Дифференциальные уравнения/Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения для школьников
Понятие дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение и способ решения

править

Пусть   — некоторая функция,   — ее производная. Для удобства будем записывать производную в виде  , имеющим смысл отношения бесконечно малых приращений — дифференциалов. Дифференциал   — приращение значения переменной в окрестности  , стремящееся к нулю. Дифференциал функции   — малое приращение функции,  . Пусть   и   — некоторые функции от   и  . Рассмотрим уравнение

 .

Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Умножим его на  :

 .

Последнее равенство означает, что малые приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также равны. Предположим что при     и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования — от   до   для левой части и от   для   для правой части уравнения:

 .

Решая получившееся в результате интегрирования алгебраическое уравнение, мы можем выразить  .

Значения   и   называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если начальные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Используя неопределенный интеграл — обозначение множества первообразных —  , где   — первообразная  ,   — произвольная постоянная, запишем это в виде

 .

Следует отметить, что у дифференциального уравнения с разделяющимися переменными могут существовать так называемые нулевые решения — постоянные  , удовлетворяющие уравнению  . При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю).

Пример 1

править

Решить дифференциальное уравнение  .

Разделим переменные:

 .

Т. к. начальные условия не заданы, возьмем неопределенный интеграл от обеих частей уравнения:

 ,
 .

Осталось лишь выразить   через  :

 .

Найдем также нулевые решения:

 .

Ответ:  .

Пример 2

править

Определить максимальную скорость, которую может развить ракета в космосе. Начальная скорость ракеты равна нулю. Масса ракеты без топлива равна  , с топливом —  . Скорость выброса топлива относительно ракеты равна  . Ракета движется вдали от звезд и планет.

 
Рис. 1

Пусть ракета движется вдоль оси   (Рис. 1). В некоторый момент от нее отделяется малая масса топлива  . При этом скорость ракеты увеличивается на  . Запишем закон сохранения импульса в проекции на  :

 .

Раскрыв скобки и приведя подобные, получим:

 .

Величина   — произведение двух бесконечно малых величин. Поэтому ею можно пренебречь:

 .

Интегрируем:

 ,
 ,
 ,
 .

Впервые эта формула была получена К. Э. Циолковским[1].

Ответ:  .

Пример 3

править

Пружина жесткостью   с прикрепленным к ней грузом массой   находятся в горизонтальной плоскости в положении равновесия, совпадающем с началом координат. Свободный конец пружины закреплен. Пружина параллельна оси  . В начальный момент времени грузу сообщают скорость   вдоль  . Найти зависимость координаты груза от времени.

 
Рис. 2

В произвольный момент времени координата груза равна  , скорость —   (Рис. 2). Запишем закон сохранения энергии:

 .

Выполним следующие преобразования:

 ,
 ,
 .

Введя обозначение   и записав скорость в виде  , получим дифференциальное уравнения с разделяющимися переменными:

 .

Разделим переменные:

 ,
 .

Найдем  . Для этого выполним замену  . Тогда  . Выразим дифференциал  :  ,  . Теперь интегрируем:

 .

Подставляя в уравнение, имеем:

 ,
 ,
 .

Движения, происходящие по закону синуса или косинуса называются гармоническими колебаниями. Рассмотренная система называется пружинным маятником. Видно, что в нашем случае максимальный модуль координаты равен  . Он часто обозначается буковой   и называется амплитудой колебаний. Амплитуда гармонических колебаний всегда определяется начальными условиями.

Ответ:  .

Задачи

править

Решить дифференциальные уравнения:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7. Конденсатор емкостью  , заряженный до напряжения  , подключили к резистору с сопротивлением  . Через какое время заряд   конденсатора достигнет 1% первоначального значения?
  8. Шарик массой   кг подбросили вертикально вверх со скоростью   м/с. Чему равна максимальная высота   подъема шарика? Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости, коэффициент сопротивления равен   Н с/м.

  1. Рукопись «Ракета», 10 мая 1897 года. Архив Российской академии наук (АРАН). Ф.555. Оп.1. Д.32. ЛЛ. 1, 2, 5, 11, 20