Последовательности/Принцип отображения

'Внимание! Для дальнейшего изложения рекомендуется вспомнить понятие геометрической прогрессии, а также связанные с нею некоторые формулы.'

Автор: В. А. Муси́нов.

Вводные понятия и обозначения

править

Зададимся вопросами: можно ли формулы арифметической прогрессии каким-нибудь образом «перевести» в формулы-аналоги геометрической прогрессии? Если да, то как? И со всеми ли формулами такое можно проделать? А из формул геометрической прогрессии возможно получить с помощью некоторой трансформации формулу, которую мы знаем из теории арифметических прогрессий?

На все эти вопросы данный раздел даст ответы.

Введём термин «множество формул арифметической прогрессии». Множество формул арифметической прогрессии (МФАП) — это совокупность равенств, составленные из различных комбинаций следующих компонентов арифметической прогрессии: разность, члены АП, индексы, суммы, произведения и какие-либо константы.

Замечание. Говоря о равенствах АП, надо понимать, что все они делятся на 2 группы:

а) те, о которых можно говорить, верны они или нет [следовательно, их истинность можно доказать];

б) те, о которых нет смысла вовсе говорить, что они истинны или нет [доказательство не требуется].

Пример 1. Формулы   и   являются верными.

Любые формулы, которые являются верными, будем называть правильными.

Пример 2. Формулы   и   неверны, поскольку существуют, скажем так, их «правильные аналоги» (см. пример выше).

Все формулы, которые являются неверными, называются неправильными.

Пример 3. Об истинности равенства   не имеет смысла говорить, так как мы просто взяли и перемножили первый и  -й члены АП и обозначили это как  

Формулы, которые нельзя обосновать или опровергнуть, будем называть формулами общего вида.

Соберём все три множества воедино во множество — так называемое множество формул арифметической прогрессии и обозначим его как  . Данное множество, очевидно, не пустое. Действительно, в силу определения АП мы получаем уже одну формулу  , которая является элементом   (принадлежит ему).

Из замечания можно представить множество формул АП в виде объединения множества формул правильных, неправильных и общего вида:

  где   — соответственно множества правильных, неправильных и общего вида формул.

Ясно, что  

Пояснение:

  — это условное обозначение произвольной правильной формулы ( ), а
  — множество всевозможных (произвольных) правильных формул.

Всё то же самое можно написать и для остальных.

Пример 4. Формула  :  , где  , является правильной. Значит,  

Пример 5. Формула  :  , где  , не может быть оценена как правильная или неправильная. Значит,  

Любую формулу из   будем просто записывать как  

Теперь повторим всё вышесказанное для геометрической прогрессии. А именно:
  1. Множество формул геометрической прогрессии (МФГП) — это совокупность равенств, составленные из различных комбинаций следующих компонентов геометрической прогрессии: знаменатель, члены ГП, индексы, суммы, произведения и какие-либо константы.
  2.   — множество формул геометрической прогрессии.
  3. Множество  , так как формула   принадлежит данному множеству.
  4.   где   — соответственно множества правильных, неправильных и общего вида формул.
  5. Любую формулу из   будем просто записывать как  

Принцип отображения

править

Из всего того, что было сказано теперь можно сформулировать следующее утверждение.

Но сначала дадим определение: два множества назовём сопряжёнными, если существует отображение одного множества на другое, что все элементы первого переходят покомпонентно во все элементы второго.

Пусть даны непустые сопряжённые подмножества   и   такие, что   и   Установим отображение   или в другой записи:   Тогда при   выполняются условия:

1)  
2)  
3)   и    
4)   и    
5)   и    

Замечание 1. Формулы 3) и 4) будут выполняться вместо   и для разности   и знаменателя  , где  

Замечание 2. Первое условие не совсем корректно записано. Правильная запись:   где   используется в качестве обозначения некоторого номера для АП, а   — ради того же самого для ГП. Но дабы не загромождать последующие выкладки этими нововведениями, мы будем придерживаться исходной записи, вкладывая в это, конечно, немного разные смыслы.

Замечание 3. Полное обоснование условий 1—5 будет дано позднее. Почему так? Да всё потому, что будет намного логичнее и понятнее.

Следствие 1.  

Следствие 2.  

Теорема 1: если   и   то  

Другими словами, для любой формулы   найдётся такая формула   что  

Пример. Нетрудно видеть, что формула   из   отображается во множество  . Причём образом   будет  

Демонстрация того, как это получается, смотрите в задаче.

Решим следующую задачу.

Основываясь на задаче сверху, построим таблицу-«переводчика» (т. е. перевода формул из арифметической прогрессии в их аналоги из множества формул геометрической прогрессии).

Шаблон:По диагонали Арифметическая Геометрическая Примечание
I. Формула  -го члена
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
II. Признак прогрессии       и   — заданные числа
III. Характеристическое свойство
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
IV. Лемма
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
V. Тождество      
VI. Сумма / Произведение первых   членов
  1.  
  2.  
  1.  
  2.  
 
VII. Следствие      
VIII. Сумма / Произведение членов начиная с  -го члена, и заканчивая  -м членом      
IX. Интересный факт       — сумма   первых членов АП, а   — произведение   первых членов ГП

Замечание. Легко видеть, что сумма АП "перетекает" в произведение ГП:  . Причём самой суммы геометрической прогрессии в таблице нет. Напоминаю, что формулы (основные), находящиеся во второй графе, мы брали из свойств арифметической прогрессии; затем эти формулы "переделывали" в их аналоги из геометрической прогрессии.

Покажем ещё раз, как получаются формулы ГП в таблице, на двух примерах.

Следствие.  

А вот обратная задача.

Как уже было объявлено, суммы геометрической прогрессии в таблице нет. Но мы знаем, что формула для неё существует и даже правильная. Таким образом, можно говорить о существовании подмножества МФГП, которые не имеют прообразов в МФАП. Смотрите лемму.

Лемма. Существует подмножество   такое, что для любой правильной формулы   нет ни одной формулы  , чтобы выполнялось равенство:  

По-простому это звучит так: есть такие правильные формулы из МФГП, у которых прообразы — формулы НЕ правильные, а общего вида!

Замечание. Позже мы приведём ещё один пример формулы, которая находится во множестве, упоминаемом в лемме.

Теорема 2: все формулы из   можно отобразить в некоторое подмножество  

Другими словами, можно сформулировать это так: если   — правильная формула, то   — тоже правильная.

Это утверждение очень важное, поскольку один раз доказанная формула из арифметической прогрессии даёт нам задаром формулу из геометрической прогрессии, которая уже априори доказана (в силу того, что мы устроили отображение  ).

Следствие 1. Если   — неправильная формула, то   — точно неправильная. Кратко:  

Следствие 2.   Или: множества   и   являются сопряжёнными, равномощными и изоморфными.

Следствие 3. Множество   шире, чем  .

Замечание 1. Понятие «шире» означает содержание бо́льшего числа элементов.

Замечание 2. Зная поведение подмножеств МФАП и МФГП, можно говорить о размерах самих этих множеств.

Предложение


Если   — формула общего вида, то   — тоже общего вида. Кратко:  .

  • Доказательство:

    От противного.

Допустим, что  , а  . Из последнего условия делаем две записи:   или  .

Рассмотрим первый случай:  . По теореме 2  , то есть   — правильная формула. Но это не так, ибо   (по условию).

Второй случай —  , — также даёт нам противоречие с условием в силу следствия 1.

Поэтому,  . Следовательно,  .

Теорема 3:  .

То есть прообраз формулы   «ищется» однознозначно в том и только в том случае, когда формула   берётся из множества  .

Гипотеза:  .

Следствие 4. Множество формул геометрической прогрессии   совпадает со множеством формул арифметической прогрессии  .

Удивительно, что подмножество МФАП целиком и полностью можно отобразить на непустое подмножество МФГП. То есть они не изоморфны, хотя так похожи!

Другой способ выведения формул

править

Разберём снова задачу о нахождении образа.

Естественно нам стоит полагать, что разность   и знаменатель  , иначе всё коту под хвост. Из этого делаем простой вывод:   Что собственно из исходной формулы и последней следует. Легко проверить, что формула   верна для  

Но вот чего-чего, а логарифмов мы не ожидали получить... Попробуем сделать следующие выкладки и заранее скажем: пусть существует такое число  , что выполняется равенство

 

Помним, что число   в МФГП не совсем  , а   А дальше делаем так:

 

Эта формула ну прям совсем похожа на ту, с которой начинали!

Напишем систему:

 

Легко видеть, что  , например.