldots$,

поскольку $C_{n}^{1}=n$ (один элемент из n можно выбрать n способами).

С помощью математической индукции

1. База индукции. При n=1 утверждение очевидно верно.

2. Индукционный переход. $(1+a)^{n}=(1+a)^{n-1}\cdot (1+a)\geq (1+(n-1)\cdot a)\cdot (1+a)=1+(n-1)\cdot a+a+(n-1)\cdot a^{2}\geq 1+na$

Комментарии

Хорошая простая «вычислительная» задача на мат. индукцию.